Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Dérivées partielles de fonctions composées

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivées partielles de fonctions composées Exercice 5 [ 00049 ] [correction] 2Soient f : (x,y)7→f(x,y) de classeC et g : (r,θ)7→f(rcosθ,rsinθ). 2Justifier que g est de classeC et exprimerExercice 1 [ 00043 ] [correction] 2 1Soit f :R →R de classeC vérifiant 2 2∂ f ∂ f + 2 22 ∂x ∂y ∀(x,y)∈R ,f(x,y) =f(y,x) en fonction des dérivées partielles de g. Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles de f ? Exercice 6 [ 00047 ] [correction] 2 1Exercice 2 [ 00046 ] [correction] Soit f :R →R de classeC telle que 2 1Soit f :R →R une fonction de classeC . ∂f ∂f2On dit que f est homogène de degré α∈R si, et seulement si, ∀(x,y)∈R ,x (x,y)+y (x,y) = 0 ∂x ∂y 2 α∀t> 0,∀(x,y)∈R , f(tx,ty) =t f(x,y) Montrer la constance de l’application suivante Za) Montrer que 2π ∂f ∂f ϕ :r7→ f(rcost,rsint)dt x +y =αf 0∂x ∂y b) Etablir la réciproque. Exercice 7 [ 03675 ] [correction] 2 1Soient α∈R et f :R →R de classeC telle que Exercice 3 [ 00048 ] [correction] ∂f ∂f21 ∀(x,y)∈R ,x (x,y)+y (x,y) =αf(x,y)Soient f : (x,y)7→f(x,y) de classeC et g : (r,θ)7→f(rcosθ,rsinθ). ∂x ∂y 1Justifier que g estC et exprimer les dérivées partielles de f en fonction de celles de g. Exprimer Z 2π ϕ :r∈ [0,+∞[7→ f(rcost,rsint)dt 0 Exercice 4 Centrale PC [ 01327 ] [correction] +? 2Déterminer les fonctions f :R →R de classeC telle que Exercice 8 [ 00050 ] [correction] n 2 2Soient f∈C (R ,R) telle queF :R \{0}→R q 2 22 2 ∂ f ∂ f(x ,...
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Dérivées partielles de fonctions composées

Exercice 1[ 00043 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1vérifiant

∀(x y)∈R2 f(x y) =f(y x)

Quelle relation existe-t-il entre les dérivées partielles def?

Exercice 2[ 00046 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1.
On dit quefest homogène de degréα∈Rsi, et seulement si,

a) Montrer que

∀t >0,∀(x y)∈R2,f(tx ty) =tαf(x y)

b) Etablir la réciproque.

∂f+∂f=αf
x
∂x y ∂y

Enoncés

Exercice 3[ 00048 ][correction]
Soientf: (x y)7→f(x y)de classeC1etg: (r θ)7→f(rcosθ rsinθ).
Justifier quegestC1et exprimer les dérivées partielles defen fonction de celles
deg.

Exercice 4Centrale PC[ 01327 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R+?→Rde classeC2telle que

vérifie

F:Rn {0} →R
(x1    xn)7→fqx21+∙ ∙ ∙+xn2

n∂2F
i=X1∂xi2= 0

Exercice 5[ 00049 ][correction]
Soientf: (x y)7→f(x y)de classeC2etg: (r θ)7→f(rcosθ rsinθ).
Justifier quegest de classeC2et exprimer

∂2f ∂2f
∂x2+∂y2

en fonction des dérivées partielles deg.

Exercice 6[ 00047 ][correction]
Soitf:R2→Rde classeC1telle que

∀(x y)∈R2xx∂f∂(x y) +yy∂f∂(x y) = 0

Montrer la constance de l’application suivante
ϕ:r7→Z20πf(rcost rsint) dt

Exercice 7[ 03675 ][correction]
Soientα∈Retf:R2→Rde classeC1telle que

Exprimer

∀(x y)∈R2fx∂x(x y) +∂y∂fy(x y) =αf(x y)

ϕ:r∈[0+∞[7→Z20πf(rcost rsint) dt

Exercice 8[ 00050 ][correction]
Soientf∈ C2(R2R)telle que

etg(r t) =f(rcost rsint).
a) Trouver une relation liant

∂2f+∂2f
∂x2∂y2= 0

∂∂rr ∂get∂∂2t2g
∂r

1

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b) Montrer que
ϕ:r7→Z2π
f(rcost rsint)dt
0
estC2surRet que(rϕ0(r))0= 0
c) Conclure queϕest constante.

