Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Calcul en coordonnées polaires

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul en coordonnées polaires Exercice 1 [ 03396 ] [correction] Calculer ZZ I = (1+xy)dxdy D où D désigne le disque fermé de centre O et de rayon 1.

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Calcul en coordonnées polaires

Exercice 1
Calculer

[ 03396 ][correction]
Z ZD
I= (1 +xy) dxdy
oùDdésigne le disque fermé de centreOet de rayon 1.

Exercice 2[ 00089 ][correction]
Calculer
Z ZDy
I=x2y2dxd
oùDest l’intérieur de la boucle de la lemniscate d’équation
obtenue pourθ∈[−π4 π4].

polairer=√cos 2θ

Exercice 3[ 00090 ][correction]
Calculer
Z ZD(x+y)2dxdy
oùD=(x y)∈R2x2+y2−x60 x2+y2−y>0 y>0.

Exercice 4
Calculer

[ 00095 ][correction]
Z ZD(1 + dxx2d+yy2)2
oùDest donné par|x|6x2+y261.

Exercice 5[ 03200 ][correction]
Ddésigne le demi-disque supérieur de centre(10)et de rayon 1. Calculer
I=Z ZD1 +yx2+y2dxdy

Enoncés

1

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D={M(rcosθ rsinθ)θ∈[0 π4]sinθ6r6cosθ}

Exercice 3 :[énoncé]
On peut décrire le domaine d’intégration en coordonnées polaires sous la forme

donc
Z ZD(x+y)2dxdy=41Z0π4(cos4θ−sin4θ)(cosθ+ sinθ)2dθ41=Z0π4cos 2θ(1 + sin 2θ) dθ16=3

En passant aux coordonnées polaires
Z ZD(x+y)2dxdy=Z0π4Zsincosθr3(cosθ+ sinθ)2dr!dθ
θ

Exercice 4 :[énoncé]
En visualisant le domaine comme le complémentaire de la réunion de deux cercles
dans le cercle unité et par des considérations de symétrie, on obtient en passant
aux coordonnées polaires
Z ZD(1 + dxx2+dyy2)2= 4Z0π2Zsoc1θ(1 +rr2)2drdθ= 2Z0π211c+so2θ−21

Or

donc

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Corrections

r= 2 cosθ

Corrections

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Z0π2d1+cθos2θ=Z+0∞t2d+t22=√π2
Z ZD(1 + dxx2+dyy2)2=√π2−2π= (√22−1)π

Le résultat se comprend car les aires positives, compensant les négatives, on a
Z ZDxydxdy= 0

Exercice 2 :[énoncé]
En passant en coordonnées polaires
π41
I=Zπθ=−4π4Zr=√cos20θr5cos2θsin2θdrdθ=Zsin22θcos32θdθ1108=
−π424

Exercice 5 :[énoncé]
Le cercle délimitant le disque étudié a pour équation polaire

Exercice 1 :[énoncé]
En passant en coordonnées polaires
1
I=Z02πZ0+r3crdθ=π
rosθsinθd

I=Zπ2sinθdθ−Z0π2sinθarctan(2 cosθ) dθ
2 cosθ
θ=0
La première intégrale est immédiate et la seconde s’obtient par changement de
variable puis intégration par parties
2
I= 1−21Zarctanxdx= 1−l45ntarc+1n2a
0

donc

En passant en coordonnées polaires
I=Zπ2Z2 cosθrsinθ2drdθ
r
θ=0r=01 +r
On obtient
Zπ2anr]r0=soc2θdθ
I= sinθ[r−arct
θ=0

2

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