Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Etude asymptotique d'application réciproque

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Etude asymptotique d’application réciproque Exercice 5 [ 03230 ] [correction] Soit x+1 xf :x7→ eExercice 1 [ 00237 ] [correction] x On pose f(x) =x+lnx−1 pour x> 0. a) Montrer que l’équationa) Justifier que f réalise une bijection de ]0,+∞[ sur un intervalle à préciser. −1 f(x) =λb) Former le développement limité à l’ordre 2 de f en 0. −1c) Donner un équivalent simple à f (y) quand y→ +∞. admet deux solutions a(λ) 0 a) Montrer l’existence de a> 0 tel que f est strictement décroissante sur [−a,0] et strictement croissante sur [0,a]. b) On pose b = min{f(−a),f(a)} Montrer que pour tout λ∈ [0,b], l’équation f(x) =λ admet une unique solution x (λ) dans [−a,0] et une unique solution x (λ) dans [0,a].1 2 +c) Déterminer les limites puis des équivalents de x (λ) et de x (λ) quand λ→ 0 .1 2 3 +d) On suppose maintenant que f est de classeC . Etudier la limite λ→ 0 de x (λ)+x (λ)1 2 λ Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections e) On a −1f (y)−−−−→ 0 y→−∞ Exercice 1 : [énoncé] La relation a) f est continue et strictement croissante. L’étude des limites de f permet −1 −1f (y)+ln(f (y))−1 =yd’affirmer que f réalise une bijection ]0,+∞[ versR.
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Etude asymptotique d’application réciproque

Exercice 1[ 00237 ][correction]
On posef(x) =x+ lnx−1pourx >0.
a) Justifier quefréalise une bijection de]0+∞[sur un intervalle à préciser.
b) Former le développement limité à l’ordre 2 def−1en 0.
c) Donner un équivalent simple àf−1(y)quandy→+∞.
d) Quelle est l’allure de la branche infinie def−1en+∞?
e) Donner un équivalent simple àf−1(y)quandy→ −∞.

Enoncés

Exercice 2[ 00238 ][correction]
Montrer quex7→x+ ln(1 +x)admet au voisinage de 0 une fonction réciproque.
Former le développement limité à l’ordre 3 au voisinage de 0 de celle-ci.

Exercice 3[ 00239 ][correction]
Soitf: [e+∞[→Rla fonction définie par
f(x ln) =xx

a) Montrer quefréalise une bijection de[e+∞[vers un intervalle à préciser.
b) Déterminer un équivalent simple àf−1en+∞.
c) Réaliser un développement asymptotique à trois termes def−1en+∞.

Exercice 4[ 03228 ][correction]
Soitf:R→Rde classeC2vérifiant

f(0) =f0(0) = 0etf00(0)>0

a) Montrer l’existence dea >0tel quefest strictement décroissante sur[−a0]
et strictement croissante sur[0 a].
b) On pose
b= min{f(−a) f(a)}

Montrer que pour toutλ∈[0 b], l’équationf(x) =λadmet une unique solution
x1(λ)dans[−a0]et une unique solutionx2(λ)dans[0 a].
c) Déterminer les limites puis des équivalents dex1(λ)et dex2(λ)quandλ→0+.
d) On suppose maintenant quefest de classeC3. Etudier la limite quandλ→0+
de
x1(λ) +x2(λ)
λ

Exercice 5
Soit

[ 03230 ][correction]

a) Montrer que l’équation

f:x7→x+ 1x
e
x

f(x) =λ

admet deux solutionsa(λ)< b(λ)pourλassez grand.
b) Déterminer
λl→i+mb(λ)a(λ)

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)fest continue et strictement croissante. L’étude des limites defpermet
d’affirmer quefréalise une bijection]0+∞[versR.
b)fest de classeC∞et pour toutx∈]0+∞[,f0(x)6= 0doncfest un
C∞-difféomorphisme et en particulier l’application réciproquef−1est de classe
C∞. Par suitef−1l’ordre 2 en 0 de la formeadmet un développement limité à

f−1(y) =a+by+cy2+o(y2)

Commef(1) = 0,f−1(0) = 1et donca= 1.
La relationf(f−1(y)) =ydonne

soit encore

1 +by+cy2+o(y2) + ln(1 +by+cy2+o(y2))−1 =y

2by+2c−12b2y2+o(y2) =y

Par unicité des développements limités

b= 12etc= 116

c) Le tableau de variation defpermet de d’obtenir celui def−1et d’affirmer

Puisque

avec

on obtient

d) On a

et


f1(y)−−−+−∞→+∞
y→

f−1(y) + ln(f−1(y))−1 =y

ln(f−1(y))−1 =o(f−1(y))

f−1(y)∼y

−−−−→1
f−1(y)yy→+∞

f−1(y)−y= 1−lnf−1(y)y−→−+−→−∞−

La fonctionf−1présente en+∞une branche parabolique de directiony=x.

