Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Espace complet

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Espace complet Montrer qu’il existe un naturel d tel que 1 ∀n>d,N(P −P)>Exercice 1 [ 03304 ] [correction] n d+1 ∞On note ‘ (N,C) l’espace des suites u = (u(n)) sommables normé parn∈N d) Conclusion? kuk = sup|u(n)|∞ n∈N Exercice 5 [ 01184 ] [correction]Montrer que cet espace normé est complet. On considère E =C([0,1],R) normé par Z 1 Exercice 2 [ 03296 ] [correction] kfk = |f(x)| dx 1 0On note ‘ (N,C) l’espace des suites complexes u = (u(n)) sommables normén∈N par Pour tout n∈N\{0,1}, on considère f : [0,1]→R définie parn+∞X kuk = |u(n)|1  1 si 06x6 1/2−1/n n=0 −nx+n/2 si 1/2−1/n6x6 1/2f (x) =n Montrer que cet espace normé est complet. 0 si 1/26x6 1 a) Montrer que la suite (f ) est de Cauchyn n∈N b) En déduire que l’espace vectoriel normé (E,k.k) n’est pas complet.Exercice 3 [ 03647 ] [correction] 2On note ‘ (N,R) l’espace des suites réelles u = (u(n)) de carrés sommablesn∈N normé par !1/2+∞ Exercice 6 Centrale MP [ 02476 ] [correction]X 2 ?kuk = (u(n)) Si n∈N , soit f la fonction continue égale à 0 sur [0,1/2], affine surn2 n=0 [1/2,1/2+1/(n+1)] et égale à 1 sur [1/2+1/(n+1),1]. a) Représenter f avec la fonction piecewise de Maple.nMontrer que cet espace normé est complet. b) Montrer que (f ) est de Cauchy pour la normek.k .n n>1 1 c) L’espace muni dek.k est-il complet?1 Exercice 4 [ 03297 ] [correction] nP kPour P = a X ∈K[X], on posek k=0 N(P) = max |a|k 06k6n a) Vérifier que N est une norme surK[X].
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Espace complet

Exercice 1[ 03304 ][correction]
On note`∞(NC)l’espace des suitesu= (u(n))n∈Nsommables normé par

kuk∞= sup|u(n)|
n∈N

Montrer que cet espace normé est complet.

Exercice 2[ 03296 ][correction]
On note`1(NC)l’espace des suites complexesu= (u(n))n∈Nsommables normé
par
+∞
kuk1=X|u(n)|
n=0
Montrer que cet espace normé est complet.

Exercice 3[ 03647 ][correction]
On note`2(NR)l’espace des suites réellesu= (u(n))n∈Nde carrés sommables
normé par
2
kuk2=n+=X∞0(u(n))!12
Montrer que cet espace normé est complet.

Exercice 4[ 03297 ][correction]
n
PourP=PakXk∈K[X], on pose
k=0

N(P) =06mka6xn|ak|

a) Vérifier queNest une norme surK[X].
b) On pose
Pn=X+∙ ∙ ∙+ 1Xn
n
Vérifier que la suite(Pn)est de Cauchy pour la normeN.
c) On suppose que la suite(Pn)converge et on notePsa limite.

Enoncés

Montrer qu’il existe un natureldtel que

d) Conclusion ?

∀n > d N(Pn−P)>d+11

Exercice 5[ 01184 ][correction]
On considèreE=C([01]R)normé par

1
kfk=Z|f(x)|dx
0

Pour toutn∈N {01}, on considèrefn: [01]→Rdéfinie par
1si06x612−1n
fn(x) =0−nx+n2siis1122−61xn661x612

a) Montrer que la suite(fn)n∈Nest de Cauchy
b) En déduire que l’espace vectoriel normé(Ekk)n’est pas complet.

