Sujet : Analyse, Développement limité d'une solution d'équation différentielle

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Développement limité. Equation différentielle. Fonctions trigonométriques réciproques.

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DL de solutions d’une équation différentielle

Les fonctions considérées ici sont toutes réelles.
1. Résoudre sur= −π2,π différentielle cos(2 l’équation)′′()−2sin()′()−cos()()=0 .
On pourra réaliser le changement de fonction inconnue :ϕ()=cos().() .
2. Résoudre sur= − (1 différentielle1,1 l’équation−2)′′()−3′()−()=0 .
On pourra réaliser le changement de variable :=sin.
3. Soitune solution de l’équation précédente.

3.a

3.b

3.c

3.d

4.

a.

b.

c.

5.

Justifier queest∞.

Observer que∀∈ℕ, (1−2)(+2)()−(2+3)(+1())−(+1)2 (())=0
.

Pour tout∈ℕ, on pose=()(0) . Former une relation liant+2et.

Exprimer2+1et2en fonction respectivement de1et0
Exprimer :
Le2+1(0) dearcsin2,
֏
1−
Le2(0) de֏ ,1
12
−
Le2+1(0) de֏arcsin.

, et à l’aide de nombres factoriels.

En déterminant le coefficient de2+1dans le produit des deux derniers développements limités obtenir
la formule :∑=21+122(−−)=(11)6+ .
0+21

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