Exercice 9[ 00051 ][correction]
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1. On définit
x3
F(x) =Z2f(x+ 1 t) dt
x

Démontrer queFest dérivable surRet préciser sa dérivée.

Enoncés

Exercice 10Centrale MP[ 02461 ][correction]
Montrer quef:Rn→Rde classeC1est homogène de degrépsi, et seulement si,

1     xn)∈Rn,Xxi(x1     xn) =p x1     xn)
∀(xn∂ff∂x(
i=1i

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02903 ][correction]
Soient(x1     xn h1     hn)∈R2n,f∈ C1(RnR)et, sit∈R,

Calculerg0(t).

g(t) =f(x1+th1     xn+thn)

Exercice 12Centrale MP[ 03502 ][correction]
SoientE=C∞(RnR),E?le dual deEet
D=d∈E?∀(f g)∈E2 d(f g) =f(0)d(g) +g(0)d(f)

a) Montrer queDest un sous-espace vectoriel deE?.
b) Montrer queDest non réduit à{0}.
c) Soitd∈ Dethune fonction constante. Que vautd(h)?
d) Soitf∈E. Montrer
∀x∈Rn f(x) =f(0) +Xx
niZ01f∂x∂i(tx) dt
i=1

Vérifier que l’applicationx7→R01∂xf∂i(tx) dtest dansE.
e) Soitd∈ D. Etablir l’existence de(a1     an)∈Rntel que

∀f∈E d(f) =i=Xn1aixf∂∂i(0)

f) Déterminer la dimension deD.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
∂∂xf(x y) =ddx(f(x y)) =ddx(f(y x)) =f∂y∂(y x).

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) En dérivant la relationf(tx ty) =tαf(x y)en la variablet:
x∂f∂x(tx ty) +yyf∂∂(tx ty) =αtα−1f(x y).
En évaluant ent= 1, on obtient :xx∂f∂(x y) +yf∂∂y(x y) =αf(x y).
b) Supposons quefvérifie l’équation proposée.
Pour(x y)∈R2, considéronsϕ:t7→f(tx ty)−tαf(x y)définie surR+?.
ϕest dérivable ettϕ0(t) =αϕ(t). Après résolution et puisqueϕ(1) = 0, on obtient
ϕ(t) = 0et doncfest homogène de degréα.

Exercice 3 :[énoncé]
Par composition de fonctionsC1,gest de classeC1.

∂∂gr(r θ) = co∂fθ∂x(rcosθ rsinθ) + siny∂f∂θ(rcosθ rsinθ)
s

et
∂∂θg(r θ) =−rsinθ∂∂fx(rcosθ rsinθ) +rcos∂yθ∂f(rcosθ rsinθ)
En combinant ces deux relations, on obtient

∂∂fx(x y) = cos∂rθ∂g(rcosθ rsinθ)−sirn∂g∂θθ(rcosθ rsinθ)et

∂∂fy(x y) = sinθg∂r∂(rcosθ rsinθ) + corsθθg∂∂(rcosθ rsinθ)

Exercice 4 :[énoncé]
Par composition de fonctions de classeC2, la fonctionFest de classeC2sur
Rn {0}.
On calcule les dérivées partielles deF
∂∂xFi(x1     xn) =px12+x∙i∙ ∙+x2nf0qx12+∙ ∙ ∙+xn2

3

∂∂2Fxi2(x1     xn) =x21+∙x∙i2∙+xn2f00qx12+∙ ∙ ∙+xn2+x12+∙ ∙ ∙+xˆi2+∙ ∙ ∙+2x2nf0qx12
(x21+∙ ∙ ∙+x2n)3
On en déduit
i=nX1∂∂2Fxi2=f00qx12+∙ ∙ ∙+xn2+n−1nf0qx12+∙ ∙ ∙+xn2
px12+∙ ∙ ∙+x2
Puisquet=px21+∙ ∙ ∙+xn2parcourtR+?quand(x1     xn)parcourtRn {0},
n
l’équationP∂∂2xF2= 0est vérifiée si, et seulement si,fest solution surR+?de
i=1i
l’équation différentielle
0(t)
f0+ (n−t1)f0(t) = 0

