Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Dérivation des fonctions réelles

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Dérivation des fonctions réelles Exercice 5 [ 00248 ] [correction] [Théorème de Darboux] Soit f : [a,b]→R une fonction dérivable.Exercice 1 [ 00251 ] [correction] 0a) Montrer que f prend toutes les valeurs intermédiaires entreCalculer la dérivée n-ième de 1 x7→ f(b)−f(a)021−x f (a) et b−a 0 0 0b) Conclure que f prend toutes les valeurs intermédiaires entre f (a) et f (b). Exercice 2 [ 00253 ] [correction] Ainsi, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas nécessairement continue, elle ?Soit f :x7→ arctanx. Montrer que pour n∈N satisfait au théorème des valeurs intermédiaires! n−1(−1) (n−1)! 1 1(n)f (x) = − n n2i (x−i) (x+i) (n) ?En déduire les zéros de f pour n∈N . Exercice 3 Mines-Ponts MP [ 02811 ] [correction] Soient des réels a,b où a∈/{0,1}. On pose h(x) =ax+b pour tout x réel. On note S l’ensemble des fonctions dérivables f :R→R telles que f◦f =h a) Montrer que S =∅ si a 0 (et a = 1). b) Montrer que h est une homothétie; préciser son centre et son rapport. −1c) Soit f∈S. Montrer que h ◦f◦h =f. En déduire une expression de f ; on commencera par le cas 0 1, la même étude en partant de avec k∈{1,...,n−1}. −1h◦f◦h =f Exercice 3 : [énoncé] permet aussi d’affirmer que f est affine et d’obtenir la même conclusion. 0 0a) En dérivant la relation (f◦f)(x) =ax+b on obtient f (x)f (f(x)) =a. On observe que h admet un unique point fixe α =b/(1−a). Si pour tout x∈R, f(x)x pour tout x∈R.
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Dérivation des fonctions réelles

Exercice 1[ 00251 ][correction]
Calculer la dérivéen-ième de

1
x7→2
1−x

Exercice 2[ 00253 ][correction]
Soitf:x7→arctanx. Montrer que pourn∈N?
n−21i(n−1)!(x−i)n−(x+1i)n
f(n)(x () =−1) 1

En déduire les zéros def(n)pourn∈N?.

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02811 ][correction]
Soient des réelsa boùa∈{01}. On poseh(x) =ax+bpour toutxréel. On
noteSl’ensemble des fonctions dérivablesf:R→Rtelles que

f◦f=h

a) Montrer queS=∅sia <0.
Désormais on supposea >0(eta6= 1).
b) Montrer quehest une homothétie ; préciser son centre et son rapport.
c) Soitf∈S. Montrer queh−1◦f◦h=f. En déduire une expression def; on
commencera par le cas0< a <1.

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 02819 ][correction]
On posef(x) = e−1x2pourxréel non nul etf(0) = 0.
a) Montrer l’existence pour toutn∈Nd’un polynômePntel que :

∀x∈R?,f(n)(x) =x−3nPn(x)f(x)

Quel est le degré dePn?
b) Montrer quefest de classeC∞, toutes ses dérivées étant nulles en 0.
c) Montrer que toute racine dePnest réelle.

Enoncés

Exercice 5[ 00248 ][correction]
[Théorème de Darboux]
Soitf: [a b]→Rune fonction dérivable.
a) Montrer quef0prend toutes les valeurs intermédiaires entre

f0(a)etf(b)−f(a)
b−a

b) Conclure quef0prend toutes les valeurs intermédiaires entref0(a)etf0(b).
Ainsi, bien qu’une fonction dérivée ne soit pas nécessairement continue, elle
satisfait au théorème des valeurs intermédiaires !

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
1 1 1 1 1
= 1 + 2 1 +x
1−x22−x

Or

donc

11−x(n)1(=−xn)!n+1et1+1x(n)nn!
= (−1) (1 +x)n+1

1−1x2(n)2(1=−n!x)n+121(+(−)1+xn)nn!+1

Exercice 2 :[énoncé]
Par décomposition en éléments simples
1
f0(x) =x2+121ix1−i+x+1i
=

Il suffit ensuite de dériver à l’ordren. . .
Après résolution de l’équation

(x−i)n= (x+i)n

Corrections

à l’aide des racines de l’unité, on obtient que les racines def(n)sont lescotπkn
aveck∈ {1     n−1}.

