Sujet : Analyse, Calcul de primitives, Fonctions rationnelles en exp

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fonctions

Exercice 1
Déterminer
validité :

Exercice 2
Calculer

rationnelles

en

exp

[ 01235 ][correction]
les primitives des expressions proposées en indiquant l’ensemble de

[ 01236

1
+ 1
ex−1

a)
ex
c)√

][correction]

b)1
e2x1+ex
c)√1 +e2x

Z10√dexx+ 1

Enoncés

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) SurR,Rexd+x1=R1−exex+1dx=x−ln(ex+ 1) +Cte.
b) SurR,
Re2xd+xexu==exRu2(duu+1)=−ln|u|+ ln|u+ 1| −u1+Cte=−x+ ln(ex+ 1)−e−x+C
c) Sur[0+∞[,
R√ex−1dx=Rt22t+21dt= 2√ex−1−2 arctan√ex−1 +Cte.
t=√ex−1
d) SurR,
1
=2−1=2ln√1+e2x−1
R√1d+xe2xu=√1+e2xRudu√1+e2x+1+Cte= ln(√1 +e2x−1)−x+Cte.

Exercice 2 :[énoncé]
Par le changement de variableu=√ex+ 1
Z01√exdx+ 1 =Z√√2e+1u22d−u1 =lnuu−1+√e+1=ln((√√ee+1++1−1())1(√√22−)1+1)
1√2

te
.

2

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