Sujet : Analyse, Développements limités, Calcul de développements limités

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de développements limités Exercice 7 [ 00751 ] [correction] Déterminer les développements limités suivants : x−sinxa) DL (0) de3Exercice 1 [ 01447 ] [correction] 1−cosx sin(x) Déterminer les développements limités suivants : b) DL (0) de2 exp(x)−1 xchx−shxa) DL (π/4) de sinx3 c) DL (0) de3 chx−1lnxb) DL (1) de 24 x c) DL (0) de shxch(2x)−chx.5 Exercice 8 [ 01449 ] [correction] Former le DL (1) de arctanx3 Exercice 2 [ 00226 ] [correction] Déterminer les développements limités suivants : 2x +1a) DL (0) de ln Exercice 9 [ 01452 ] [correction]3 x+1 Déterminer les développements limités suivants :b) DL (0) de ln(1+sinx)3 R 2x dt√c) DL (1) de cos(ln(x)) a) DL (0) de3 10 4x 1+t 999P kxb) DL (0) de ln1000 k! k=0Exercice 3 [ 00745 ] [correction] Déterminer les développements limités suivants : xa) DL (0) de ln(1+e )3 Exercice 10 [ 01453 ] [correction] b) DL (0) de ln(2+sinx)3 1√ √Exprimer le développement limité à l’ordre n en 0 de à l’aide de nombres 1−xc) DL (0) de 3+cosx3 factoriels. Exercice 4 [ 00292 ] [correction] Exercice 11 [ 01454 ] [correction]Déterminer les développements limités suivants :√ 1+x Pour α =−1/2 et k∈N, exprimera) DL (0) de e3 √ b) DL (0) de ln(1+ 1+x)3 α(α−1)...(α−k+1) x −xc) DL (0) de ln(3e +e )3 k! à l’aide de nombres factoriels.
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Calcul de développements limités

Exercice 1[ 01447 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(π4)desinx
b)DL4(1)delxn2x
c)DL5(0)de shxch(2x)−chx.

Exercice 2[ 00226 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(0)delnxx2+1+1
b)DL3(0)deln(1 + sinx)
c)DL3(1)decos(ln(x))

Exercice 3[ 00745 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(0)deln(1 +ex)
b)DL3(0)deln(2 + sinx)
c)DL3(0)de√3 + cosx

Exercice 4[ 00292 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(0)de e√1+x
b)DL3(0)deln(1 +√1 +x)
c)DL3(0)deln(3ex+e−x)

Exercice 5[ 01448 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL2(0)de(1 +x)1x
b)DL4(0)delnsixnx
c)DL4(0)delnshxx

Exercice 6[ 01451 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL3(0)delne(x1−+1x)
b)DL2(0)denanatcratx x
c)DL2(1)delx−1
nx

Enoncés

Exercice 7[ 00751 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
−sinx
a)DL3(0)de1x−cosx
b)DL2(0)de(sin(pxxx))−1
e
c)DL3(0)dexchx−shx
chx−1

Exercice 8[ 01449 ][correction]
Former leDL3(1)dearctanx

Exercice 9[ 01452 ][correction]
Déterminer les développements limités suivants :
a)DL10(0)deRxx2√1d+tt4
DL1000(0)delnk9P99=0xkk!
b)

Exercice 10[ 01453 ][correction]
Exprimer le développement limité à l’ordrenen 0 de√11−xà l’aide de nombres
factoriels.

Exercice 11[ 01454 ][correction]
Pourα=−12etk∈N, exprimer

α(α−1)  (α−k+ 1)

k!
à l’aide de nombres factoriels.
En déduire une expression duDL2n+1(0)de√11−x2puis
arcsin(x).

duDL2n+2(0)de

1

Exercice 12[ 01455 ][correction]
Pourn∈N, déterminer le développement limité à l’ordre2n+ 2dex7→12ln11−+xx.
On pourra commencer par calculer la dérivée de cette fonction.

Exercice 13[ 01456 ][correction]
Montrer que l’applicationf:R→Rdéfinie parf(x) =xex2admet une
application réciproque définie surRet former leDL5(0)def−1.

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Exercice 14[ 03025 ][correction]
En calculant de deux façons le développement limité à l’ordrende(ex−1)n,
établir que pour tout06`6n
−1)n−kk`0si`
kXn=0kn!(`!1si`=nn<
=

Exercice 15CCP MP[ 02519 ][correction]
Soientn∈N,n>2etfl’application deRdansRdéfinie par
f(x) =xnsinx1six6= 0etf(0) = 0

a) Montrer quefest dérivable surR.
b)fadmet-elle un développement limité en 0 ? si oui à quel ordre maximal ?

Enoncés

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)sin(x) =√22+√22(x−4π)−√42(x−π4)2−√221(x−π4)3+o((x−4π)3)
1)2+13( )4.
cb))slhnx2xxch=(2(xx)−−1c)h−x25=(x−1−+x−312x2x+−1613)x33−−1124277(xx4−)1+4112210+x5o+((ox(−x5)1).

