Sujet : Analyse, Développements limités, Applications à l'étude de fonctions

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Applications à l’étude de fonctions Exercice 6 [ 01466 ] [correction] Montrer que la fonction x f :x7→Exercice 1 [ 01461 ] [correction] xe −1 Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 : 1peut être prolongée en une fonction de classeC surR.a) x(2+cosx)−3sinx x xb) x −(sinx) c) arctan(2x)−2arctan(x). Exercice 7 [ 01467 ] [correction] Soit 1/x Exercice 2 [ 01462 ] [correction] f :x7→ (x+1)e Déterminer les limites suivantes : +?définie surR . 1/x Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞.1 1 1 1 (1+x) −e a) lim − b) lim − c) lim2 2 En déduire l’existence d’une droite asymptote en +∞ à la courbe représentativex→0 x x→0x ln(1+x) x→0 xsin x de f. Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞. Exercice 3 [ 01463 ] [correction] Déterminer les limites suivantes : Exercice 8 [ 01468 ] [correction]1/(2−x) xlnxx x2 +3 ln(1+x) Soita) lim b) lim x+1 x/2x→2 x→+∞ lnx2 +5 f :x7→x(ln(2x+1)−ln(x))a xx −a c) lim avec a> 0 +?x→a définie surR .arctanx−arctana Former un développement asymptotique de f à la précision 1/x en +∞. En déduire l’existence d’une droite asymptote en +∞ à la courbe représentative Exercice 4 [ 01464 ] [correction] de f. Soit f : ]−1,0[∪]0,+∞[→R définie par Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en +∞.
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Applications à l’étude de fonctions

Exercice 1[ 01461 ][correction]
Déterminer un équivalent simple des fonctions proposées au voisinage de 0 :
a)x(2 + cosx)−3 sinx
b)xx−(sinx)x
c)arctan(2x)−2 arctan(x).

Exercice 2[ 01462 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
a)lxi→m01sin2x−12b)lxi→m01x−1+n(l1x)
x

Exercice 3[ 01463 ][correction]
Déterminer les limites suivantes :
a)xli→m22x2+x1+3+5xx21(2−x)
c)lxa−aarxctanaaveca >0
im
x→aarctanx−

Exercice 4[ 01464 ][correction]
Soitf: ]−10[∪]0+∞[→Rdéfinie par

c+x)1x
)xli→m0(1x

−e

b)xl→i+m∞ln(1nl+xx)xlnx

Enoncés

ln(
f(x) = 1 +x2x)−x
Montrer quef0 et que ce prolongement estpeut tre prolongée par continuité en
alors dérivable en 0.
Quelle est alors la position relative de la courbe defpar rapport à sa tangente en
ce point ?

Exercice 5[ 01465 ][correction]
Soientaun réel non nul etfla fonction définie au voisinage de 0 par

f(x) = ln(1 +ax)
1 +x
Déterminer les éventuelles valeurs deapour lesquellesfprésente un point
d’inflexion en 0.

Exercice 6[ 01466 ][correction]
Montrer que la fonction
x
f:x7→x−1
e
peut tre prolongée en une fonction de classeC1surR.

Exercice 7[ 01467 ][correction]
Soit
f:x7→(x+ 1)e1x

définie surR+?.
Former un développement asymptotique defà la précision1xen+∞.
En déduire l’existence d’une droite asymptote en+∞à la courbe représentative
def.
Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en+∞.

Exercice 8[ 01468 ][correction]
Soit
f:x7→x(ln(2x+ 1)−ln(x))

définie surR+?.
Former un développement asymptotique defà la précision1xen+∞.
En déduire l’existence d’une droite asymptote en+∞à la courbe représentative
def.
Etudier la position relative de la courbe et de son asymptote en+∞.

Exercice 9[ 01469 ][correction]
Etudier les asymptotes de
x7→3p(x2−2)(x+ 3)

Exercice 10[ 01470 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie par
−1x2
f(x0=)e

six6= 0
sinon

Montrer quefest de classeC∞et que pour toutn∈N,f(n)(0) = 0.
C’est ici un exemple de fonction non nulle dont tous lesDLn(0)sont nuls.

1

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Exercice 11[ 01471 ][correction]
Soitf: ]01[∪]1+∞[→Rl’application définie par

2
f(x) =Zxx

dt
lnt

a) Montrer quefest convexe sur]01[et]1+∞[.
b) Montrer que, pour toutx >1on a :

Zx2

x

xdt
tlnt

6Zxx2ldntt6Zxx2xt2lndtt

En déduire quexli→1m+f(x) = ln 2. De mme, établir :lim1−f(x) = ln 2.
x→
c) On prolongefpar continuité en 1, en posantf 2(1) = ln.
Montrer quefainsi prolongée est de classeC2sur]0+∞[.
Etablir la convexité defsur]0+∞[.

