Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Formule de Green Riemann

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Formule de Green Riemann Exercice 6 [ 00112 ] [correction] Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d’équation polaireExercice 1 [ 00269 ] [correction] r = 1 + cosθSoit Γ la courbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deux portions de courbes, comprises entre les points d’intersection, de la droite 2d’équation y =x et de la parabole d’équation y =x . Exercice 7 [ 00069 ] [correction] a) Calculer I Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d’équation polaireI = (y +xy) dx √ Γ r = cos 2θ b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette intégrale. Exercice 8 [ 00062 ] [correction] Calculer l’aire de la boucle de la strophoïde droite d’équation polaire cos 2θExercice 2 [ 00111 ] [correction] r = Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’ellipse donnée par cosθ ( x(t) =a cost Exercice 9 [ 00108 ] [correction](avec a,b> 0) 2 2y(t) =b sint On considère f :R →R de classeC vérifiant : 2 2∂ f ∂ f + = 0 2 2∂x ∂yExercice 3 [ 00079 ] [correction] +Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’astroïde donnée par Soit ϕ :R →R définie par ( Z3 2πx(t) =a cos t ϕ(r) = f(r cosθ,r sinθ) dθ(avec a> 0) 3y(t) =a sin t 0 a) Montrer que la fonction ϕ est dérivable. 0 0b) Calculer ϕ et en déduire une expression ϕ.
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Formule de Green Riemann

Exercice 1[ 00269 ][correction]
SoitΓcourbe orientée dans le sens trigonométrique, constituée des deuxla
portions de courbes, comprises entre les points d’intersection, de la droite
d’équationy=xet de la parabole d’équationy=x2.
a) Calculer
I=IΓ(y+xy) dx
b) En utilisant la formule de Green-Riemann, retrouver la valeur de cette
intégrale.

Exercice 2[ 00111 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’ellipse donnée par
(x(t=)=absconistt(aveca b >0)
y(t)

Exercice 3[ 00079 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’astroïde donnée par
(xy((tt)=)=aasinocs33tt(aveca >0)

Exercice 4[ 00606 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par l’arche de la cycloïde
(x(t) =t−sint
y(t) = 1−cost

obtenue pourt∈[02π]et l’axe des abscisses.

Exercice 5[ 02462 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la courbe définie par
t) = cos2t
(yx((t) = (1 + sint) cost

Enoncés

Exercice 6[ 00112 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la cardioïde d’équation
polaire
r= 1 + cosθ

1

Exercice 7[ 00069 ][correction]
Calculer l’aire de la portion bornée du plan délimitée par la lemniscate d’équation
polaire
r=√cos 2θ

Exercice 8[ 00062 ][correction]
Calculer l’aire de la boucle de la strophoïde droite d’équation polaire
cos 2θ
r=
cosθ

Exercice 9[ 00108 ][correction]
On considèref:R2→Rde classeC2vérifiant :
2f
∂∂2fx2+y∂∂2= 0
Soitϕ:R+→Rdéfinie par
Z


ϕ(r) =f(rcosθ rsinθ) dθ
0
a) Montrer que la fonctionϕest dérivable.
b) Calculerϕ0et en déduire une expressionϕ. On pourra interpréterrϕ0(r)
comme la circulation d’une forme différentielle sur un contour simple.
c) SoitDdisque de centre 0 et de rayonle R. Quelle est la valeur de
Z ZD
f(x y) dxdy?

Exercice 10Centrale MP[ 00110 ][correction]
[Inégalité isopérimétrique]
Soitγune application de classeC1et2π-périodique deRversCtelle que
∀s∈R|γ0(s)|= 1

On noteSl’aire orientée délimitée parγ[02
π].
a) ExprimerSà l’aide des coefficients de Fourier exponentiels deγ.
b) MontrerS6πet préciser le cas d’égalité.

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Exercice 11CCP MP[ 03364 ][correction]
Soit(a b)∈R2,a >0,b >0. On noteΓl’ellipse d’équation

etDla partie deR2définie par

a) Calculer l’intégrale double

x2+y2
a2b2−1 = 0

x2+y2
a2b2−160

I=Z ZD(x2+y2)dxdy

(on poserax=arcosθety=brsinθ)
b) Calculer l’intégrale curviligne

J=Z(y3dx−x
Γ

c) Quelle relation existe-t-il entreIetJ?

3dy)

Exercice 12CCP MP[ 03769 ][correction]
On considère la courbe paramétrée du plan donnée par

t
x(t) =
4
1t+3tavect∈R
y(t) = 1 +t4

a) Déterminer centre de symétrie et axe de symétrie. Indice : calculerx(1t)
ety(1t).
b) Voici l’allure de la courbe surR.

Enoncés

Calculer l’aire intérieure délimitée par cette courbe.

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) En paramétrant les deux courbes constituantΓ
I=Z10x2+x3dx−Z01x+x2dx=−14

b) Par la formule de Green-Riemann

Z ZD
I=−(1 +x) dxdy
avecD=(x y)∈R206x61 x26y6x.
On en déduit
I=−Z01Zx2x(1 +x) dydx=−Z10(1 +x)(x−x2) dx=−41

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par
l’intégrale curviligne
I

On obtient

A=xdy

A=Z20πabcos2tdt=πab

Exercice 3 :[énoncé]
Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par
l’intégrale curviligne
A=Ixdy

On obtient

A=Z2π3a2cos4tsin2tdt= 3aπ2
08

Exercice 4 :[énoncé]
On calcule l’aire étudiée par l’intégrale curviligne
A=Ixdy

le long d’un pourtour direct du domaine limité. Le pourtour est ici formé par la
réunion de deux arcs, l’arche de cycloïde (parcouru dans le sens indirect) et un
segment de l’axe(Ox). On obtient

