Sujet : Analyse, Dérivation, Etude graphique d'une fonction

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude graphique d’une fonction Exercice 1 [ 01405 ] [correction] Etudier la fonction p 2f :x7→x 1−x afin d’en réaliser la représentation graphique. Exercice 2 [ 01406 ] [correction] Etudier la fonction 2 −xf :x7→x e en vu d’en réaliser la représentation graphique.
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Etude graphique

d’une

fonction

Exercice 1[ 01405 ][correction]
Etudier la fonction
f:x7→xp1−x2

afin d’en réaliser la représentation graphique.

Exercice 2[ 01406 ][correction]
Etudier la fonction

f:x7→x2e−x

en vu d’en réaliser la représentation graphique.

Exercice 3[ 01407 ][correction]
Etudier la fonction

3

f2 lnx+
:x7→
x
en vu d’en réaliser la représentation graphique.

Exercice 4[ 01408 ][correction]
Etudier la fonction
x2+x

f:x|7x|+ 1
en vu d’en réaliser la représentation graphique.

Exercice 5[ 01409 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rdéfinie par

f ln( ) =x
x
x

Enoncés

Montrer quefadmet un point d’inflexion.
Etudier les branches infinies de la courbe représentative defet en donner l’allure.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
fest définie sur[−11]et impaire, étude limitée à[01].
fest de classeC∞sur[01[,


f0(x) = 1√1−−2xx22etf00(x) =x(2x23)
(1−x2)32

fprésente une inflexion en 0, tangentey=x.
fprésente un maximum enx= 1√2de valeur12.
f(1) = 0etf+∞y a une tangente verticale en 1.
0(x)x−→−1→, il
plot(x*sqrt(1-xˆ2), x=-1..1);

La fonctionx7→xp1−x2

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
fest définie et de classeC∞surR.

f0(x) =x(2−x)e−xetf00(x) = (x2−4x+ 2)e−x

fde valeur 0 et un maximum local en 2 deprésente un minimum absolu en 0
2
valeur4e .
fprésente des points d’inflexion en2 +√2et2√−2.
fprésente une asymptote horizontale d’équationy0en+∞.
=
fprésente une branche parabolique verticale en−∞.
f:=x->xˆ2*exp(-x):
a:=2+sqrt(2):b:=2-sqrt(2):
plot([f(x), D(f)(a)*(x-a)+f(a), D(f)(b)*(x-b)+f(b)], x=-1..5,
color=[red, blue, green]);

La fonctionx7→x2e−x

2

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Exercice 3 :[énoncé]
fest définie et de classeC∞surR+?.

f0(x) =−1−x22 lnx

x
f(x)

0
−∞

%

4
etf00(x) = lxn3x

1√e
2√e

&

+∞
0

En 0 :(Oy)est asymptote.
En+∞:(Ox)est asymptote.
En 1 :f00s’annule avec changement de signe, point d’inflexion.
L’équation de la tangente en ce point esty=−(x−1) + 3.
plot([(2*ln(x)+3)/x, -(x-1)+3], x=0..4, y=-1..4);

La fonctionx

2 lnx+ 3
7→
x

Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
fest définie surRet dérivable (par opérations) surR?.
Par limite de taux de variation on constate quefest aussi dérivable en 0 avec
f0(0) = 1.
+
SurR,f(x) =xce qui achève l’étude surR+.
SurR−,
2+x
f(x) =x1−x
présente un minimum en1−√2de valeur2√2−3etfprésente une asymptote
d’équationy=−x−2, courbe au dessus.
plot([(xˆ2+x)/(abs(x)+1), -x-2], x=-5..2, y=-1..3);

x2+x
La fonctionx|→7x|+ 1

3

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Exercice 5 :[énoncé]
fest de classeC∞. Ses dérivées premières et secondes sont

f0(x) = 1−xl2nx,f00(x) =−x13−2 1−xl3nx=−3 +x32 lnx

On en déduit les variations suivantes

x
f(x)

0
−∞

x
f00(x)

%

e
1e

e32
0

&

+

+∞
0

La fonctionfprésente un point d’inflexion en e32.
Puisqueli0mf=−∞, il y a une asymptote d’équationx= 0.
Puisquel+im∞f= 0, il y a une asymptote d’équationy= 0.
f:=x->ln(x)/x:
a:=exp(3/2):
plot([f(x), D(f)(a)*(x-a)+f(a)], x=0..2*a, y=-2..1);

La fonctionx7→(lnx)x

Corrections

4

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