Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Différentielle

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Différentielle Exercice 8 [ 00035 ] [correction] Montrer que l’application Z 1 2Exercice 1 [ 00028 ] [correction] P7→ P(t) dt ?Justifier que la fonction f :C →C définie par f(z) = 1/z est différentiable et 0 calculer sa différentielle. définie sur E =R [X] est différentiable et exprimer sa différentielle.n Exercice 2 [ 00029 ] [correction] Exercice 9 [ 00036 ] [correction] 1Soient E et F deuxR-espaces vectoriels de dimension finies et ϕ :E×E→F une Soit f :E→F de classeC et vérifiant f(λx) =λf(x) pour tout λ∈R et tout application bilinéaire. x∈E. Etablir que ϕ est différentiable et calculer sa différentielle dϕ. Montrer que l’application f est linéaire. Exercice 10 [ 00037 ] [correction]Exercice 3 [ 00030 ] [correction] Soient E un espace euclidien et u un endomorphisme autoadjoint de E.Soit E un espace vectoriel euclidien. a) Montrer que l’application f :x∈E7→ (u(x)|x) est différentiable sur E eta) En quels points l’application x7→kxk est-elle différentiable?2 calculer sa différentielle en tout point.b) Préciser en ces points le vecteur gradient. b) Montrer que (u(x)|x) Exercice 4 [ 00031 ] [correction] F :x∈E\{0 }7→E (x|x)2a) Soit f :M (R)→M (R) définie par f(M) =M .n n 1Justifier que f est de classeC et déterminer la différentielle de f en tout est différentiable sur E\{0 } et que sa différentielle vérifieE M∈M (R).n 3 dF(a) = 0⇔a est vecteur propre de ub) Soit f :M (R)→R définie par f(M) = tr(M ).
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Différentielle

Exercice 1[ 00028 ][correction]
Justifier que la fonctionf:C?→Cdéfinie parf(z) = 1zest différentiable et
calculer sa différentielle.

Exercice 2[ 00029 ][correction]
SoientEetFdeuxR-espaces vectoriels de dimension finies etϕ:E×E→F
application bilinéaire.
Etablir queϕest différentiable et calculer sa différentielledϕ.

Exercice 3[ 00030 ][correction]
SoitEun espace vectoriel euclidien.
a) En quels points l’applicationx7→ kxk2 ?est-elle différentiable
b) Préciser en ces points le vecteur gradient.

Exercice 4[ 00031 ][correction]
a) Soitf:Mn(R)→ Mn(R)définie parf(M) =M2.
Justifier quefest de classeC1et déterminer la différentielle defen tout
M∈ Mn(R).
b) Soitf:Mn(R)→Rdéfinie parf(M) =tr(M3).
Justifier quefest de classeC1et calculer la différentielle defen tout
M∈ Mn(R).

Exercice 5[ 00032 ][correction]
a) Justifier que l’applicationdet :Mn(R)→Rest de classeC∞.
b) Calculer la différentielle dedetenInpuis en toute matriceMinversible.
c) En introduisant la comatrice deM, exprimer la différentielle dedeten tout
M∈ Mn(R).

Enoncés

une

Exercice 6[ 00033 ][correction]
Montrer queA7→detAest de classeC1surMn(R)et calculer sa différentielle en
commençant par évaluer ses dérivées partielles.

Exercice 7[ 00034 ][correction]
Déterminer la différentielle enInpuis enM∈GLn(R)deM7→M−1.

Exercice 8[ 00035 ][correction]
Montrer que l’application
P7→Z01P(t)2dt
définie surE=Rn[X]est différentiable et exprimer sa différentielle.

Exercice 9[ 00036 ][correction]
Soitf:E→Fde classeC1et vérifiantf(λx) =λf(x)pour toutλ∈Ret tout
x∈E.
Montrer que l’applicationfest linéaire.

Exercice 10[ 00037 ][correction]
SoientEun espace euclidien etuun endomorphisme autoadjoint deE.
a) Montrer que l’applicationf:x∈E7→(u(x)|x)est différentiable surEet
calculer sa différentielle en tout point.
b) Montrer que l’application

F:x∈E {0E} 7→(u((xx|)|x)x)

est différentiable surE {0E}et que sa différentielle vérifie
dF(a) = 0⇔aest vecteur propre deu

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02904 ][correction]
Sip∈N, soit

fp: (x y)∈R2 {(00)} 7→(x+y)psinpx2+1y2

1

a) Condition nécessaire et suffisante pour quefpse prolonge par continuité en
(00)?
b) La condition de a) étant remplie, condition nécessaire et suffisante pour que le
prolongement obtenu soit différentiable en(00)?