Exercice 2 :[énoncé]
a)lnxx21++1= ln(1 +x2)−ln(1 +x) =−x+23x2−13x3+o(x3)
b)ln(1 + sinx) =x−21x2+61x3+o(x3).
c)cos(lnx) = 1−21(x−1)2+21(x−1)3+o((x−1)3).

Exercice 3 :[énoncé]
a)ln(1 +ex) =1+o(x
b)ln(2 + sinx)l=lnn22+12+x21+x8−x821x2−4123)x3+o(x3)
c)√3 + cosx= 2−8x2+o(x3)
1

Exercice 4 :[énoncé]
a) e√1+x=e+e2x+4e8x3+o(x3).
cb))l(nln31ex++√e1−x+)x=nl=2+2nl+21241x−33x232x2−+81x6593x+3o(+xo3()x3)
x+8

Exercice 5 :[énoncé]
11eo(x2)
ba))1n(l+sinxx)x1x==−e16−x2e2−x1+2081x44x+2o(+x4)
c)lnshxx=61x2−1801x4+o(x4)

Exercice 6 :[énoncé]
a)lne(x1−+1x)= 1−x+32x2−1124x3+o(x3)
b)ra1natnatcx=x11=+12−(x23−x2+)1−o(1x122()x−1)2+o((x−1)2)
c)xln−x

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
a)x1−−sicosnxx=13x+190x3+o(x3)
nx
b)(pxeisx)−1= 1−21x−121x2+o(x2)
xchx−shx
c)chx−1=23x+190x3+o(x3)

Exercice 8 :[énoncé]
On primitive deDL2(1)de11+x2:
arctanx=4π+21(x−1)−41(x−1)2+211(x−1)3+o((x−1)3).

3

Exercice 9 :[énoncé]
4 3
a)√+11t4= 1−21t+8t8+o(t9)dontR0x√1d+tt4=t−101t5+124t9+o(t10)
puisRxx2√1d+tt4=R0x2√1d+tt4−R0x√1d+tt4=−x+x2+110x5−421x9−110x10+o(x10)
b)lnk99=P90!100000!+o(x1000)) = ln(ex) + ln(1−x11000000e!−x+o(x1000)) =
xkk= ln(ex−x10
x−11000!x1000+o(x1000).

Exercice 10 :[énoncé]
−12
√11−x=k=Pn0k!(−x)k+o(xn)ave
c
−1k2!= (−21)(−32)k∙!∙∙(−2k2−1 () =−1)k132(k2kk!−1)= (−1)k2((k2kk!)!)2.
n(2k)!
Au final,√11−x=kP=0 (2kk!)2xk+o(xn)

Exercice 11 :[énoncé]
On a
α(α−1)(α−k (+ 1)−1)k3212∙ ∙ ∙2k2−1(−1)k(2k)!
= =
k!k! 22k(k!)2
Donc

puis

√11−x2=nkX=022(k2(kk!))!2x2k+o(x2n+1)

arcsinx=k=Xn022k(2k(2+k!))1(k!)2x2k+1+o(x2n+2)

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Exercice 12 :[énoncé]
21ln+11−xx0=1−1x2et1x2= 1 +x2+x4+∙ ∙ ∙+x2n+o(x2n+1).
1−
Donc12ln1+1−xx=x+31x3+51x5+∙ ∙ ∙+2n1+1x2n+1+o(x2n+2).

Exercice 13 :[énoncé]
fest de classeC∞surRet

f0(x) = (1 + 2x2)ex2>0

Corrections

de pluslimf= +∞=−
+∞l−i∞mf∞.
Doncfréalise une bijection deRversRetf−1est de classeC∞surR.
En particulierf−1admet uneDL5(0), de plus commefest impaire,f−1l’est
aussi et leDL5(0)def−1est de la forme :

f−1(x) =ax+bx3+cx5+o(x5)

En réalisant unDL5(0)def−1(f(x))on obtient :
f−1(f(x)) =ax+ (a+b)x3(12+a+ 3b+c)x5+o(x5)
Orf−1(f(x)) =x, donc :
=−1 5
etc=
a= 1 b2

Exercice 14 :[énoncé]
D’une partex−1 =x+o(x)donne
(ex−1)n=xn+o(xn)

D’autre part

(ex−1)n=k=Xn0kn!(−1)n−kekx

or
ekx=nXk`
`!x`+o(xn)
`=0
donc, en réordonnant les sommes
!

−1k``
(ex−1)n=n`X=0nXnk( )`n!−kx
k=0
L’unicité des développements limités entraîne la relation proposée.

Exercice 15 :[énoncé]
a)fest évidemment dérivable en touta∈R?et aussi dérivable en 0 avec
f0(0) = 0.
b)fadmet pour développement limité à l’ordren−1:f(x) =o(xn−1).
Sifadmet unDLn(0)celui-ci serait de la forme

f(x) =axn+o(xn)

ce qui entraîne quesin(1x)admet une limite finie en 0 ce qui est notoirement
faux.

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