Sujet : Analyse, Calcul de la limite d'une somme

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Calcul de la limite d’une somme

On déf

1.a

1.b

1.c

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

Partie I

init la suite réelle ( :) par∀∈ℕ,=∑1 .
=1
Montrer que la suite ( croissante.) est
Etablir∀∈ℕ∗,2−≥ .12
Déterminer la limite de () .
On introduit deux suites () et ( par :) définies∀∈ℕ∗,=−ln(+1) et=

Montrer que∀∈ −1,+∞, ln(1+)≤.

En déduire que pour tout∈ℕ∗: ln++12≤1+1≤ln+1.
Montrer que les suites () et ( adjacentes.) sont
On noteγleur limite commune (appelée constante d’Euler).

Justifier la relation=ln+γ+(1) .

Partie II

 1
On définit deux suites réelles () et ( :) par∀∈ℕ∗,=∑12et=∑=.
=1

1.a

1.b

2.a

2.b

2.c

3.

Etablir que pour tout∈ℕ:∑(+1)3=∑3+3+(32+ )5.
=1=1
En déduire une expression factorisée du terme général de () .
Déterminer des réels,,le st e qu1)1(1)(2=+1+2 .1
 ++ ++
1 1
Montrer que :∀∈ℕ∗,∑=2+1=2+1−2−1 .
1
Obtenir un expression deà l’aide de termes de la suite () .
Déterminer la limite de () .

−ln.

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