Exercice 12X MP[ 02976 ][correction]
On munitRnde sa structure euclidienne canonique. Soitf:Rn→Rnune
application de classeC1telle quef(0) = 0.
On suppose quedf(x)est orthogonale pour toutx∈Rn.
Montrer quefest orthogonale.

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Exercice 13X MP[ 03050 ][correction]
Soitϕ∈ C1(RnRn)telle quedϕ(0)soit inversible.
Montrer qu’il existe un voisinageVde 0 tel que la restriction deϕàV
injective.

Exercice 14[ 03415 ][correction]
SoientUun ouvert deRnetf g h:U→Rtelles que

∀x∈U f(x)6g(x)6h(x)

soit

Enoncés

On suppose defethsont différentiables ena∈Uetf(a) =h(a). Montrer queg
est différentiable ena.

2

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
S c`:h7→ −h
oienta∈C?eth∈C:f(a+h)−f(a) =a(a−+hh)=`(h) +α(h)avea2
linéaire etα(h) =a(a−+hh)+ah2=a2(ah2+h)=O(h2) =o(h). La différentielle defen
a−h.
est donc`:h7→a2

Exercice 2 :[énoncé]
On a

ϕ(a+h b+k) =ϕ(a b) +ϕ(h b) +ϕ(a k) +ϕ(h k) =ϕ(a b) +ψ(h k) +o(k(h k)k)

avecψ: (h k)7→ϕ(h b) +ϕ(a k)linéaire etϕ(h k) =o(k(h k)k)car
|ϕ(h k)|6Mkhk kkk.
Par suiteϕest différentiable en(a b)etdϕ(a b) =ψ.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Pourx= 0,t1(k0 +thk − k0k) =|tt|khkn’a pas de limite en 0. Par suitekk
n’est pas différentiable en 0.
Pourx6= 0,
kx+hk=qkxk2+ 2(x|h) +khk2=kxkq1 + 2(kxxk|h2)+kkhxkk22=kxk+(kx|hxk)+o(h)
donckkest différentiable enxet de différentielleh7→(kxx|hk).
b) Le vecteur gradient enx6= 0estxkxk.

Exercice 4 :[énoncé]
a) L’applicationM7→M2est de classeC1car polynomiale. SoientM∈ Mn(R)et
H∈ Mn(R).

f(M+H)−f(M) =M H+H M+H2=ϕ(H) +o(kHk)

avecϕ:H7→M H+H Mlinéaire.
Par suitedf(M) :H7→H M+M H.
b) L’applicationM7→M3estC1car polynomiale et l’applicationM7→tr(M)est
C1car linéaire.
Par opérations sur les fonctions de classeC1,fest de classeC1.
SoientM∈ Mn(R)etH∈ Mn(R).
f(M+H)−f(M) =tr(M2H+H M H+H M2)+tr(M H2+H M H+H2M)+tr(H3)

Posonsϕ:H→tr(M2H+M H M+H M2) = 3tr(M2H).
ϕest une application linéaire telle que :

f(M+H)−f(M) =ϕ(H) +ψ(H)

avec|ψ(H)|6CkHk2doncψ(H) =o(kHk).
Par suite df(M) :H→3tr(M2H).

3

Exercice 5 :[énoncé]
a)detest de classeC∞car polynomiale.
b)det(I+H) = 1 +ϕ(H) +o(kHk)avecϕ=dI(det).
det(In+λEij) = 1 +λδij= 1 +λϕ(Eij) +o(λ)doncϕ(Eij) =δijpuisϕ=tr.
SiMest inversible :
det(M+H) = detMdet(I+M−1H) = detM+ detMtr(M−1H) +o(H)donc
d(det)(M) :H7→detMtr(M−1H).
c) EnMinversible d(det)(M) :H7→detMtr(M−1H) =tr(tcomMH).
Les applicationsM7→d(det)(M)etM7→tr(tcomM×)sont continues et
coïncident sur la partie dense GLn(R), elles sont donc égales surMn(R).

Exercice 6 :[énoncé]
A= (aij)et en développant le déterminant selon laième ligne
n
detA=PaijAijavecAijcofacteur d’indice(i j). On en déduit que
j=1
D(ij)detA=Aijpuis. Les applicationsA7→Aijsont continues car polynomiales
doncA7→detAest de classeC1et
n
d(det)(A) :H7→PAijhij=tr(tcom(A)H)).
ij=1

Exercice 7 :[énoncé]
(In+H)(In−H) =In+o(H)donc(In+H)−1=In−H+o(kHk)d’où
d(M7→M−1)(I) :H7→ −H.
(M+H)−1= (In+M−1H)−1M−1=M−1−M−1H M−1+o(kHk)donc
−1
d(M7→M−1)(M) :H7→ −M−1H M.

