Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Continuité et compacité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Continuité et compacité Exercice 6 [ 01177 ] [correction] Soit f :A⊂E→F avec F espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que f est bornée et queExercice 1 [ 01172 ] [correction] Soient E un espace vectoriel normé de dimension finie non nulle et u∈L(E,F ). Γ ={(x,y)∈A×F/y =f(x)}f Montrer qu’il existe un vecteur x ∈E unitaire tel que0 est une partie fermée de E×F. kuk =ku(x )k0 Montrer que f est continue. Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02775 ] [correction]Exercice 2 [ 01173 ] [correction] Soient (E,k.k) un espace vectoriel normé, K un compact non vide de E etSoient E et F deux espaces vectoriels normés de dimensions finies. f :K→K telle queSoient K un compact de E et f :K→F une application continue injective. a) On pose L =f(K). Montrer que L est compact. 2−1 ∀(x,y)∈K ,x =y⇒kf(x)−f(y)k 0 x∈K,y∈L convexe non vide de E stable par u. ?Si n∈N , soit n−1X1 iu = unExercice 4 [ 01175 ] [correction] n i=0Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie. a) Montrer que :a) Soit A une partie non vide de E. Montrer que l’application x7→d(x,A) est ∀n∈N,u (C)⊂Ccontinue sur E. n b) Soit K un compact non vide inclus dans un ouvert U. b) Soit x∈u (C). Proposer un majorant de N (x−u(x))n Montrer qu’il existe α> 0 tel que∀x∈K,B(x,α)⊂U. c) Montrer que \ u (C) =∅n ?n∈N Exercice 5 [ 01176 ] [correction] d) Montrer que u possède un point fixe dans K. Soit K un compact d’un espace vectoriel normé E de dimension finie.
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Continuité et compacité

Enoncés

Exercice 1[ 01172 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé de dimension finie non nulle etu∈ L(E F).
Montrer qu’il existe un vecteurx0∈Eunitaire tel que

kuk=ku(x0)k

Exercice 2[ 01173 ][correction]
SoientEetFdeux espaces vectoriels normés de dimensions finies.
SoientKun compact deEetf:K→Fune application continue injective.
a) On poseL=f(K). Montrer queLest compact.
b) Montrer quef−1:L→Kest continue.

Exercice 3[ 01174 ][correction]
SoientKetLdeux compacts non vides et disjoints.
Montrer
d(K Lf
) =x∈iKny∈Lky−xk>0

Exercice 4[ 01175 ][correction]
SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie.
a) SoitAune partie non vide deE. Montrer que l’applicationx7→d(x A)est
continue surE.
b) SoitKun compact non vide inclus dans un ouvertU.
Montrer qu’il existeα >0tel que∀x∈K B(x α)⊂U.

Exercice 5[ 01176 ][correction]
SoitKun compact d’un espace vectoriel norméEde dimension finie.
Soitf:K→Kune application telle que

∀x y∈K x6=y⇒d(f(x) f(y))< d(x y)

Montrer quefadmet un unique point fixe.

Exercice 6[ 01177 ][correction]
Soitf:A⊂E→FavecFespace vectoriel normé de dimension finie.
On suppose quefest bornée et que

Γf={(x y)∈A×F y=f(x)}

est une partie fermée deE×F.
Montrer quefest continue.

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02775 ][correction]
Soient(Ekk)un espace vectoriel normé,Kun compact non vide deEet
f:K→Ktelle que

∀(x y)∈K2 x6=y⇒ kf(x)−f(y)k<kx−yk

1

a) Montrer qu’il existe un unique point fixecdefsurK.
b) Soit(xn)telle quexn+1=f(xn)etx0∈K. Montrer que(xn)converge versc.

Exercice 8X MP[ 02955 ][correction]
SoientEunR-espace vectoriel de dimension finie,udansL(E)etCun compact
convexe non vide deEstable paru.
Sin∈N?, soit

u1nX1ui
n=
n
i=0
a) Montrer que :
∀n∈N u(C)⊂C

n
b) Soitx∈un(C). Proposer un majorant deN(x−u(x))
c) Montrer que
\un(C)6=∅
n∈N?
d) Montrer queupossède un point fixe dansK.

Exercice 9[ 03410 ][correction]
Soientfune application deRdansRetIun segment inclus dans l’image def.
Montrer qu’il existe un segmentJtel que

f(J) =I

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Exercice 10[ 03471 ][correction]
SoitEun espace normé etfune application vérifiant

∀x y∈Ekf(x)−f(y)k=kx−yk

SoitKune partie compacte deEtelle quef(K)⊂K.
a) Pourx∈Kon considère la suite récurrente(xn)donnée par

x0=xet∀n∈N xn+1=f(xn)

Montrer quexest valeur d’adhérence de la suite(xn).
b) En déduire quef(K) =K.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
kuk= supku(x)k, or{x∈Ekxk= 1}est un compact non vide (car fermé,
kxk=1
image réciproque du fermé{1}par l’application norme et clairement borné en
dimension finie) donc l’applicationx7→ ku(x)kétant à valeurs réelles et continue
admet un maximum sur ce compact en un élémentx0qui résout le problème posé.

