Sujet : Analyse, Dérivation, Applications de la dérivation

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Applications de la dérivation Exercice 1 [ 01383 ] [correction] Etablir les inégalités suivantes : xa)∀x∈ ]−1,+∞[, 6 ln(1+x)6x1+x 2x+ xb)∀x∈R ,e > 1+x+ . 2 Exercice 2 [ 01402 ] [correction] Soit p∈ ]0,1]. a) Etablir que pour tout t> 0, on a p p(1+t) 6 1+t b) En déduire que pour tout x,y> 0, p p p(x+y) 6x +y Exercice 3 [ 01366 ] [correction] 1Soit f : [0,+∞[→R de classeC telle que f(0) =−1 et limf = +∞ +∞ 0Montrer que si f s’annule au moins deux fois alors f aussi. Exercice 4 [ 01365 ] [correction] Déterminer toutes les applications f :R→R dérivables telles que 2 ∀(x,y)∈R ,f(x+y) =f(x)+f(y) Exercice 5 [ 01367 ] [correction] Soit f : [0,π/2]→R définie par √ f(x) = sinx+x −1Justifier que f réalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis que f est continue et dérivable sur cet intervalle. Exercice 6 Centrale MP [ 00360 ] [correction] 1Déterminer les fonctions f∈C (R,R) vérifiant f◦f =f Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 p−1 p−1 0Corrections Puisque p−16 0, t > (1+t) et donc δ (t)> 0. On en déduit que pour tout t> 0, δ(t)> 0 puis l’inégalité demandée. b) Pour x = 0, l’inégalité est immédiate et pour x> 0,Exercice 1 : [énoncé] ∞ a) Soit f :x7→x−ln(1+x) définie et de classeC sur ]−1,+∞[.
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Applications de la dérivation

Exercice 1[ 01383 ][correction]
Etablir les inégalités suivantes :
a)∀x∈]−1+∞[1x+x6ln(1 +x)6x
b)∀x∈R+ex>1 +x+x22.

Exercice 2[ 01402 ][correction]
Soitp∈]01].
a) Etablir que pour toutt>0, on a

(1 +t)p61 +tp

b) En déduire que pour toutx y>0,

(x+y)p6xp+yp

Exercice 3[ 01366 ][correction]
Soitf: [0+∞[→Rde classeC1telle que

f(0) =−1etl+imf= +

Montrer que sifs’annule au moins deux fois alorsf0aussi.

Exercice 4[ 01365 ][correction]
Déterminer toutes les applicationsf:R→Rdérivables telles que

∀(x y)∈R2 f(x+y) =f(x) +f(y)

Exercice 5[ 01367 ][correction]
Soitf: [0 π2]→Rdéfinie par
f(x) =√sinx+x

Enoncés

Justifier quefréalise une bijection vers un intervalle à préciser, puis quef−1est
continue et dérivable sur cet intervalle.

Exercice 6Centrale MP[ 00360 ][correction]
Déterminer les fonctionsf∈ C1(RR)vérifiant

f◦f=f

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Soitf:x7→x−ln(1 +x)définie et de classeC∞sur]−1+∞[.

f0(x) = 1x+x

Le tableau des variations defest alors

x−1
f(x) +∞ &

0 +∞
0%+∞

On en déduit quefest positive.
Soitg:x7→ln(1 +x)−x(1 +x)définie et de classeC∞sur]−1+∞[.

g0(x + (1) =xx)2

Le tableau des variations degest alors

x−1
g(x) +∞ &

0 +∞
0%+∞

On en déduit quegest positive.
b) Soitf:x7→ex−1−x−12x2définie et de classeC∞surR+.

f000(x) =ex>0

On obtient les variations suivantes

x0
f00(x) 0
f0(x) 0
f(x) 0

On en déduit quefest positive.