Exercice 8 :[énoncé]
Posonsf(P) =R10P(t)2dt.f(P+H) =f(P) + 2R10P(t)H(t) dt+R01H(t)2dt.
Posons`(H) = 2R10P(t)H(t) dtce qui définit`forme linéaire surE.

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En munissantEde la normekk=kk∞, on observe
R10H(t)2dt6kHk2(kHk).
∞=o
Ainsi, la relation précédente donnef(P+H) =f(P) +`(H) +o(kHk)ce qui
assure quefest différentiable enPetdf(P) :H7→2R10P(t)H(t) dt.

Exercice 9 :[énoncé]
Remarquons

et notons`= df(0).
D’une part

f(0) =f(00) = 0f(0) = 0

f(λx) =f(0) +`(λx) +o(λkxk)

et d’autre part
f(λx) =λf(x)
On en déduit
λ`(x) +o(λkxk) =λf(x)
En simplifiant parλet en faisantλ→0+, on obtientf(x) =`(x).
Ainsi l’applicationfest linéaire.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Poura h∈E,

f(a+h)−f(a) = (u(a)|h) + (u(h)|a) + (u(h)|h) =`(h) +o(khk)

Corrections

avec`(h) = 2(u(a)|h)définissant une application linéaire et(u(h)|h) =o(khk)
car|(u(h)|h)|6kuk khk2. Ainsifest différentiable en touta∈Eet

df(a) :h7→2(u(a)|h)

b)Fque rapport défini de fonctions différentiables.est différentiable en tant
La formule
d (f g) = (gdf−fdg)g2
donne
(u(a)|h) (u(a)|a)(a|h)

dF(a) :h7→2(a|a)−2(a|a)2 (= 2v(a)|h)

avec

v(a) =u(a) (u(kaa)|k2a)a
kak2
SidF(a) = 0alorsv(a) = 0et doncu(a)est colinéaire àa.
La réciproque est aussi vraie.

4

Exercice 11 :[énoncé]
a) En polaires,x=rcosθ,y=rsinθ,fp(x y) = (cosθ+ sinθ)prpsin1r.
Sip >0alorsfp(x y)−−−−−−−→0et on peut prolongerfpar continuité en(00).
(xy)→(00)
Sip= 0alorsf0(x y) = sin√x2+1y2diverge car le sinus diverge en+∞.
b) On supposep>1.
Pourp= 2:f2(x y) = (x+y)2sin√x21+y2=O(k(x y)k2)ce qui s’apparente à un
développement limité à l’ordre 1 en(00).
La fonctionf2est donc différentiable en(00)de différentielle nulle.
Pourp >2:fp(x y) = (x+y)p−2f2(x y). La fonctionfpest différentiable par
produit de fonctions différentiables.
Pourp= 1: Quandh→0+,h1(f1(h0)−f1(00)) = sin1hdiverge.
Ainsifn’est pas dérivable en(00)selon le vecteur(10), elle ne peut donc y tre
différentiable.

Exercice 12 :[énoncé]
Soienta b∈Rnetϕ: [01]→Rndéfinie par

ϕ(t) =f(a+t(b−a))

La fonctionϕest de classeC1et sa dérivée est donnée par

ϕ0(t) = df(a+t(b−a))(b−a)

Puisquef(b)−f(a) =ϕ(1)−ϕ(0), on a
f(b)−f(a) =Z10df(a+t(b−a))(b−a) dt

et donc

1
k6Z0b−a)kdt6kb−ak
kf(b)−f(a)kdf(a+t(b−a))(

Pour poursuivre supposons que l’on sache la fonctionfbijective.
Puisquefest de classeC1et puisque son jacobien ne s’annule pas (car le
déterminant d’une matrice orthogonale vaut±1), on peut, par le théorème
d’inversion globale, affirmer quefest unC1difféomorphisme deRnversRnet que
∀y∈Rnd(f−1)(y) = [df(x)]−1avecx=f−1(y)

Puisqu’en tout point, la différentielle defest orthogonale, il en est de mme de la
différentielle def−1
.