Exercice 6Centrale MP[ 02476 ][correction]
Sin∈N?, soitfnla fonction continue égale à 0 sur[012], affine sur
[1212 + 1(n+ 1)]et égale à 1 sur[12 + 1(n+ 1)1].
a) Représenterfnavec la fonctionpiecewisede Maple.
b) Montrer que(fn)n>1est de Cauchy pour la normekk1.
c) L’espace muni dekk1 ?est-il complet

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`∞(NC)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk∞
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueCest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n lim) =u
p→+∞p(n)
En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n)).
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`∞(NC)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk∞6M
Soitn∈N. On a
|u(n)|= lim|u(n)|

Or

donc

p
p→+∞

|up(n)|6kupk∞6M

|u(n)|6M

On peut donc affirmer queuest élément de l’espace`∞(NC).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que

Soitn∈N. On a

∀p q>Nkuq−upk∞6ε

|u(n)−up(n)|=q→li+m∞|uq(n)−up(n)|

Or
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk∞
Ainsi, pourp>Netqassez grand

|uq(n)−up(n)|6ε

Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient

|u(n)−up(n)|6ε

et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à

ku−upk∞6ε

On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`∞(NC)est complet.

2

Exercice 2 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`1(NC)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a

|uq(n)−up(n)|6kuqupk1
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueCest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n lim) =up(n)
p→+∞

En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n))∈CN.
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`1(NC)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk16M
Soitn∈N. On a

Or

donc

n n
X|u(k)|= l→i+m∞X|up(k)|
k=0kp=0

n
X|up(k)|6kupk16M
k=0

n

X|u(k)|6M
k=0
Ainsi les sommes partielles de la série à termes positifsP|u(n)|sont majorées et
donc cette série converge. On peut donc affirmer queuest élément de l’espace
`1(NC).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que

∀p q>Nkuq−upk16ε

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Soitn∈N. On a

n n
X|u(k)−up(k)|=ql→i+m∞X|uq(k)−up(k)|
k=0k=0

Or
n
X|uq(k)−up(k)|6ku−upk1
q
k=0
Ainsi, pourp>Netqassez grand

n
X|uq(k)−up(k)|6ε
k=0

Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient

n
X|u(k)−up(k)|6ε
k=0

et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à

ku−upk16ε

On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`1(NC)est complet.

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Soit(up)une suite de Cauchy d’éléments de`2(NR)(i.e une suite de suites. . . )
Pourn∈N, on a
|uq(n)−up(n)|6kuq−upk2
donc la suite numérique(up(n))est de Cauchy. PuisqueRest complet, cette suite
converge et on peut poser
u(n) =pl→i+mup(n)

En faisant variern, ce qui précède définit une suiteu= (u(n))∈RN.
Nous allons montrer que cette suiteuappartient à l’espace`2(NR)puis que la
suite(up)converge versu.
Puisque la suite(up)est de Cauchy, elle est bornée et donc il existeM∈R+tel
que
∀p∈Nkupk26M

Soitn∈N. On a

Or

n n
X(u(k))2=pl→i+m∞X(up(k))2
k=0k=0

n
X(up(k))26kupk226M2
k=0

3

donc
n
X(u(k))26M
k=0
Ainsi les sommes partielles de la série à termes positifsP(u(n))2sont majorées et
donc cette série converge. On peut donc affirmer queuest élément de l’espace
`2(NR).
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que

Soitn∈N. On a

∀p q>Nkuq−upk26ε

n n
)−up(k))2= l→i+m∞X(uq(k)−up(
kX=0(u(kkq=0k))2

Or
n
X(u(k)−up(k))26kuq−upk2
2
k=0
Ainsi, pourp>Netqassez grand

n
X(u(k)−up(k))26ε2
k=0

Par passage à la limite dansq→+∞, on obtient

n
X(u(k)−up(k))26ε2
k=0

et puisque ceci vaut pour toutn∈Non parvient à

ku−upk26ε

On peut alors conclure que la suite(up)converge versu.
Puisque toute suite de Cauchy est convergente, l’espace`2(NC)est complet.