Après résolution on obtient

f(t) =tnλ−2+µavecλ µ∈Rsin6= 2etf(t) =λlnt+µsin= 2

Exercice 5 :[énoncé]

∂g ∂f
∂r= cosx∂θf∂+ sin∂fy∂θ,∂g∂θ=−rsinf∂xθ∂+rcos∂θy

et
∂∂r22g= cos2θ∂∂2xf2+ 2 cosθsinθ ∂2f+ s∂2f
∂x∂yin2yθ∂2
2θ ∂2f
r12∂∂θ22g= sin2fθ∂∂x2−2 cosθsin∂x∂y+ cos2∂θ∂2fy2−1rcos∂fx∂θ−rn1isθf∂∂y
donc
∂2f ∂2f ∂2g1∂g1∂2g

∂x2+∂y2=∂r2+r ∂r+r2∂θ2

Exercice 6 :[énoncé]
L’applicationϕest bien définie carϕ(r)est l’intégrale sur un segment d’une
fonction continue.
Posonsg: (r t)7→f(rcost rsint).
La fonctiongadmet une dérivée partielleg∂r∂et celle-ci est continue surR×[02π].
Poura >0, la fonctiong∂r∂est continue sur le compact[−a a]×[02π]et donc il
existeM∈R+vérifiant

∀(r t)∈[−a a]×[02π]g∂r∂(r t)6M=ψ(t)

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Corrections

La fonctionψest évidemment intégrable sur[02π]et donc par domination sur
tout segment, la fonctionϕest de classeC1surRet
ϕ0(r) =Z02πcos∂txf∂(rcost rsint) + sinf∂t∂(rcost rsint) dt
y

On en déduitrϕ0(r) = 0puisϕ0(r) = 0, d’abordr6= 0, puis pour toutrpar
continuité.
Par suiteϕest constante égale àϕ(0) = 2πf(0).

Exercice 7 :[énoncé]
L’applicationϕest bien définie carϕ(r)est l’intégrale sur un segment d’une
fonction continue.
Posonsg: (r t)7→f(rcost rsint).
La fonctiongadmet une dérivée partielleg∂∂ret celle-ci est continue sur
R+×[02π].
Poura >0, la fonctionrg∂∂est continue sur le compact[0 a]×[02π]et donc il
existeM∈R+vérifiant

∀(r t)∈[−a a]×[02π]∂rg∂(r t)6M=ψ(t)
 

La fonctionψest évidemment intégrable sur[02π]et donc par domination sur
tout segment, la fonctionϕest de classeC1surR+et
ϕ0(r) =Z20πcosf∂t∂x(rcost rsint) + sin∂tf∂y(rcost rsint) dt

On en déduit

rϕ0(r) =λϕ(r)

puis après résolution de cette équation différentielle sur]0+∞[

ϕ(r) =λrα

La fonctionϕétant définie et continue en 0, le cas oùα <0obligeλ= 0et alors
ϕ(r) = 0.
Le casα>0, n’impose rien de particulier et alorsϕ(r) =λrαpour toutr>0.

Exercice 8 :[énoncé]
a)gestC2par opérations sur les fonctionsC2.

D’une part :r∂∂g= cost∂f∂x+ sint∂f∂et
y
∂∂rrr∂g∂= cost∂x+ sintyf∂∂+rcos2t∂∂2fx2+ 2rcostsint∂∂x2f∂y+rsin2t∂∂2yf2.
∂f
D’autre part :∂g∂t=−rsintf∂∂x+rcosty∂f∂et
∂∂2t2g=−rcost∂f∂x−rsint∂f∂y+r2sin2t∂∂2fx2−2r2costsintx∂∂2y∂f+r2cos2t∂∂2y2f
doncr∂∂rrr∂g∂+∂∂2t2g=r2∂∂2x2f+f∂y22=
∂0.
b)g: (r t)7→f(rcost rsint)estC2doncgg∂∂retr∂∂22gsont continues sur
R×[02π].
DoncϕestC2surR.
r(rϕ0(r))0=rϕ0(r) +r2ϕ00(r) =R02πr∂g∂r(r t)dt+R02πr2∂∂2gr2(r t)dt=

−R02∂π∂t22g(r t)dt=hg∂t∂(r t)i
.
0
Puisquet7→g(r t)est2πpériodique, il en est de mme det7→g∂t∂(r t)et donc
r(rϕ0(r))0= 0.
Puisquer7→(rϕ0(r))0est continue et nulle surR?, cette fonction est continue
nulle surR.
c) Par suite, il existeC∈Rtel querϕ0(r) =Cpuisϕ0(r) =rCet
ϕ(r) =Cln|r|+DsurR?.
Orϕest définie et continue surRdoncC= 0et finalementϕest constante.