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L’étude précédente appliquée àf−1donne alors

∀c d∈Rnf−1(d)−f−1(c)6kd−ck

Cette propriété et la précédente donne

∀a b∈Rnkf(b)−f(a)k=kb−ak

Sachantf(0) = 0, on obtient

et alors la relation

∀a∈Rnkf(a)k=kak

kf(b)−f(a)k2=kf(b)k2−2(f(a)|f(b)) +kf(a)k2

permet d’établir
∀a b∈Rn(f(a)|f(b)) = (a|b)
Soienta b h∈Rn. Pourt6= 0,
1t(f(a+th)−f(a))|f(b)= (h|b)

et donc à la limite quandt→0

( df(a)h|f(b)) = (h|b)

Par la surjectivité def, on en déduit

et donc

∀a a0 c h∈Rn( df(a)h|c d) = (f(a0)h|c)

∀a a0∈Rndf(a) = df(a0)

Corrections

La différentielle defest donc constante. Notons`l’endomorphisme orthogonal
égal à cette constante.
En reprenant des calculs semblables à ceux initiaux
1
∀a∈Rn f(a) =f(0) +Z0ta)adt=Z10`(a) dt=`(a)
df(0 +
Il ne reste plus qu’à démontrer le résultat sans supposer la fonctionf
bijective. . . ce que je ne sais pas simplement argumenter !
On peut cependant, on peut exploiter le théorème d’inversion locale et les idées
suivantes :

5

L’applicationfréalise unC1difféomorphisme d’un ouvertUdeRncontenant 0
vers un ouvertVcontenant aussi 0.
Ce qui est embtant pour poursuivre, c’est qu’on ne sait pas si cet ouvertVest
convexe. . . Cependant, il existe une boule ouverteB(0 R)incluse dansVet quitte
à restreindre l’ouvertU, on peut désormais supposer quefréalise unC1
difféomorphisme d’un ouvertUcontenant 0 vers l’ouvertB(0 R). On a alors
comme dans l’étude qui précède

et

ce qui assure

∀a b∈Ukf(b)−f(a)k6kb−ak

∀c d∈B(0 R)f−1(d)−f−1(c)6kd−ck

∀a b∈Ukf(b)−f(a)k=kb−ak

On en déduit
∀a b∈U(f(a)|f(b)) = (a|b)
Sachant que lesf(b)parcourent un ouvert deRncentré en 0, on peut comme au
dessus conclure que la différentielle defest constante sur l’ouvertU.
Pourx0∈Rn, on reprend l’étude avec l’applicationg:x7→f(x0+x)−f(x0)et
on obtient que la différentielle defest localement constante puis constante car
continue. On peut alors enfin conclure.

Exercice 13 :[énoncé]
Casdϕ(0) =IdRn:
Considérons l’applicationψ:x7→ϕ(x)−x.
ψest de classeC1etdψ0)=˜0(, il existe donc une bouleBcentrée en 0 telle que

∀x∈Bkdψ(x)k612

Par l’inégalité des accroissements finis, on a alors

∀x y∈Bkψ(y)−ψ(x)k612ky−xk

Pourx y∈B, siϕ(x) =ϕ(y)alorsψ(y)−ψ(x) =y−xet la relation précédente
donne
ky−xk612ky−xk
d’où l’on tirey=x.
Cas général :

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Corrections

Considérons l’applicationθ= (dϕ)−1(0)◦ϕqui est de classeC1par composition.
Pour celle-ci
dθ(0) = (dϕ−1)(0)◦dϕ(0) =IdRn

Par l’étude précédente, il existeVvoisinage de 0 tel que la restriction deθau
départ deVsoit injective et alors, par un argument de composition, la restriction
deϕau départ de ce mme voisinageVest aussi injective.

Exercice 14 :[énoncé]
Notons que

Soitu∈Rn. On a

g(a) =f(a) =h(a)

Duf(a) = lti→mf(a+tut)−f(a)etDuh(a) =tli→m0h(a+tu)−h(a)
0t

Quandt >0,

f(a+tu)−f(a)h(a+tu)−h(a)

t6t
donc quandt→0+
Duf(a)6Duh(a)
Une étude analogue avect→0−permet de conclure

Duf(a) = Duh(a)

Ainsi les différentielles defethenasont égales. Notons`cette différentielle
commune.
Quandu→0, on a

donc

f(a+u) =f(a) +`(u) +o1(u)eth(a+u) =h(a) +`(u) +o2(u)

g(a) +`(u) +o1(u)6g(a+u)6g(a) +`(u) +o2(u)

et on en déduit

g(a+u) =g(a) +`(u) +o(u)

Ainsigest différentielle enaet sa différentielle enaest l’application linéaire`.

6

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