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Exercice 4 :[énoncé]
a) L’applicationNest bien définie deE=K[X]versR+.
SiN(P) = 0alorsa0=  =an= 0et doncP= 0.
N(λP) =06mka6xn|λ| |ak|=|λ|06mka6xn|ak|=|λ|N(P)car|λ|>0.
PourP Q∈K[X], en prenantnassez grand, on peut écrire

n n
P=XakXketQ=XbkXk
k=0k=0

et alorsN(P+Q) =06mka6xn|ak+bk|606mka6xn(|ak|+|bk|)6
mka6x|ak|+ max|bk|=N(P) +N(Q)
06n06k6n
b) Pourn p∈N, on a
N(Pn+p−Pn) =n1
Pourε >0etNassez grand on a

∀n>N∀p∈N N(Pn+p−Pn)6ε

c) Soitd∈Nsupérieur au degré deP. Pourn > d, le polynômePn−Pa le
coefficient1(d+ 1)devant le termeXd+1et donc

N(PnP)>1

d+ 1

Corrections

d) Ce qui précède empche la suite(Pn)de converger versPet donc il est
absurde de supposer que la suite(Pn)converge. On en déduit que l’espaceK[X]
normé parNn’est pas complet.

Exercice 5 :[énoncé]
a)fn+p−fnest nulle sur[012−1n], nulle sur[121]et bornée par2sur
[12−1n12]donc
kfn+p−fnk62
→0
n
Soitε >0. Il existeN∈Ntel que

et alors

∀n>N26ε
n

∀n>N∀p∈Nkfn+p−fnk6ε

La suite(fn)est donc de Cauchy.

b) Par l’absurde, supposons que la suite(fn)converge et notonsfsa limite (qui
est continue car élément deE. . . )
Z112|f−fn|6Z1|f−fn| →0
0
doncR112|f(t)|dt= 0Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et.
positive on a

∀t∈[121] f(t) = 0

Pourα∈]012[:
Z0α|f−fn|6Z01|f−fn| →0
donc
Z0α| →0
|f−fn
1 1

Or pournassez grand, on a2n>αet
Z0α|f−fn|=Z0α|f−1|

donc à la limite
Z0αf−1|
|= 0
Par nullité de l’intégrale d’une fonction continue et positive on a

Finalement

∀t∈[0 α] f(t) = 1

0sit∈[
f(t) =1sit∈1[021[21]

La fonctionfn’est pas continue, c’est absurde.
Dans l’espace vectoriel normé(Ekk), il existe une suite de Cauchy non
convergente, l’espace n’est pas complet.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On définit la suite de fonctions
f:=(n, x)->piecewise(x<=1/2, 0, x<=1/2+1/(n+1), (n+1)*(x-1/2), 1);
puis on représente celle-ci pour une valeur concrète den
plot(f(3, x), x=0..1);
ou bien on représente plusieurs de ces fonctions simultanément

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plot([seq(f(n, x), n=1..5)], x=0..1);
b) On a
kfn+p−fnk1=Z111+22(n+1)|fn+p(t)−fn

(t)|dt6n

1
+ 1

Corrections

donckfn+p−fnk1tend vers 0 uniformément enp.
La suite(fn)n>1est de Cauchy pour la normekk1.
c) Si l’espaceC([01]R)normé parkk1est complet alors la suite(fn)converge
vers un élémentf∈ C([01]R).
Or la suite(fn)converge simplement vers la fonctiong: [01]→Rcontinue par
morceaux définie parg(x) = 0six∈[012]etg(x) = 1six∈]121]. Par
application du théorème de convergence dominée,R01|fn(t)−g(t)|dt→0.
Cependant on a aussikfn−fk1=R10|fn(t)−f(t)|dt→0donc
R10|f(t)−g(t)|dt= 0puisf=g. C’est impossible carfest continue alors queg
ne l’est pas.

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