Exercice 9 :[énoncé]
Posons
ϕ(x u) =Z0uf(x+ 1 t) dt
La fonctionfétant de classeC1et l’intégration ayant lieu sur un segment, on
peut affirmer quex7→ϕ(x u)est dérivable et
ddx(ϕ(x u)) =∂ϕ∂x(x u) =Z0u∂f∂x(x+ 1 t) dt
D’autre part,u7→ϕ(x u)est évidemment dérivable et
d(ϕ(x u)) =u∂∂ϕ(x u) =f(x+ 1 u)
du
Notons enfin que les dérivées partielles deϕsont continue en(x u)et donc la
fonctionϕest de classeC1.
1
PuisqueF(x) =ϕ(x x3)−ϕ(x2x),Fest de classeC.
Par dérivation de fonction composée de classeC1:

F0(x) =ϕ∂x∂(x x3) + 3x2∂ϕ∂u(x x3)−∂ϕ∂x(x x2)−2∂ϕu∂(x2x)

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Enfin

3
F0(x) =Zx∂xf∂(x+ 1 t) dt+ 3x2f(x+ 1 x3)−2f(x+ 12x)
2x

Exercice 10 :[énoncé]
Supposonsfhomogène de degrépi.e.

∀t >0,f(tx1     txn) =tpf(x1     xn)

En dérivant cette relation par rapport àtet en évaluant ent= 1, on obtient

n
Xxi∂x∂f(x1     xn) =pf(x1     xn)
i=1i

Corrections

Inversement, cette relation donnet7→g(t)est solution de l’équation différentielle
tg0(t) =pg(t)doncfhomogène de degrép.
Notons que pourn= 1,f(x) =|x|3vérifie la relation et n’est homogène de degré
3 que dans le sens préciser initialement.

Exercice 11 :[énoncé]
Par dérivation de fonctions composées

n
g0(t) =Xhi∂f∂xi(x1+th1     xn+thn)
i=1

Exercice 12 :[énoncé]
a) immédiat.
b) L’applicationdh:f7→Dhf(0)fait l’affaire pour n’importe quelh∈Rnnon nul.
c) Sihest constante égale àλalors pour toute fonctionf∈Eon a par linéarité

d(f h) =λd(f)

et par définition des éléments deD,

d(f h) =f(0)d(h) +λd(f)

En employant une fonctionfne s’annulant pas en 0, on peut affirmerd(h) = 0.
d) Soitx∈Rn, puisque la fonctionϕ:t∈[01]7→f(tx)est de classeC1, on a
) +Z01t) dt
ϕ(1) =ϕ(0ϕ0(

5

ce qui donne
f(x) =f(0) +Z10i=nX1xif∂x∂i(tx) dt
SoitKun compact deRn.
Toute les dérivées partielles enxde(x t)7→f∂∂xi(tx)sont continues surK×[01]
donc bornées.
Par domination, on peut affirmer que la fonctionfi:x7→R10∂x∂fi(tx) dtest de
classeC∞.
e) Notonspi:x7→xi.
Par linéarité ded, on a

n n
d(f) =Xd(pifi) =Xd(pi)fi(0)
i=1i=1

card(f(0)) = 0etpi(0) = 0.
En posantai=d(pi)et sachant

fi(0) =Z10x∂f∂i(0) dt=∂f(0)
xi

on obtient
∀f∈E d(f) =Xnai∂x∂f(0)
i
i=1
f) L’application qui àh∈Rnassociedhest donc une surjection deRnsurD.
Cette application est linéaire et aussi injective (prendref:x7→(h|x)pour
vérifierdh= 0⇒h= 0) c’est donc un isomorphisme et

dimD=n

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