Sujet : Analyse, Dérivation, Dérivabilité

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dérivabilité Exercice 7 [ 01356 ] [correction] Pour λ∈R, on considère les fonctions Exercice 1 [ 01354 ] [correction] x+λ f :x7→λEtudier la dérivabilité des fonctions suivantes 2x +1 p 2 22 3 a) Montrer que les tangentes en 0 aux fonctions f sont parallèles.a) x7→ x −x b) x7→ (x −1)arccos(x ) λ b) Observer que lestes en 1 sont concourantes. Exercice 2 [ 00736 ] [correction] Exercice 8 [ 01357 ] [correction]Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un point de I qui n’en soit pas x une extrémité. Si le rapporta) x7→x|x| b) x7→ |x|+1 1 (f(a+h)−f(a−h)) 2h Exercice 3 [ 00247 ] [correction] admet une limite finie quand h tend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables? de f en a. a) Montrer que, sif est dérivable à droite et à gauche en a, elle admet une dérivée 2xsin(1/x) si x = 0 x sin(1/x) si x = 0 symétrique en a.a) f :x7→ b) g :x7→ . 0 sinon 0 sinon b) Que dire de la réciproque? Exercice 4 [ 01355 ] [correction] Exercice 9 [ 01358 ] [correction] Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions Soit f :R→R une fonction dérivable en a∈R.
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Dérivabilité

Exercice 1[ 01354 ][correction]
Etudier la dérivabilité des fonctions suivantes
a)x7→px2−x3b)x7→(x2−1) arccos(x2)

Exercice 2[ 00736 ][correction]
Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?
a)x7→x|x|b)x7→x

|x|+ 1

Exercice 3[ 00247 ][correction]
Sur quelles parties deR, les fonctions suivantes sont-elles continues, dérivables ?
sin(1x)six6= 0
a)f:x7→0xsinon b)g:x7→0x2sin(1x)sinsixo6n= 0.

Exercice 4[ 01355 ][correction]
Après avoir déterminé le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions
suivantes :
arc
a)x7→x21+natxb)x7→(x1+1)2c)x7→si(ocsxn+x2)4

Enoncés

Exercice 5[ 00737 ][correction]
Après avoir déterminer le domaine d’existence, calculer les dérivées des fonctions
suivantes :

a)x7→xxb)x7→(chx)x

Exercice 6[ 00249 ][correction]
Calculer les dérivées des fonctions suivantes

c)x7→ln|x|

f1(x e) = arctanx,f2(x) = arctan(shx)etf3(x) = arctanth2x

Qu’en déduire ?

Exercice 7[ 01356 ][correction]
Pourλ∈R, on considère les fonctions

x+λ
fλ:x7→x2+ 1

a) Montrer que les tangentes en 0 aux fonctionsfλsont parallèles.
b) Observer que les tangentes en 1 sont concourantes.

1

Exercice 8[ 01357 ][correction]
Soitfune fonction définie sur un intervalleIetaun point deIqui n’en soit pas
une extrémité. Si le rapport

1(f(a+h)−f(a−h))
2h
admet une limite finie quandhtend vers 0, celle-ci est appelée dérivée symétrique
defena.
a) Montrer que, sifest dérivable à droite et à gauche ena, elle admet une dérivée
symétrique ena.
b) Que dire de la réciproque ?

Exercice 9[ 01358 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction dérivable ena∈R. Etudier

limxf(a)−af(x)
x→ax−a

Exercice 10[ 01359 ][correction]
Soitf: [01]→Rune fonction dérivable.
On définit une fonctiong: [01]→Rpar :
g(x) =f(2x)six∈[012]
f(2x−1)sinon

A quelle condition(s) la fonctiongest-elle dérivable ?

Exercice 11[ 01360 ][correction]
Soitf:I→Cune fonction dérivable.
Montrer que|f|:I→Rest dérivable en tout point oùfne s’annule pas et
exprimer sa dérivée.

