Sujet : Analyse, Calcul de primitives, Fonction rationnelle en un radical

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c)Z−11dx
√1 +x+√1−x

Exercice 3[ 01245 ][correction]
Sur]−12+∞[, déterminer
Z

dx
(2x+ 1)√x2

Exercice 4[ 01246 ][correction]
Calculer les intégrales suivantes :
a)Z3dx3)b)Z20√x+d1(xx+ 4)
1√x(x+

b)p(x−1x)(3−x)
e)x+√+11x2

c)px−x2+ 6
f)√x2x−1

+x+ 1

a)x+ 1x2
√2−
x+ 1
d)√x2+ 1

Exercice 1[ 01243 ][correction]
Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de
validité :
1− √x−
b)1 +√xc)rxx−21

Exercice 2[ 01244 ][correction]
Déterminer les primitives des fonctions proposées en indiquant l’ensemble de
validité :

a)1 +√xx+ 1

Enoncés

1

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Fonction rationnelle en un radical

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Corrections

Correctionsqui donne
1d
aE)xSeurrci[c−e11+:[∞é[n,oncé]Z(2x+ 1)√dxx2+x =+ 1Z√3dstht=√31Zhcs2httd−t1u==cht√3Zu−u1
2
R1+x√dxx+1u=√=+1R2u(1u+2u−1)du=R2u(u−1)du=23√x+ 13−x+Cte enfin. et
x
bR)11S+−u√√rxx[d0x+u=∞=√[x,R2u11+−uudu= 2R−u+ 2−2+1udu=−x+4√x−4 ln(1+√x)+Cte.Z(2x+ 1)√dxx2+x+21=1√22nl3√√xx22++xx1++1+√−√+33Cte
c) Sur]−∞1]ou]2+∞[,
−2y2dy
R qxx−−21dx=R(y−1)2(y+1)2=12y1−1+12y+11−21lnyy+−11+CteExercice 4 :[énoncé]
doncR qxx−−21dx=p(x−1)(x−2)−12ln√√||xx−−11|−|+√√||xx−−22||+Ctea).R3dx3)t==√xR1√3t22+dt3=√32harctan√t3i13=6√π3.
1√x(x+
nob)R20√x+d1(xx+4)t=√=x+1R1√3t22d+t3=√23harctan√t3i1√3=6π√3.
aE)xSeurrcic−e√22:[√é2,nRcé]√x+2−1x2dxx=√=2 sintR√2 sint+ 1dt=−√2 cost+t+Cte=c)R−11√1+xd+x√1−ux=√=1+xR0√2u+2√u2d−uu2u=√2=sinθ2√2R0πnsi2nsiθθsocsco+θθdθ.
b−)√S2ur−]1x2+[3,arcsin√x2+Cte.R−11√1+xd+x√1−x= 2√2R(10−t2+4t12(t−+t12)(1)d+tt2)2=
−1 2√2R01−+11t2+ 21+(1+t2t)2+t2−21t−1dt
cR)√x(−x−xx1d2)x(3+−6x)=x=−2+(=sxin−tR)3(2xs+n2i+)td,tx==21a2c+r52inissn(tx.−S2u)r−[−p2(3x],)(3−x) +CtelauAnfi.R−11√1+x+√1−x= 2√2−2 ln(√2 + 1).
dx
R√x−x2+ 6dx=R245cos2tdt=285Rcos 2t+ 1dt=
2x4−1√x−x2+ 6 +285arcsin2x5−1+Cte
d) SurR,R√xx+21+1dxx==shtRsht+ 1dt=√1 +x2+ ln(x+√x2+ 1) +Cte.
e) SurR,Rx+√d1x+x2x==shtRhscth+thcdtt=R12+12e−2tdt=
21ln(x+√x2+ 1)−41(x+√x12+1)2+Cte.
f) Sur[1+∞[(et de mme sur]−∞−1])
R√xx2−1dxx==chtRhcsh2ttdtu==shtR1+u2u2du=√x2−1−arctan√x2−1 +Cte.

Exercice 3 :[énoncé]
On écrit le trinôme sous forme canonique
3
x2+x+ 1 =x+1224+

ce qui invite au changement de variable
1 3
x+ =√2sht, dx=√23chtdt
2

2

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