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)x(2 + cosx)−3 sinx∼610x5
b)xx−(sinx)x=xx(1−sixnxx)∼16x3
c)arctan(2x)−2 arctan(x)∼ −2x3

Exercice 2 :[énoncé]
a)lim1−1 1
x→0 sin2x x2=3
b)lim01x−1ln(1+x1
x→)=−2
c)lim+1(0x)x1x−e=−e2.
x→

Exercice 3 :[énoncé]
a)xli→m22x2+x15++3xx21(2−x)=3164135526
b)xl→im+∞1+lnln(xx)xlnx=e
c)xa−ax∼aa(1−lna)(x−a)sia6= 1et
arctan(x)−arctan(a)∼(arctan(a))0(x−a) =1(x+−aa2).
Sia6= 1
,
x
xli→maarctanxxa−−aarctana=aa(1 +a2)(1−lna)
Sia= 1,
xa−ax

Exercice 4 :[énoncé]
On a

lim = 2
x→aarctanx−arctana

Corrections

f(x) =−3+112x−41x2+o(x2)
Par suitefprolongée par continuité en 0 en posantpeut tre f(0) =−12.
De plus ce prolongement est dérivable en=1
L’équation de la tangente en 0 esty=−210+et13xf0(e0t)la c3etmstonlbarceeleuone.
dessous de celle-ci.

Exercice 5 :[énoncé]
On a
f(x) =ax−a2+1(1a)x2+a(+121a+31a2)x3+o(x3)
Pour quefprésente un point d’inflexion en 0, il faut quea(1 +21a) = 0i.e. :
a=−2.
Inversement sia=−2,
f(x) =−2x−38x3+o(x3)
et par suitefprésente un point d’inflexion en 0.

Exercice 6 :[énoncé]
fest définie surR?et se prolonge par continuité en 0 en posantf(0) = 1.
fest de classeC1surR?et

x−1−xex−
f0(x) =e=x212x2++o(ox(2x)2)x−→−0→ −12
(ex−1)2

3

doncfest dérivable en 0 avecf0(0) =−12et finalementfest de classeC1surR.

Exercice 7 :[énoncé]
On a
f(x) = (x+ 1)e1x=x+2+321x+o1x

Par suite, la droite d’équationy=x+ 2à la courbe et la courbe estest asymptote
au dessus de celle-ci.

Exercice 8 :[énoncé]
On a

f(x) =x(ln(2x+ 1)−ln(x)) = ln 2x2+1−118x+o1x

La droite d’équationy= ln 2x+21est asymptote à la courbe et la courbe est en
dessous de celle-ci.

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Exercice 9 :[énoncé]
On a
3p(x2−2)(x+ 3) =x3r 31 +x−x22−x63=x+ 1−53x+o1x

Corrections

La droite d’équationy=x+ 1est asymptote à la courbe en+∞(resp.−∞).
Courbe en dessous (resp. au dessus) de l’asymptote en+∞(resp.−∞).

Exercice 10 :[énoncé]
fest évidemment de classeC∞surR?.
Montrons par récurrence quefest de classeCnet quef(n)est de la forme :

f(n)(x) =Pn(1x)e−1x2

pourx6= 0avecPn∈R[X].
Pourn= 0: ok.
Supposons la propriété établie au rangn>0.
f(n)est continue, dérivable surR?et pourx6= 0,
f(n+1)(x) =−x12Pn01xe−1x2+x23Pnx2=Pn+1x1e−1x2
1e−1x

avecPn+1∈R[X].
Récurrence établie.
y=1x2(√y)
Pour toutn∈N,f(n)(x) =Pne−y→0quandx→0+et de mme quand
x→0−
.
Par le théorème du prolongementC1dans une version généralisée, on obtient que
fest de classeC∞etf(n)(0) = 0pour toutn∈N.
Par suitef(n)est dérivable en 0 etf(n+1)(0) = 0.

Exercice 11 :[énoncé]
a) SoitGune primitive de la fonctiont7→1lntsur]01[(resp. sur]1+∞[).
Pour toutx∈]01[(resp.]1+∞[), on af(x) =G(x2)−G(x). On en déduit que
fest de classeC∞sur]01[(resp. sur]1+∞[) et

On a alors

f0(x)2=lnxx2−n1lx=xln−x1

f00(x) =xlnx(xln−xx)2+ 1

Soitg(x) =xlnx−x+ 1surR+?.
gest de classeC∞etg0(x) = ln(x). Puisqueg(1) = 0, la fonctiongest positive
puisf00>0sur]01[(resp.]1+∞[).
b) Pourx >1,
2x1x2

∀t∈x x  tlnt6lnt6tlnt
D’où
Zxx2xtldntt6Zxx2lndtt6Zxx2xt2lndtt
CommeRxx2tdltnt 2= ln, on obtient

puisli→m1+f(x 2) = ln.
x
Pourx <1,

xln 26f(x)6x2ln 2

∀t∈x2 xtlxnt6l1nxt2
6tlnt

D’où
2
Zxxxt2lndtt6Zxx2ldntt6Zxx2txldntt
Ox2ln 26x)6xln 2puislimf(x 2) = ln.
n obtientf(x→1−
c)fest continue sur]0+∞[, de classeC1sur]01[et]1+∞[et

f0(1 +h ln(1) =h+h)h−→−0→1

Par le théorème de prolongementC1, on afde classeC1etf0(1) = 1.
De mme, en exploitant

f00(1 +h+)1+1((=hhn1l+))l((n1(+h)h)−)2h∼(1h+2h2)h2h−→−0→21

on obtient quefest de classeC2etf00(1) = 12.
Commef00est positive sur]0+∞[, on peut conclure quefest convexe surR+?.

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