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fn’est pas dérivable en 1, il y a une tangente verticale à son graphe en cet
abscisse.
b)f(x) = (x2−1) arccosx2est définie et continue sur[−11].
Par opérationfest dérivable sur]−11[.
Quandh→0−,

et quandh→0−,
f(h)h−f(0)→ −1
fen 0 mais y admet un nombre dérivée à droiten’est pas dérivable
Quandh→0−,
f(1 +h)−f(1)−√h−2h2−h3
h=h→ −∞

Exercice 3 :[énoncé]
a)fest définie et continue surR.
Par opérations,fest dérivable surR?.
Quandh→0,
f(h)−f(0) sin 1h
=
h
n’a pas de limite doncfn’est pas dérivable en 0.
b)gest définie et continue surR.
Par opérations,gest dérivable surR?.
Quandh→0,
h)−g(0)
g(h=hsinh1→0
doncgest dérivable en 0 etg(0) = 0.

et à gauche.

Exercice 1 :[énoncé]
a)f(x) =√x2−x3est définie et continue sur]−∞1].
Par opérations,fest dérivable sur]−∞0[∪]01[.
Quandh→0+,
f(h)−fh=)0(√1−h→1

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a)x7→arxc2atn1+xest définie et dérivable surR,
arxc2+1natx0= 1−(2x2x1+ac)tar2nx

b)x7→(x)+112est définie et dérivable surR {−1},
2
(x1)+120=(x−+ 1)3

c)x7→sic(soxn+x2)4est définie et dérivable surR,
s
soc(ix+nx2)40cos(=cx+osx2)4ocs(4+sx+ni2x2)5(sco+s2o=c4xx+−c3)25os2x

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Exercice 2 :[énoncé]
a)f(x) =x|x|est définie et continue surR.
?
Par opérations,fest dérivable surR.
Quandh→0+
,
f(h)h−f(0=)h→0

et quandh→0,
f(h)h−f(0)=−h→0
fest dérivable en 0 etf0(0) = 0
.
b)f(x) =|x|x+1est définie et continue surR.
Par opérationsfest dérivable surR?.

Quandh→0,
f(h)−f(0) 1→1
=
h|h|+ 1
doncfest dérivable en 0 etf0(0) = 1.

Corrections

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2

f(1 +hh)−f (2(1) =−h) arccos((1 +h)2)→0
fest dérivable en 1 etf0(1) = 0.
Par parité,fest aussi dérivable en−1etf0(−1) = 0.

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Exercice 5 :[énoncé]
a)x7→xxest définie et dérivable surR+?,

0
(xx () =exlnx)0= (1 + lnx)xx

b)x7→(chx)xest définie et dérivable surR,
((chx)x)0=exlnchx0= (lnchx+xthx)(chx)x

c)x7→ln|x|est définie et dérivable surR?,

Exercice 6 :[énoncé]

On en déduit

(ln|x|)0= 1x

f10(x)=e1+xe2x,f02(x=)e21+xe2xetf03(x)e=1+xe2x

π
f1(x)=12f2(x 4 =) +f3(x) +π4

Exercice 7 :[énoncé]
fλest dérivable et

f0λ(x) =x(2x−2+2x1λ)2+ 1
a) Pour toutλ∈R, on af0λ(0) = 1donc les tangentes en 0 sont parallèles.
b) L’équation de la tangente en 1 àfλest

λ+ 1
y=−λ2 (x− 21) +

ou encore
1
y=−2λ(x− 22) +
Ces tangentes concourent au point d’abscisse 2 et d’ordonnée12.

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) Sif0d(a)etf0g(a)existent alors
21h(f(a+h)−f(a−h=)21)h(f(a+h)−f(a)) +−21h(f(a−h)−f(a))

et donc
21h(f(a+h)−f(a−h))h−→−0→12fd0(a) +f0g(a)
b) Pourf(x) =p|x|symétrique en 0 existe alors que la fonction n’y, la dérivée
est pas dérivable ni à droite, ni à gauche.

Exercice 9 :[énoncé]
Quandx→a,

xf(a)−af(x)a)−f(x))→f
x−a= (x−a)f(a)x+−a(af((a)−af0(a)

Exercice 10 :[énoncé]
gest dérivable sur[012[et]121].
gest continue en12si, et seulement si,f(1) =f(0).
Si tel est le cas,
gg0(12) = 2f0(1)etg0d(12) = 2f0(0)
Finalementgest dérivable si, et seulement si,

Exercice 11 :[énoncé]
|f(t)|=qf(t)f(t)est d

f(0) =f(1)etf0(0) =f0(1)

érivable par opérations en toutt∈Itel quef(t)6= 0.

0(f0
|f(t)|=2q(t)f(t))(t)=f0(t)f(t)2|f+(ft)|(t)f0(t=)Re(|ff0((tt))f|(t))
f(t)f

3

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