Exercice 2 :[énoncé]
a)Lest l’image d’un compact par une application continue doncLest compact.
b) Supposonsf−1non continue :∃y∈L∃ε >0∀α >0∃y0∈Ltel que
−1(y
|Pyo0s−onys|x6=αfet−1(fy−)1e(ty0e)n−pfrenant)α>=ε.1définissonsyn∈Lpuisxn=f−1(yn)tels
que|yn−y|61ne−x|> ε.(xnléments du compactK
t|xn n)est une suite d’é
donc elle possède une sous-suite convergente :(xϕ(n)). Posonsa= limxϕ(n).
Commefest continue,yϕ(n)=f(xϕ(n))→f(a)oryn→ydonc par unicité de la
limitey=f(a)puisa=f−1(y) =x. Ceci est absurde puisquexϕ(n)−x> ε.

Exercice 3 :[énoncé]
L’applicationx7→d(x L) =yin∈fLky−xkest une fonction réelle continue sur le
compactKdonc admet un minimum en un certaina∈K. Ory7→ ky−akest
une fonction réelle continue sur le compactLdonc admet un minimum en un
certainb∈L. Ainsi

d(K L) =xi∈nfK yi∈nfLky−xk=yi∈nfLky−ak=kb−ak>0

cara6=bpuisqueK∩L=∅.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soientx x0∈E.
∀y∈A,kx−yk6kx−x0k+kx0−ykdoncd(x A)6kx−x0k+kx0−ykpuis
d(x A)− kx−x0k6kx0−yketd(x A)− kx−x0k6d(x0 A). Ainsi
d(x A)−d(x0 A)6kx−x0ket par symétrie|d(x A)−d(x0 A)|6kx−x0k.
Finalementx7→d(x A)est 1 lipschitzienne donc continue.
b) Considérons l’applicationx7→d(xCEU)définie sur le compactK.
Cette application est bornée et atteint ses bornes. Posonsα= miKnd(xCEU)
x∈
atteint enx0∈K.
Siα= 0alorsx0∈ CEUorCEUest fermé et doncx0∈ Uorx0∈K.
Nécessairementα >0et alors∀x∈K B(x α)⊂U.

3

Exercice 5 :[énoncé]
Unicité : Six6=ysont deux points fixes distincts on ad(x y)< d(x y), c’est
exclu, d’où l’unicité.
Existence : Considéronsg:x7→d(x f(x))définie surK. Par compositiongest
continue et puisqueKest compacte,gatteint son minimum en un certainx0∈K.
Sif(x0)6=x0on a alorsg(f(x0)) =d(f(f(x0)) f(x0))< d(f(x0) x0) =g(x0)ce
qui contredit la définition dex0. Nécessairementf(x0) =x0ce qui résout le
problème.

Exercice 6 :[énoncé]
Par l’absurde, supposons qu’il existea∈Atel quefn’est pas continue ena.

∃ε >0∀α >0∃x∈Akx−ak6αetkf(x)−f(a)k> ε

Cela permet de construire(xn)∈ANtelle quexn→aetkf(xn)−f(a)k> ε.
La suite(f(xn))est bornée dans l’espace vectoriel norméFde dimension finie, on
peut donc en extraire une suite convergentef(xϕ(n)). Notonsbsa limite. Comme

∀n∈Nf(xϕ(n))−f(a)> ε

à la limitekb−f(a)k>εet doncf(a)6=b. Or(xϕ(n) f(xϕ(n)))→(a b),
(xϕ(n) f(xϕ(n)))∈Γfet(a b)∈ΓfdoncΓfn’est pas fermée. Absurde.

Exercice 7 :[énoncé]
a) L’unicité est évidente. Pour l’existence, on introduitδ:x7→ kf(x)−xk. La
fonctionδest continue sur le compactKelle admet donc un minimum en un
c∈K. Sif(c)6=calorsδ(f(c)) =kf(f(c))−f(c)k<kf(c)−ck=δ(c)ce qui
contredit la minimalité dec. Il restef(c) =c.
b) Introduisonsdn=kxn−ck. La suite(dn)est décroissante et minorée donc elle
converge ; posonsdsa limite. La suite(xn)évolue dans un compact, il existe donc
une extractriceϕtelle que(xϕ(n))converge vers un élémentadeK. On a alors
dϕ(n)→det doncd=ka−ck. La suite(xϕ(n)+1)converge versf(a). On a aussi
dϕ(n)+1→det doncd=kf(a)−ck=kf(a)−f(c)k. L’hypothèsea6=c
contredirait l’hypothèse faite surf. Nécessairementxϕ(n)→c. En substance la
suite(xn)du compactKn’admet qu’une valeur d’adhérence donc elle converge
vers celle-ci.

