Sujet : Analyse, Calcul différentiel, Equations aux dérivées partielles d'ordre 2

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Equations aux dérivées partielles

Exercice 1[ 00081 ][correction]
En réalisant le changement de variables
(uv==xx−+yy

d’ordre

2

déterminer les fonctionsf:R2→Rde classeC2solutions de l’équation aux
dérivées partielles

∂∂2xf2(x y)−∂∂2yf2(x y) = 0

Exercice 2[ 00082 ][correction]
En réalisant le changement de variables
u=x
(v=x+y

déterminer les fonctionsf:R2→Rde classeC2solutions de l’équation aux
dérivées partielles
∂∂2fx22∂∂x2∂f∂2f= 0
−+∂y2
y

Exercice 3[ 00084 ][correction]
En réalisant le changement de variables
(u

=xy
v=xy

Enoncés

déterminer les fonctionsf:R+?×R+?→Rde classeC2solutions de l’équation
aux dérivées partielles
x2∂2fy2∂∂2f2= 0

∂x2y

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(uv==xx−+yy(xy(=(=uu+−vv))22
Soientf:R2→Rde classeC2etg:R2→Rdéfinie par
g(u v) =f((u+v)2(u−v)2).gest de classeC2.
fest solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et seulement si,

∂∂u∂gv(u v) = 0

soitg(u v) =C(u) +D(v)avecC Dfonction de classeC2.
Ainsi les solutions sontf(x y) =C(x+y) +D(x−y).

Exercice 2 :[énoncé]
Soientf:R2→Rune fonction de classeC2surR2etg:R2→Rdéfinie par
g(u v) =f(u v−u). Par compositiongestC2surR2,

∂∂gu(u v) =∂fx∂(u v−u)−f∂y∂(u v−u)

et
2g
∂∂u2(u v) =∂∂2xf2(u v−u)−2∂x∂2f∂y(u v−u) +∂∂2yf2(u v−u)
fest solution de l’équation aux dérivées partielles étudiée si, et seulement si,

∂2g
∂u2(u v) = 0

soitg(u v) =uC(v) +D(v)puisf(x y) =xC(x+y) +D(x+y)avecC D
fonctions de classeC2.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Soitf:R+?×R+?→Rune fonction de classeC2solution dex2∂∂2f2−y2∂∂2fy2= 0.
x
Soitg:R+?×R+?→Rl’application définie parg(u v) =f(√uvpuv).
Par compositiongestC2surR+?×R+?et
∂∂gv=2√√f∂xv∂u−2v√√uv∂f∂y,∂u∂2g∂v=14∂∂2fx2−1∂2f+4√1∂x∂fvu−4v1√v∂uyf∂=21∂uv∂g.
4v2∂y2
Pourv∈R+?fixé,u7→∂g∂v(u v)est solution de l’équation différentielle
2uy0(u) =y(u).

Par suite il existeC(v)∈Rtelle que

∂∂gv(u v) =C(v)√u

2

De plus la fonctionv7→C(v)est de classeC1et siGdésigne une primitive de
celle-ci :
g(u v) =G(v)√u+H(u)oùHest une fonction dont le caractèreC2n’échappe à
personne.
Finalement
f(x y) =G(xy)√xy+H(xy)

oùGetHsont des fonctions de classeC2.
Inversement de telles fonctions sont bien solutions.

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