Sujet : Analyse, Calcul de sommes de séries alternées

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1.a

1.b

2.

2.a

2.b

3.
3.a

3.b

1.

1.a

1.b
2.

2.a
2.b

3.

1.

1.a

1.b

2.

Calcul de sommes séries alternées

Partie I

Montrer que pour tout∈ −1,+∞, ln(1+)≤.
En déduire que pour tout≥1 : ln(+1)−ln≤1

et que pour tout≥2 : 1≤ln−ln(−1) .

Pour≥1 ,1
on pose==∑1.
Etablir que pour tout≥1 : ln(+1)≤≤ln+1 .
Déterminer un équivalent simple à la suite ( que sa limite.) ainsi
Pour≥1 , on pose=−ln(+1) .
Montrer que la suite ( convergente.) est
eγ=li . Ce réel e
On pos→+m∞st appelé constante d’Euler.

Etablir l’identité=ln+γ+(1) .

Partie II

Pour≥ on pose1 ,=∑(−1)−1.
=1
Montrer que les suites extraites (2) et (2+1 adjacentes.) sont
Quelle est la nature de la suite () ?
Dans cette question, on se propose de calculerℓ=lim.
→+∞

Etablir que pour tout≥1 :2=2−.
En exploitant le résultat de la question I.3.b, déterminerℓ.
En discutant selon la parité de, établir la majoration :−ℓ≤1+ .1

Partie III

on pose
Pour≥1 ,=∑1 cos 23π.
=1
 −1
Déterminer,,∈ℝtels que3=∑=131+∑=031+1
3
En déduire que3=1∑1−1∑. 1
2=12=1
Déterminer la limite de la suite () .

+

−11
.
∑=03+2

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