Sujet : Analyse, Dérivation, Dérivée d'ordre n

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Dérivée d’ordre n Exercice 1 [ 00743 ] [correction] Calculer la dérivée n-ième de x 3a) x7→ sinxe b) x7→ cos x Exercice 2 [ 01362 ] [correction] Calculer la dérivée n-ième de 2 n 2 xa) x7→x (1+x) b) x7→ (x +1)e Exercice 3 [ 01364 ] [correction] 2nCalculer de deux façons la dérivée n-ième de x7→x .
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Dérivée d’ordre n

Exercice 1[ 00743 ][correction]
Calculer la dérivéen-ième de

a)x7→sinxex

Exercice 2[ 01362 ][correction]
Calculer la dérivéen-ième de
a)x7→x2(1 +x)n

b)x7→cos3x

b)x7→(x2+ 1)ex

Exercice 3[ 01364 ][correction]
Calculer de deux façons la dérivéen-ième dex7→x2n.
En déduire une expression de
k=Xn0n!2
k

Exercice 4[ 01361 ][correction]
Calculer la dérivéen-ième de
1 1
x7→,x7→
1−x1 +x

1
puisx7→2
1−x

Exercice 5[ 01363 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =ex√3sinx. Montrer que
f(n)(x) = 2nex√3sinx+n6π

Exercice 6[ 00254 ][correction]
Montrer que la dérivée d’ordrendexn−1e1xest
(−1)nx−(n+1)e1x

Exercice 7[ 00252 ][correction]
Soitf:x7→arctanx.
a) Montrer que pour toutn>1
f(n)(x) = (n−1)! cosn(f(x)) sin(nf(x) +nπ2)

b) En déduire les racines def(n)pourn>1.

Enoncés

1

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Exercice 1 :[énoncé]
a)sinxex=Im(e(1+i)x)donc

b)cos 3x= 4 cos3x−3 cosxdonc

(sinxex)(n)= 2n2sin(x+nπ4)ex

Or(1 +i)ne(1+i)x= 2n2einπ4e(1+i)xdonc

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Corrections

On sait(cosx)(n)= cos(x+nπ2)et(cos 3x)(n)= 3ncos(3x+nπ2)
donc
(cos3x)(n)(os3=c14(x+nπ2) + 3ncos(3x+nπ2))

cos3xosc3(41=x+ cos 3x)

2

donc

b)
(ex)(n−k)=x2+ 2nx+n
(x2+ 1)ex(n)=k=nX0kn!(x2+ 1)(k)(n−1) + 1ex

Exercice 2 :[énoncé]
On exploite la formule de Leibniz donc
a)
x2(1 +x)n(n)=0n!x2((1 +x)n)(n)+1n!(x2)0((1 +x)n)(n−1)+2n!(x2)00((1 +x)n)(n−2)

(x2(1 +x)n)(n)=n!x2+ 2nn!x(1 +x) +n(n−1)n2!+1(x)2

f(n+1)(x) = 2n√3 sinx+n6π+ cosx+n6πex√3
f(n+1)(x) = 2n+1sinx+ (n+1)6πex√3

x2n(n)(2n)!xn
=
n!

donc

puis

n
n=!n!X
x2n(n)=nkX=0kn!(nn−!k)!k!xkn=0kn!2xn
kXn=0n!2(2(n!n))2=!2nn!
=
k

et donc

Exercice 3 :[énoncé]
D’une part

On en déduit

Corrections

(sinxex)(n)=Im((1 +i)ne(1+i)x)

n×xn)(n)n
x2n(n)= (x=k=nX0k!(xn)(k)(xn)(n−k)

D’autre part

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Exercice 4 :[énoncé]
11−x(n)1(=−xn)!n+1et1+1x(n)= (−1)n(1 +nx!)n+1

Récurrence établie.

Or

1 1 1 1 1
= 1 + 2 1
1−x22−x+x

Exercice 5 :[énoncé]
Par récurrence surn∈N.
Pourn= 0: ok
Supposons la propriété établie au rangn>0.
f(n+1)(x) =2nex√3sinx+n6π0

)nn!
1−1x2(n)=21(−n!x)n+112((+−+1x)n+1

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
Par récurrence surn∈N.
Pourn= 0: ok.
Supposons la propriété établie au rangn>0.
xne1x(n+1)=xxn−1e1x(n+1)=xxn−1e1x(n+1)+ (n+ 1)xn−1e1x(n)

donc

xne1x(n+1)=x(−1)nx−(n+1)e1x0+ (n+ 1)(−1)nx−(n+1)e1x

ce qui donne

Récurrence établie.

xne1x(n+1)= (−1)n+1x−(n+2)e1x

Exercice 7 :[énoncé]
a) Par récurrence surn>1.
Pourn= 1

f0(x11+=)x2etcos(f(x)) sin(f(x) +π2) = cos2arctanx11=+x2
Supposons la propriété vérifiée au rangn>1
f(n+1)(x) = 1 +n!x2"−s(+co(nisnf(fx))(x(nis+)fnπn2(x(c)so)+fnπ(x)))2#cosn−1(f(x))

Or
1+1x2= cos2(f(x))
donc
f(n+1)(x) =n!"s+iis(nfn((xn)fc)(x+so()n(nf(x+1))+π(n)1oc)2+sπ(f)2(x))#cosn+1(f(x))
puis
f(n+1)(x) =n! sin ((n+ 1)f(x) + (n+ 1)π2) cosn+1(f(x))
Récurrence établie.
b) Puisquearctanx∈]−π2 π2[,cos(f(x))6= 0.

Par suite

et donc

f(n)(x) = 0⇔sin(nf(x) +nπ2) = 0

π
f(n)(x) = 0⇔f(x) =kπ−aveck∈ {1     n−1}
n2

Au final, les racines def(n)sont les


cot
n

aveck∈ {1     n−1}

3

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