Exercice 3 :[énoncé]
a) En dérivant la relation(f◦f)(x) =ax+bon obtientf0(x)f0(f(x))a.
=
On observe quehadmet un unique point fixeα=b(1−a).
Si pour toutx∈R,f(x)< xalorsh(x) =f(f(x))< f(x)< xce qui est
contradictoire avec l’existence d’un point fixe pourh.
De mme, on ne peut avoirf(x)> xpour toutx∈R. La continuité defpermet
alors d’assurer l’existence d’un point fixe àf(qui ne peut d’ailleurs qu’treαcar
un point fixe defest aussi point fixe deh).
La relation
f0(x)f0(f(x)) =a

enx=αdonne

(f0(α))2=a

Par suite sia <0,S=∅.
b) On observe

h(x) =a(x−α) +α

hest une homothétie de centreαet de rapporta.
c) On a
h−1◦f◦h=h−1◦f◦f◦f=h−1◦h◦f=f

En itérant la relation précédente

(h−1)n◦f◦hn=f

avechn(x) =α+an(x−α)et(h−1)n(x) =α+−n(x−α).
a
Supposonsa∈]01[.
On peut écrire

f(x) = ((h−1)n◦f◦hn) = (h−1)n◦f(α+an(x−α))

Puisquean→0et quefest dérivable enα

donc

f(α+an(x−α)) =α+an(x−α)f0(α) +o(an)

f(x) = (h−1)n◦f(α+an(x−α)) =α+ (x−α)f0(α) +o(1)

2

En passant à la limite quandn→+∞, on peut affirmer quefest affine. Puisque
de plusαest point fixe,fest une homothétie de centreαet son rapport ne peut
qu’tre√a.
Dans le casa >1, la mme étude en partant de

h◦f◦h−1=f

permet aussi d’affirmer quefest affine et d’obtenir la mme conclusion.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Il suffit de raisonner par récurrence. On obtientP0(x) = 1et pour toutn∈N,

Pn+1= (2−3nX2)Pn+X3P0n

Par récurrence, pourn >0,degPn= 2(n−1).
b)fest continue en 0 et pour toutn∈N?,f(n)(x)−−→0dont par le théorème
x→0
« limite de la dérivée », on peut conclure.
c)P1= 2a toutes ses racines réelles.

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Corrections

f0(0) =xl→i+m∞f0(x) = l→im−f0(x) = 0donc par une généralisation du théorème
x∞
de Rolle, on peut affirmer quef00s’annule sur]0+∞[et]−∞0[. Ses annulations
sont aussi des zéros deP2qui est de degré 2, doncP2a toutes ses racines réelles.
f00s’annule aussi en 0 et en±∞. Par la généralisation du théorème de Rolle, on
obtient 2 annulations sur]0+∞[et 2 annulations sur]−∞0[qui seront toutes
quatre zéros deP3qui est un polynôme de degré 4,. . . on peut itérer la démarche.

Exercice 5 :[énoncé]
Soityune valeur strictement intermédiaire àf0(a)etf(b)b−−af(a).
Considéronsϕ: [a b]→Rdéfinie parϕ(x) =f(x)−y(x−a).
La fonctionϕest dérivable et

ϕ(a) =f(a),ϕ0(a) =f0(a)−y <0,ϕ(b) =f(b)−y(b−a)> f(a)

Puisqueϕ0(a)<0,ϕprend des valeurs strictement inférieures àf(a).
Ainsi il existeα∈]a b]tel queϕ(α)< f(a).
ϕest continue, par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué entreαetb, il
existex∈]α b[⊂]a b[tel queϕ(x) =f(a).
En appliquant le théorème de Rolle entreaetx, il existec∈]a x[tel que
ϕ0(c) = 0i.e.f0(c) =y.
Par le mme principe que ci-dessus,f0prend aussi les valeurs intermédiaires à
f0(b)etf(b)b−−af(a)et donc les valeurs intermédiaires àf0(a)etf0(b).

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