A=−Z(t−sint) sintdt+Z20π0 dt= 3π
0

3

Exercice 5 :[énoncé]
La courbe étudiée est intégralement obtenue pourt∈[02π]et le domaine limité
est parcouru dans le sens direct. On peut calculer son aire par l’intégrale curviligne
A=Ixdy

On obtient


A=Z02t(1 + sint) sintdt=π2
cos4t−cos

Exercice 6 :[énoncé]
Le domaine limité étant parcouru dans le sens direct, on peut calculer son aire par
l’intégrale curviligne
A21=Ir2dθ
On obtient
s2dθ= 3π
A=12Z−ππ(1 + 2 cosθ+ coθ2)

Exercice 7 :[énoncé]
L’aire voulue se calcule par une intégrale curviligne le long d’un pourtour direct
du domaine
A21=Ir2dθ
Pourθvariant de−π4àπ4, on parcourt une boucle de lemniscate dans le sens
direct, on obtient par considération de symétrie
π
A=Z4cos 2θdθ= 1
−π4

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Exercice 8 :[énoncé]
La boucle de la courbe considérée est obtenue pourθ∈[−π4 π4]et elle est
parcourue dans le sens direct.
L’aire voulue se calcule par l’intégrale curviligne
A21=Ir2dθ

On obtient par considération de symétrie
π4
A=Z4 cos2θ−s4+12θdθ= 2−2π
0co

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a)g: (r t)7→f(rcost rsint)estC1doncgetrg∂∂sont continues surR×[02π]et
ϕestC1surR.
b) La fonction(r θ)7→f(rcosθ rsinθ)admet une dérivée partielle en la variable
ret celle-ci est continue surR×[02π]. Par intégration sur un segment,ϕest
dérivable et
ϕ0(r) =Z20πcos∂θ∂fx(rcosθ rsinθ) + sinyfθ∂∂(rcosθ rsinθ) dθ
En notantΓle cercle de centreOet de rayonrparcouru dans le sens direct etD
le disque correspondant,
2
rϕ0(r) =ZΓf∂x∂(x y) dy−f∂y∂(x y) dx=Z ZD∂∂2fx2(x y) +f∂y∂2(x y) dxdy= 0
On en déduitϕ0(r) = 0pourr6= 0, puis par continuité pour toutr∈R.
Par suite la fonctionϕest constante égale à

ϕ(0) = 2πf(00)

c) En passant aux coordonnées polaires

Z ZDf(x y) dxdy=Z0RZf(rcosθ rsinθ)rdθdr=πR2f(00)
0

Exercice 10 :[énoncé]
a) Posonsx=Re(γ),y=Im(γ).
S=Zγ12(xdy−ydx=1)2Z20π(x(s)y0(s)−y(x)x0(s)) ds

donc
S21=Z2πγ0(s)) ds=πIm(γ|γ
Im(γ¯(s)0)
0
en notant(|)le produit scalaire usuel.
Par la formule polarisée de Parseval
(γ|γ0) =Xcn(γ)cn(γ0) =Xin|cn(γ)|2
n∈Zn∈Z

carcn(γ0) =incn(γ)et donc

S=Xn|cn(γ)|2
n∈Z

b) Par la formule de Parseval on a :
nX|incn|2=12πZ02π(s)|2ds= 1
|γ0

donc

puis

Xn2|cn|2= 1
n

S=πXn|cn|26πXn2|cn|26π
n∈Zn∈Z
avec égalité si, et seulement si,cn= 0pour toutn∈Ztel que|n|>1.
On a alorsγ(s) =c0+c1eisavec|c1|= 1car|γ0(s)|= 1.
γest un paramétrage direct d’un cercle de diamètre 1.

Exercice 11 :[énoncé]
a) Le changement de variables proposé a pour jacobien

rsinθ
DD((yxrθ)=)absncoisθθ−rbacosθ=abr

Ce changement de variable donne
I=Z02πZr1=0a2r2cos2θ+b2r2sin2θ× |abr|drdθ

et donc

I πab(a2+b2)
=
4

4

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on obtient

b) Par le paramétrage direct

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avec

Corrections

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5

ce qui est conforme à la formule de Green Riemann puisque

y3dx−x3dy=P(x y)dx+Q(x y)dy

J3πab(a2+b2)
=−
4

J=−3I


J=−Z0ab3sin4θ+a3bcos4θdθ

puis au terme des calculs

(yx((tt=)=)basoinscttavect∈[02π]

c) On observe

Exercice 12 :[énoncé]
a) La courbe est définie pourtparcourantR.
Puisquex(−t) =−x(t)ety(−t) =−y(t), le pointM(−t)est le symétrique du
pointM(t)par rapport à l’origine.
Pourt6= 0,x(1t) =y(t)ety(1t) =x(t)doncM(1t)est le symétrique du point
M(t)par rapport à la droite d’équationy=x.
b) On peut calculer l’aire par une intégrale curviligne « généralisée »(par un
changement de paramétrage du types= arctanton se ramène à un paramétrage,
sur]−π2 π2[que l’on prolonge à[−π2 π2]en adjoignant le point limite
origine et cela nous ramène au contexte usuel. . . ). La formule la plus pratique ici
est
A=21Ixdy−ydx
Pour des raisons de sens de parcours, on va calculer le double de l’aire d’une
boucle et l’on obtient
A= 2Z0+∞(1 +t3t4)3dt= 1

∂∂Qx( y)−∂P∂y(x y) =−3(x2+y2)
x

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