Sujet : Analyse, Développements limités, Notion de développement asymptotiques

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Notion de développement asymptotiques

Exercice 1[ 01457 ][correction]
Former le développement asymptotique en 0 de l’expression considérée à la
précision demandée :
a)ln(√1x+x)à la précisionx52
b)xxà la précision(xlnx)2

Exercice 2[ 01458 ][correction]
Former le développement asymptotique en+∞de l’expression considérée à la
précision demandée :
a)√x+ 1à la précision1x32.
b)xln(x+ 1)−(x+ 1) lnxà la précision1x2.
c)x+x1xà la précision1x2.

Enoncés

Exercice 3[ 03431 ][correction]
Former le développement asymptotique quandx→+∞dearctanxà la précision
1x3.

Exercice 4[ 01459 ][correction]
Réaliser un développement asymptotique de la suite considérée à la précision
demandée :
a)un= ln(n+ 1)à la précision1n2
b)un=√n+ 1 +√n−1à la précision1n2
c)un=pn+√n− √nà la précision1n
d)un=1 +n1nà la précision1n2.

Exercice 5[ 01476 ][correction]
Former le développement asymptotique, en+∞, à la précision1n2de

1Xnk!
un=n!
k=0

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)ln(1√+xx)=√x−12x32+13x52+o(x52)
b)xx= 1 +xlnx+21x2ln2x+o(x2ln2x)

Exercice 2 :[énoncé]
a)√x+ 1 =√xp1 + 1x=√x+ 112 1312+o312.

√x8x x
b)xln(x+ 1)−(x+ 1) lnx=−lnx+ 1−121x+13x12+ox12
c)xx+1x=e−2e1x+1142ex12+ox12

Exercice 3 :[énoncé]
On a pourx >0

donc

π1
arctanx=−arctan
2x

π1x13+x13+
arctanx=−o
2

Exercice 4 :[énoncé]
a)ln(n+ 1) = lnn+1n−21n2+on2.
1
b)√n+ 1 +√n−1 =√1n+81n512+on512.
c)pn+√n− √n=12−81√n+116n+o1n.
d)1 +n1n=e−2en+4211ne2+on12.

1
x3

Exercice 5 :[énoncé]
On a
1n n−4
un=n!kX=0k 1! = 1 +n+n(n1−1) +n(n−)1(1n−2) +kX=0nk!!
Or
n−4
06nX−4k!6X(n−4)!6n=1o(1n2)

Donc

k=0n!k=0n!n(n−1)(n−2)(n−3)
un 1= 1 +n+n12+on12

Corrections

2

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