Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Equations aux dérivées partielles d'ordre 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equations aux dérivées partielles d’ordre 1 Exercice 6 Mines-Ponts MP [ 02913 ] [correction] 2 ∞On note U l’ensemble des (x,y) deR tels que x> 0 et E =C (U,R). Soit αf :U→R etα∈R; on dit que f est homogène de degré α sif(tx,ty) =t f(x,y)Exercice 1 [ 00044 ] [correction] +?2 pour tous t∈R , (x,y)∈U. On pose :Résoudre surR l’équation aux dérivées partielles ( ∂f ∂f ∂f ∂f u = 2x +y ∀f∈E,∀(x,y)∈U, Φ(f)(x,y) =x (x,y) +y (x,y) (x,y)− 3 (x,y) = 0 via ∂x ∂y ∂x ∂y v = 3x +y a) Déterminer ker Φ. b) Soit f∈E. Montrer que f est homogène de degré α si, et seulement si, Φ(f) =αf.Exercice 2 [ 01765 ] [correction] 2 c) Résoudre l’équation d’inconnue f∈E, Φ(f) =h, h étant la fonction qui àRésoudre surR 2 2 3/2( (x,y) associe (x +y ) xy. ∂f ∂f u =x +y (x,y) + (x,y) =f(x,y) via ∂x ∂y v =x−y Exercice 7 [ 03793 ] [correction] On étudie l’équation aux dérivées partielles Exercice 3 [ 00076 ] [correction] ∂f ∂f+?En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctions f :R × R→R de (E) :x (x,y) +y (x,y) =f(x,y) 1 ∂x ∂yclasseC solutions de l’équation aux dérivées partielles 1 2où la fonction inconnue f est de classeC deR versR.∂f ∂f x +y = 0 a) Montrer l’existence de solution.∂x ∂y 2b) Soit g :t7→f(tx,ty) avec (x,y) un couple deR . 1Montrer que g est de classeC et exploiter cette fonction pour résoudre l’équation (E).Exercice 4 [ 00080 ] [correction] +?
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Equations aux dérivées partielles d’ordre

Exercice 1[ 00044 ][correction]
Résoudre surR2l’équation aux dérivées partielles
∂fx(y)−3∂y∂f(x y) = 0via(vu3=2=xx++yy
∂ x

Exercice 2[ 01765 ][correction]
Résoudre surR2

∂∂fx(x y) +∂f∂y(x y) =f(x y)via

(uv==xx−+yy

1

Enoncés

1

Exercice 6Mines-Ponts MP[ 02913 ][correction]
On noteUl’ensemble des(x y)deR2tels quex >0etE=C∞(UR). Soit
f:U→Retα∈R; on dit quefest homogène de degréαsif(tx ty) =tαf(x y)
pour toust∈R+?,(x y)∈U. On pose :

∀f∈E,∀(x y)∈U,Φ(f)(x y) =∂xx∂f(x y) +f∂y∂y(x y)

a) Déterminerker Φ.
b) Soitf∈E. Montrer quefest homogène de degréαsi, et seulement si,
Φ(f) =αf.
c) Résoudre l’équation d’inconnuef∈E,Φ(f) =h,hétant la fonction qui à
(x y)associe(x2+y2)32xy.

Exercice 7[ 03793 ][correction]
On étudie l’équation aux dérivées partielles

cEElanxsespreacsiCsc1aetnos3neul[ti0oc0o0n7so6drd]eo[cl’nonérqéreesucatptiioloonan]urxiaridéretéd,seserillelssmeinetéivosnefaopntcrf:R+?×R→Rde(E) :∂x∂fx(x y) +∂yy∂f(x y) =f(x y)
où la fonction inconnuefest de classeC1deR2versR.
f ∂= 0a) Montrer l’existence de solution.
x∂∂x+yyf∂b) Soitg:t7→f(tx ty)avec(x y)un couple deR.
2
Montrer quegest de classeC1et exploiter cette fonction pour résoudre l’équation
Exercice 4[ 00080 ][correction](E).
En passant en coordonnées polaires, déterminer les fonctionsf:R×R+?→Rde
classeC1solutions de l’équation aux dérivées partielles

∂f ∂f
y∂x−y∂x=f

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02912 ][correction]
a) Soitα∈R. Trouver lesf∈ C1(R×R+?R)telles que

x∂∂f+y∂y∂f=αf
x

b) Trouver toutes lesf∈ C1(R×R+?R)telles que

∂f ∂f
x∂x+y∂y

xpx3+y3
=
y

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]

(vu3==2xx++yy⇔(yx==v3u−−u2v

Posonsφ:R2→R2définie par

φ(u v) = (v−u3u−2v)

φest une bijection de classeC1(et mme unC1-difféomorphisme)
Soientf:R2→Rde classeC1etg:R2→Rdéfinie par «g(u v) =f(x y)
g(u v) =f(v−u3u−2v)
g=f◦φest de classeC1et

∂∂ug(u v) =−f∂x∂(x y) + 3∂∂fy(x y)

Corrections

»i.e.

fest solution de l’équation si, et seulement si,∂g∂u= 0soitg(u v) =ϕ(v)avecϕ
fonction de classeC1
.
Les solutions de l’équation aux dérivées partielles sontf(x y) =ϕ(3x+y)avecϕ
de classeC1.

