Sujet : Analyse, Compacité et complétude, Séries vectorielles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Séries vectorielles Exercice 1 Mines-Ponts MP [ 02728 ] [correction] Soit M∈M (C). Montrer l’équivalence de :n (i) toute valeur propre de M est de module strictement inférieur à 1; k(ii) la suite (M ) tend vers 0; k(iii) la série de terme général M converge. Exercice 2 [ 01186 ] [correction] Soit E une algèbre normée de dimension finie.
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Séries vectorielles

Exercice 1Mines-Ponts MP[ 02728 ][correction]
SoitM∈ Mn(C). Montrer l’équivalence de :
(i) toute valeur propre deMest de module strictement inférieur à 1 ;
(ii) la suite(Mk) ;tend vers 0
(iii) la série de terme généralMkconverge.

Enoncés

Exercice 2[ 01186 ][correction]
SoitEune algèbre normée de dimension finie.
a) Soita∈Evérifiantkak<1. Montrer que1E−aest inversible et exprimer son
inverse comme la somme d’une série.
b) Montrer que l’applicationx∈U(E)7→x−1est continue en1E.
c) Montrer que l’applicationx∈U(E)7→x−1est continue.

Exercice 3[ 00574 ][correction]
On supposeMn(K)muni d’une norme d’algèbre notéekk. SoitA∈ Mn(K).
Pour|t|<1kAkon pose
+∞
f(t) =XtkAk
k=0
a) Montrer quefest bien définie et que

f(t) = (I−tA)−1

b) Justifier quefest de classeC1et que

f0(t) =A(I−tA)−2

Exercice 4[ 00573 ][correction]
On supposeMn(K)muni d’une norme d’algèbre notéekk. SoitA∈ Mn(K).
Pour|t|<1kAkon pose
f(+∞1kAk
t) =Xk t
k=1
a) Montrer quefest bien définie.
b) Justifier quefest de classeC1et que

(I−tA)f0(t) =A

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(i)⇒(ii) Le plus simple est sans doute d’utiliser la décomposition de Dunford :
M=D+NavecDdiagonalisable etNnilpotente commutant entre elles. Par la
formule du binôme de Newton, on peut calculerMket tronquer la somme par la
nilpotence deN, on parvient alors à une somme finie de termes qui tendent vers 0
par croissance comparée. Une autre méthode, techniquement plus lourde, consiste
à introduireρk`= max(Mk)1`+1    (Mk)n−`nqui majorent les
coefficients deMksitués sur la diagonale (pour`= 0), sur la sur-diagonale (pour
`= 1) etc. En notant queρ=ρ01<1, on montre par récurrence surkque
ρ`k6k`kMk`∞+1ρk−`ce qui permet de conclure.
(ii)⇒(iii) Supposons queMk→0. On peut alors affirmer que 1 n’est pas valeur
propre deMcarM X=X⇒MkX=Xet donc à la limiteM X=X⇒X= 0.
m
Par suite la matriceI−Mest inversible et puisque(I−M)PMk=I−Mm+1,
k=0
m
PMk= (I−M)−1(I−Mm+1)d’où la convergence de la série desMk.
k=0
m
(iii)⇒(i) Soitλ∈Sp(M)etX6= 0tel queM X=λX. PuisquePMkconverge
k=0
m n
quand rgC>r, on aPMkXconverge, puisPλkXconverge et donc|λ|<1
k=0k=0
(carX6= 0).

Exercice 2 :[énoncé]
a) Puisquekak<1etkank6kakn, la sériePanest absolument convergente et
sa sommeSvérifie(1E−a)S=S(1E−a) = 1Edonc1E−aest inversible
d’inverseS.
b) Pourα∈[01[, on montre par convergence normale la continuité de
+∞¯
a7→(1−a)−1=PansurB(0 α). On en déduit quex7→x−1est continue en1E.
n=0
c) Soita∈U(E). Quandx∈U(E)→aalorsxa−1→1Edonc
(xa−1)−1→1E−1= 1Epuisx−1=a−1(xa−1)−1→a−1. Ainsix7→x−1est
continue en chaquea∈U(E).

Exercice 3 :[énoncé]
a)tkAk=|t|kkAkkavec|t| kAk<1donc la série converge simplement. De plus

+∞+∞+∞
(I−tA)XtkAk=XtkAk−XtkAk=I
k=0k=0k=1

donc(I−tA)f(t) =Id’oùf(t) = (I−tA)−1.
b) Soitρ∈[01kAk[.t7→tkAkest de classeC1et de dérivéektk−1Akavec
ktk−1Ak∞[−ρρ]6kρk−1kAkkterme général d’une série convergente. La série
des fonctions dérivée converge donc normalement sur[−ρ ρ]ce qui assure quef
est de classeC1sur]−1kAk1kAk[et
f0(t) =k+X=∞0(k+ 1)tkAk+1=Ak+X=∞0(k+ 1)tkAk!

Or par produit de Cauchy de série absolument convergente :
(f(t))2=k=+X∞0tkAk! k+=X∞0tkAk!=n=+X∞0k=Xn0tkAktn−kAn−k=n=+X∞0(n+ 1)tnAn

donc

2
f0(t) =A(f(t))

2

Exercice 4 :[énoncé]
1|tkkavec|t| kAk<1donc la série converge simplement.
ab))Sk1oittkAρk∈=0[1kk|Akkk[.tA7→k1tkAkest de classeC1et de dérivéetk−1Akavec
tk−1Ak∞[−ρρ]6ρk−1kAkkterme général d’une série convergente. La série des
fonctions dérivées converge donc normalement sur[−ρ ρ]ce qui assure quefest
de classeC1sur]−1kAk1kAk[etf0(t) =k=+P∞0tkAk+1=k=+P∞0tkAkA. Or
+∞+∞+∞
(I−tA)PtkAk=PtkAk−PtkAk=Idonc(I−tA)f0(t) =A.
k=0k=0k=1

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