Sujet : Analyse, Compléments de calcul intégral, Usage de la formule de Fubini

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1

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déterminer

Enoncés

Usage de la formule de

Exercice 1
Soient1< a

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Fubini

0

xdy
1 +xy

=Z1

ln(1 +x)

I=Z01(1+1+nlxx)2dx

En déduire la valeur de

a

dxdt
x−cost

[ 00091 ][correction]
< b. En calculant de deux manières
ZπZb

Exercice 2[ 00092 ][correction]
Observer que pour toutx∈[01],

0

Zπlnba−−ososccttdt

0

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
D’une part
Z0πZbax−cdxostdt=Zπlb−costdt
n
0a−cost
D’autre part
π
Z0Zabx−cdxostdt=ZabZ0πx−dctostdx
et
Z0πx−cdtostu=t=a2Z+∞(1 +x2)ud2u+x−1 =√x2π−1
nt0
On en déduit
Z0πlnab−−cossocttdt=Zba√πx−1π[argchx]ba=πlnab++√√ab22−−11
dx=
2

Exercice 2 :[énoncé]
Par simple détermination de primitive
Z11x+dyyx= [ln(1 +xy)]10= ln(1 +x)
0

On a

Or

I=Z10l(n1+1+xx2)dxZ10Z10(1 +xy)x(1 +x2)dydx
=

Corrections

x a bx+c1y
(1 +xy)(1 +x2) = 1 +xy+ 1 +x2aveca=−1 +yy2 b= 1 +y2 c += 1y2

donc
−y
I=Z01Z01(1 +xy)(1 +y2 +) + (1xx2)+1(y+y2)dxdy=−I+Z10Z01(1 +xx2+()1y+y2)dxdy

puis

dx
I=Z10Z01(1 +y2)y(1 +x2)dxdy=Z10(1 +yy2)dyZ011 +x2=πnl82

2

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