Sujet : Analyse, Calcul et irrationnalité de zeta(2)

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Suites numériques. Dérivation. Calcul intégral.

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Calcul et irrationalité de zeta(2)

Dans ce problème, pour une fonctionet un entier naturel,()désigne la dérivéeèmede la fonction
avec(0)=.Sauf s’il est précisé entier naturel, un entier peut être positif ou négatif.
Les parties I, II et IV sont indépendantes entre elles.


Partie I Convergence de la suite∑=11≥1

Dans cette partie,etsont deux entiers naturels non nuls avec≥2 , et on pose()==∑11.

1.

2.a

2.b

2.c

1.

2.

2.a

2.b

3.a

3.b
4.

4.a

4.b
4.c

Etudier la monotonie de la suite(()≥1.
+
≤
Montrer que pour tout entier≥1 , (+1)1∫11d≤1.
Montrer que pour tout≥2 ,()−1≤∫11d≤1− 1.

ge. On poseζ()=lim() .
Conclure que() conver→+∞

Partie II Nombres de Bernoulli

Soitune fonction définie et continue sur 0,πà valeurs réelles.
Montrer qu’il existe une unique fonction: 0,π→ℝde classe1telle que :
′etπ()d0

= =
0
Pour tout∈ℕ, on considère les fonctions: 0,π→ℝdéfinies par :
0=1 et∀∈ℕ,′+1et0π+1()d=0 .

=
Exprimer1() et2() .
Montrer que pour tout≥2 ,(0)=(π) .
Montrer qu’il existe une unique suite réelle (β)∈ℕtelle que :

β0= pour tout1 et≥2 ,∑β−=0
=1
Calculerβ1,β2,β3etβ4.
Pour tout∈ℕ, on définitˆ: 0,π→ℝpar :

ˆ(=1∑=β−π−.
∀∈0,π, ) !0
π
Calculerˆ()det observer que pour tout≥1 ,ˆ′()=ˆ−1() .
0
En déduire que pour tout∈ℕ,=ˆ.
Que vaut(0) ?

1.

2.

3.

3.a

3.b

3.c

4.

4.a

4.b

5.

Partie III Calcul deζ(2)


Calculer, pour∈0,π,∑cos(2) puis déterminer une constanteλtelle que :
=1

∀∈ ]π+=∑+λ
0,], sin(2sin2(1)=1cos(2 )

Montrer à l’aide d’une intégration par parties que pour toute fonction: 0,π→ℝde classe1:

π
lim0() sin((2+1))d=0
→+∞

π
Pour des entiers≥0 et>0 , on pose,=02() cos(2)d.
A l’aide de deux intégrations par parties, calculer1,.
Trouver, pour≥2 , une relation entre,et−1,.
en fonction deet de.
En déduire l’expression de,
On suppose≥1 et on définit la fonctionϕ: 0,π→ℝpar :

ϕ(0)=0 ,ϕ(π)=0 et∀∈0,π,ϕ()=2()s−2(0)
in.
Nousadmettonsque cette fonctionϕest de classe1.
Exprimer0πϕ() sin((2+1))den fonction de≥1 , deet de2(0) .
En déduire la valeur deζ(2) en fonction deet de2(0) .
Donner les valeurs deζ de(2) etζ(4) .

Partie IV Irrationalité deζ(2)

 
Dans cette partie, pourentier n=.
aturel non nul etréel, on pose( )(1−!)

1. Dans cette question,est un entier naturel non nul.

1.a Montrer qu’il existe+1 entiers,+1,…,2tels que()=!12=∑.
 
1.b Montrer que pour tout entier naturel,() entier.(0) est
1.c En remarquant que()=(1−) , observer() aussi entier pour tout(1) est∈ℕ.

On veut montrer queπ2est un irrationnel, et on varaisonner par l’absurde :on suppose queπ2=oùet
sont deux entiers naturels non nuls.

2. On pose, pourentier naturel non nul etréel :
()=(π2()−π2−2(2)()+π2−4(4)()−⋯+(−1)(2())).
2.a Montrer que(0) et(1) sont des entiers.
2.b On pose, pourentier naturel non nul etréel :
()′() sin()() cos()
=π−π π

Montrer que, pourentier naturel non nul etréel :
′()=π2() sin(π) .
1
2.c Etablir que=π0() sin(π)dest un entier.

3.

3.a

3.b

3.c

3.d


On pose, toujours pour le même entier,= !.
Montrer qu’il existe un entier naturel0tel que pour tout entier≥0,<. 21
Montrer que pour tout réel∈0,1 , 0≤()≤ .!1

Montrer alors que, pour tout entier≥0,∈ conclure que0,1 etπ2est irrationnel.
Peut-on déduire de ce qui précède l’irrationalité deπ?

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