Sujet : Analyse, Développements limités, Application à l'étude de points singuliers

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Application

à

l’étude

de

points

singuliers

Enoncés

Exercice 1[ 01480 ][correction]
Pour chacune des courbes qui suivent, déterminer les points singuliers et préciser
l’allure de la courbe au voisinage de ceux-ci :
a)(xy((tt=))=t1−chtthtb)(xy((tt)=3=2)tt2−−tt43c)(yx((tt)=)=tt22++tt45

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
NotonsM(t)le point courant de l’arc considéré.
a) On a
(x0(t=)=t−hs2httch2t
y0(t)

donc

(xy00((tt=)0)0=⇔t= 0

Le pointM(0)est le seul point singulier. Puisque
x 1( )3+o(t3)
t=t
3
1
y(t2)t2+o(t2)
= 1−

On obtientp= 2,q= 3car

0
−12

136= 0
0

Corrections

On a un point de rebroussement de première espèce, tangente dirigée paru~(0−1).
b) On a
x0(t) = 3(1−t2)
(y0(t) = 4t(1−t2)

donc

(x0(t) = 0⇔t=±1
y0(t) = 0

Les pointsM(1)etM(−1)sont les seuls points singuliers. Puisque
(x(−t) =−x(t)

y(−t) =y(t)

M(−t)est symétrie deM(t)par rapport à(Oy). Il suffit d’étudierM(1). On a
(x(1 +h) = 2−3h−h
2 3

y(1 +h) = 1−4h2−4h3+o(h3)

doncp= 2etq= 3car

−3
−4


−416= 0

On a un point de rebroussement de première espèce, tangente dirigée par
u(−3−4).
~
c) On a
(xy00((tt2)=2=)tt4++5tt34

donc

(x0(t) = 0
y0(t) = 0⇔t= 0

Le pointM(0)est le seul point singulier. Puisque
(x(t) =t2+t4
y(t) =t2+o(t4)

doncp= 2etq= 4car

1
1010= 0et1

16= 0
0

On a un point de rebroussement de seconde espèce, tangente dirigée par~u(11).
Puisque
y(t)−x(t) =t5−t4=t4(1−t)

M(t)est en dessous de sa tangente enM(0).
Pourt>0,
(yx((−−tt))6=xy((tt))

doncM(−t)est en dessous deM(t).

2

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