Exercice 2 :[énoncé]

(vu==xx−+yy⇔(yx=((=uu−+vv))22

Posonsφ:R2→R2l’application définie par
φ(u v) =u2+ uv −2v

1
φest une bijection de classeC.
Soitf:R2→Rune fonction de classeC1etg:R2→Rdéfinie par
g(u v) =f((u+v)2(u−v)2).
Par compositiong=f◦φest de classeC1et
∂∂gu(u v) =21x∂f∂(x y21+)yf∂∂(x y)(xy)=φ(uv)

Par suitefest solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et
seulement si,gest solution de l’équation aux dérivées partielles
∂g
=
2∂u g
Après résolution, on obtientg(u v) =C(v)eu2avecCfonction de classeC1
définie surRpuis
f(x y) =C(x−y)e(x+y)2

Exercice 3 :[énoncé]
Soientf:R+?×R→Rune fonction de classeC1etg:R+?×]−π2 π2[→R
définie parg(r θ) =f(rcosθ rsinθ). Par compositiongestC1sur
R+?×]−π2 π2[et
r∂∂gr(r θ) =rcos∂f∂xθ(rcosθ rsinθ) +rsiny∂∂fθ(rcosθ rsinθ)
fest solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et seulement si,
r∂g∂r(r θ) = 0ce qui conduit àg(r θ) =h(θ)puisf(x y) =harctanxy= ˜hyx
avec˜hfonction de classeC1définie surR.

Exercice 4 :[énoncé]
Soitf:R×R+?une fonction de classeC1solution de
∂f ∂f
y∂x−∂yx=f
Soitg:R+?×]0 π[→Rl’application définie parg(r θ) =f(rcosθ rsinθ).
Par compositiongest de classeC1surR+?×]0 π[et
∂∂θg(r θ) =−rsinx∂f∂θ(rcosθ rsinθ) +rcos∂y∂fθ(rcosθ rsinθ)
ce qui donne
∂∂gθ(r θ) =−y∂f∂x(x y) +y∂f∂x(x y) =−g(r θ)
Pourr∈R+?fixé,θ7→g(r θ)est solution de l’équation différentielle
y0(θ)y(θ).
=−
Après résolution il existeC(r)∈Rtel queg(r θ) =C(r)e−θ
De plus, la fonctionr7→C(r) =g(r0)est une fonction de classeC1surR+?.
Ainsi
f(x y) =C(px2+y2)earctan(xy)−π2=h(x2+y2)earctan(xy)
oùhestC1surR+?.
Inversement de telles fonctions sont bien solutions.

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
a) On passe en coordonnées polaires avecr=px2+y2etθ= arctan(xy)de
sorte quex=rsinθety=rcosθ.
On parvient à
f(x y) =C(xy)(x2+y2)α2

avecCune fonction de classeC1définie surR.
b) Idem, on parvient à

f(x y)=23xypx3+y3+C(xy)

avecCune fonction de classeC1définie surR.

Exercice 6 :[énoncé]
a) L’applicationφest clairement un endomorphisme deE.
Posonsx=rcosθ,y=rsinθavecr=px2+y2etθ= arctanx,
y
(r θ)∈V=R+?×]−π2 π2[
Pourf∈E, on considèreg∈ C∞(VR)définie parg(r θ) =f(rcosθ rsinθ).
On remarque

r∂∂gr(r θ) =rcos∂θ∂fx(rcosθ rsinθ) +rsin∂y∂fθ(rcosθ rsinθ)

Ainsi
Φ(f) = 0⇔g∂r∂(r θ) = 0
r
pour tout(r θ)∈V.
La résolution de cette équation aux dérivées partielles donneg(r θ) =C(θ)avec
Cde classeC∞sur]−π2 π2[.
Par suite on obtient la solution généralef(x y) =C(arctan(yx)) =D(yx)avec
Dfonction de classeC∞surR.
b) Sifest homogène de degréαalors en dérivant la relationf(tx ty) =tαf(x y)
par rapport àtpuis en évaluant le résultat ent= 1on obtient l’égalitéΦ(f) =αf.
Inversement siΦ(f) =αfalors en introduisantgcomme ci-dessus, on obtient

r∂∂rg(r θ) =αg(r θ)

ce qui donneg(r θ) =C(θ)rαpuis

f(x y) =D(yx)(x2+y2)α2

avecDfonction de classeC∞surR. Il est alors facile de vérifier quefest
homogène de degréα.
c) La fonctionhest homogène de degré 5, donch5est solution particulière de
l’équation linéaireΦ(f) =hL’ensemble des solutions de l’équation est alors le.
sous-espace affineh5 + ker Φ.

Exercice 7 :[énoncé]
a) Les fonctions données parf(x y) =ax+bysont solutions.
b) Par composition, la fonctiongest de classeC1et

g0(t) =∂xf∂(tx ty) +y∂f∂y(tx ty)
x

de sorte que
tg0(t) =f(tx ty) =g(t)
La résolution de l’équation différentiellety0(t) =yaprès raccord donne

On en déduit

y(t) =λtavecλ∈R

∀(x y)∈R2∀t∈R f(tx ty) =tf(x y)

Inversement, une fonction vérifiant cette relation est solution de(E).

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