Exercice 8 :[énoncé]
a)Cest stable par tous lesuiet puisqueCest convexe et queun(x)est une

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combinaison convexe dex u(x)     un−1(x), on peut assurer queCest stable par
un.
b) Il existea∈Ctel que

En simplifiant

x=un(a) =n1a+u(a) +∙ ∙ ∙+un−1(a)

x−u(x) = 1n(a−un(a))

donc
N(x−u(x))62Mn
avecM= supN(a).
a∈C
c) Puisqueunest linéaire et continue, on peut affirmer queun(C)est un compact
convexe non vide.
De plusun(C)est stable paruet donc pour tout naturelp,up(un(C))⊂un(C).
Considérons alors la suite(xn)définie à partir dex0∈Cet de la récurrence
xn=un(xn−1).
Pour toutp>n,xp∈un(C)compte tenu de la remarque précédente.
La suite(xn)évoluant dans le compactC, elle admet une valeur d’adhérencex∞.
Pour toutn∈N,x∞est valeur d’adhérence de la suite(xp)p>nd’éléments du
ferméun(C)doncx∞∈un(C).
Ainsix∞∈Tun(C)et doncTun(C)6=∅.
n∈N?n∈N?
d) Soitx∈Tun(C).
n∈N?
2MdoncN
En vertu deb, on a pour toutn∈N,N(x−u(x))6n(x−u(x)) = 0
puisu(x) =x.

Exercice 9 :[énoncé]
Notonsα βles extrémités deI.
Soienta b∈Rdes antécédents deα βrespectivement. Malheureusement, on ne
peut pas déjà affirmerf([a b]) = [α β]car les variations defsur[a b]sont
inconnues.
Posons
A={x∈[a b]f(x) =α}etB={x∈[a b]f(x) =β}

Considérons ensuite

Δ ={|y−x|x∈A y∈B}

Δest une partie deRnon vide et minorée. On peut donc introduire sa borne
inférieurem. Par la caractérisation séquentielle des bornes inférieures, il existe
deux suites(xn)∈ANet(yn)∈BNvérifiant

|yn−xn| →m

La partieAétant fermée et bornée, on peut extraire de la suite(xn)une suite
(xϕ(n))convergeant dansA. De la suite(yϕ(n)), on peut aussi extraire une suite
convergeant dansBet en notantx∞ety∞les limites de ces deux suites, on
obtient deux éléments vérifiant

x∞∈A,y∞∈Bet|y∞−x∞|= min Δ

4

Autrement dit, on a définit des antécédents des extrémités deIdans[a b]les plus
proches possibles.
Pour fixer les idées, supposonsx∞6y∞et considéronsJ= [x∞ y∞].
On aα β∈f(J)etf(J)intervalle (car image continue d’un intervalle) donc

I⊂f(J)

Soitγ∈f(J). Il existec∈Jtel quef(c) =γ.
Siγ < αle théorème de valeurs intermédiaires suralors en appliquant [z y∞], on
peut déterminer un élément deAplus proche dey∞que ne l’estx∞. Ceci
contredit la définition de ces deux éléments.
De mmeγ > βest impossible et doncf(J)⊂Ipuis l’égalité.

Exercice 10 :[énoncé]
a) La suite(xn)est évidemment une suite d’éléments du compactK. Elle admet
donc une valeur d’adhérence dansKet il existe une extractriceϕtelle que la suite
(xϕ(n))converge. La suite(xϕ(n))est alors de Cauchy et donc

∀ε >0∃N∈N∀n>N∀p>0xϕ(n+p)−xϕ(n)6ε

Or puisquefest une isométriexϕ(n+p)−xϕ(n)=xϕ(n+p)−ϕ(n)−xet la
phrase quantifiée précédente donne

∀ε >0∃Nε∈N∀p>0xϕ(Nε+p)−ϕ(Nε)−x6ε

On peut alors construire une suite extraite de(xn)convergeant versxde la façon
suivante :
Pourε= 1, on poseψ(0) =ϕ(N1+ 1)−ϕ(N1)de sorte que
xψ(0)−x61

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Pourn∈N
sorte que

?, on prendε= 1(n+ 1)>0et on poseψ(n) =ϕ(Nε

1

Corrections

+p)−ϕ(Nε)de

xψ(n)−x6n+ 1
avecpchoisi suffisamment grand pour queψ(n)> ψ(n−1)(ce qui est possible
carϕ(Nε+p)−ϕ(Nε)>p) .
On forme ainsi une suite extraite(xψ(n))convergeant versx.
b) La partief(K)compacte en tant qu’image d’un compacte par uneest
application continue (fest continue car lipschitzienne) donc la partief(K)est
fermée. Puisquexest limite d’une suite d’éléments def(K)(au moins à partir du
rang 1) on peut affirmer quex∈f(K)et ainsiK⊂f(K).

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