+∞
%+∞
%+∞
%+∞

Exercice 2 :[énoncé]
a) Etudions la fonctionδ:t7→1 +tp−(1 +t)pdéfinie continue surR+et
dérivable surR+?.
On aδ(0) = 0et pourt >0,
δ0(t) =ptp−1−(1 +t)p−1

Corrections

Puisquep−160,tp−1>(1 +t)p−1et doncδ0(t)>0. On en déduit que pour
toutt>0,δ(t)>0puis l’inégalité demandée.
b) Pourx= 0, l’inégalité est immédiate et pourx >0,
(x+y)p=xp1 +xyp6xp1 +yxp=xp+yp

Exercice 3 :[énoncé]
Sif0ne s’annule pas alorsfest strictement croissante donc injective. Elle ne
s’annule alors qu’une fois.
Sif0ne s’annule qu’une fois alors le tableau de signe def0est de la forme

x0α+∞x0α+∞
f0(x) 0−0 +ouf0(x) 0 + 0 +

et le tableau de variation defest

x0α+∞x0
f(x)−1&f(α)%+∞ouf(x)−1%

La fonctionfne peut donc s’annuler qu’une fois.

α+∞
f(α)%+∞

Exercice 4 :[énoncé]
Soitfsolution. En dérivant la relation par rapport àx, on obtient :

f0(x+y) =f0(x)

2

La fonctionfest donc de dérivée constante et par suitefest affine.
De plus la relationf(0 + 0) =f(0) +f(0)entraînef(0) = 0et doncfest linéaire.
Inversement : ok.

Exercice 5 :[énoncé]
fest continue et strictement croissante,f(0) = 0etf(π2) = 1 +π2doncf
réalise une bijection de[0 π2]vers[01 +π2]et son application réciproquef−1
est continue.
fest dérivable sur]0 π2]avec

cosx
f0(x in) =x+ 1>0
2√s

doncf−1est dérivable surf(]0 π2]) = ]01 +π2].

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Etude de la dérivabilité def−1en 0
Quandh→0+en posantx=f−1(h)→0
,

f−1(h)−f−1(0)x
=
h f(x)

Or
x
f(xx) =√sinxx+x=x) +x∼√x→0
√x+o(√
doncf−1est dérivable en 0 etf0(0) = 0.

Exercice 6 :[énoncé]
Sifest solution alors en dérivantf◦f=fon obtient

∀x∈R f0(x) =f0(x)×f0(f(x))

puis en exploitant à nouveauf◦f=f, on obtient

∀x∈R f0(f(x)) =f0(f(x))2

Corrections

Puisque la fonctionf0◦fest continue, on peut affirmer que celle-ci est constante
égale à 0 ou 1.
Casf0◦f= 0
La relationf0(x) =f0(x)×f0(f(x))donnef0(x) = 0et on en déduit quefest
constante.
Casf0◦f= 1
Nous savons queI=Imf=f(R)est un intervalle non vide.
Puisquef0(x) = 1pour toutx∈I, on peut affirmer qu’il existeC∈Rtel que
f(x) =x+Cpour toutx∈I.
Or on af(f(x)) =f(x) +C(carf(x)∈I)etf(f(x)) =f(x)doncC= 0. Ainsi

∀x∈I f(x) =x

Pour conclure, il reste à montrerI=R
.
Par l’absurde supposons l’intervalleImajoré et posonsm= supI.
Par continuité def0et defenm, on af(m) =metf0(m) = 1Puisque
f0(m) = 1,fprend des valeurs strictement supérieures àf(m) =m. Ceci
contredit la définition dem.
De mme, on obtient qu’il est absurde d’affirmer queIest minoré et donc on
conclutI=R.
Finalement, sifest solution alorsfest constante ou égale à l’identité.
La réciproque est immédiate.
Notons que sans l’hypothèse classeC1, de nombreuses fonctions peuvent tre
solutions comme la suivante

Une fonction continue vérifiantf◦f=f

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