e) On a

La relation

donne
puis

f−1(y)y−→−−−→0
−∞

f−1(y) + ln(f−1(y))−1 =y

ln(f−1(y)) =y+ 1−f−1(y)

f−1(y) = e1+ye−f−1(y)∼e1+y

2

Exercice 2 :[énoncé]
f:x7→x+ ln(1 +x)est de classeC∞etf(0) = 0etf0(0) = 2>0doncfdéfinie
C∞-difféomorphisme d’un voisinage de 0 vers un autre. Son application réciproque
étantC∞un développement limité à l’ordre 3 de la former, elle admet
f−1(y) =ay+by2+cy3+o(y3).
Puisquef(f−1(y)) =y, on a2ay+2b−a22y2+ (2c−ab+31a3)y3+o(y3) =y.
On en déduita= 12,b= 116etc=−1192.

Exercice 3 :[énoncé]
a)fest continue et
x−1
f0(x=)nlnlx)2>0
(
sauf enx=e doncfest strictement croissante et réalise donc une bijection de
[e+∞[vers[e+∞[.
b) Quandy→+∞,f−1(y)→+∞.

donc

d’où

Par suite

f
ln(f−−1(1y(y)=))y

ln(f−1(y))−ln(ln(f−1(y))) = ln(f−1(y)) +o(ln(f−1(y))) = lny

ln(f−1(y))∼lny

f−1(y)∼ylny

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Corrections

c)f−1(y) =yln(f−1(y)) =yln(ylny+o(ylny)) =ylny+yln(lny+o(lny)) =
ylny+yln(lny) +o(yln(lny)).
puisf−1(y) =yln(f−1(y)) =yln(ylny+yln(lny) +o(yln(lny)) =
yln(ylny) +yln1 +ln(lnlnyy)+olnl(nnlyy)
et enfin
f−1(y) =ylny+yln(lny) +yn(lnlnlyy)+oynlnlln(yy)

Exercice 4 :[énoncé]
a) Puisquef00est continue etf00(0)>0, on peut introduirea >0tel quef00>0
sur[−a a].
On a alorsf0strictement croissante sur[−a a]et puisquef0(0) = 0, on peut
exprimer le signe def0sur[0 a]et constater quef0est strictement décroissante
sur[−a0]et strictement croissante sur[0 a].
b) Puisquefest continue, par stricte monotonie,fréalise une bijectionf1de
[−a0]sur[0 f(−a)]et une bijectionf2de[0 a]sur[0 f(a)]. L’existence et
l’unicité dex1(λ)et dex2(λ)en découlent et
x1(λ) =f1−1(λ)etx2(λ) =f2−1(λ)
c) Par continuité def1−1etf2−1, on a
x
λl→im0+1(λ) = 0−etλli→m0+x2(λ) = 0+

Par la formule de Taylor-Young, quandx→0
f(x21=)x2f00(0) +o(x2)
Pouri∈ {12}, puisquexi(λ)→0,
λ=f(xi(λ=))21xi2(λ)f00(0) +o(xi2(λ))
donc

Ainsi

d) On peut écrire

xi2(λ)∼f00(0)

x1(λ)∼ − √00(0)etx2(λ)∼p√f020(λ0)
pf

xi(λ) =±p√f020(λ)0+yi(λ)avecyi=o(√λ)

Par la formule de Taylor-Young, quandλ→0

et on obtient

donc

λ=f(xi(λ12)=)xi2(λ)f001+6()0xi3(λ)f(3)(0) +o(xi3(λ))

y1(λ)∼ −13ff(003()(0)02)λety2(λ)∼ −31ff(003()(00)2)λ

λ2f
x1(λ) +x2( )→ −f0(03())00(2)
λ3

Exercice 5 :[énoncé]
a) La fonctionfest définie et dérivable surR?avec
f0(x) =x2+xx2−1ex

3

Notonsα < βles deux racines réelles de l’équationx2+x−1 = 0. On a le tableau
des variations suivant

0−
x−∞α
f0(x 0) +−
f(x) 0%f(α)& −∞

0+β+∞
−0 +
+∞ &f(β)%+∞

Pourλ >max(f(β) f(α)), l’équationf(x) =λadmet deux solutions, l’une dans
a(λ)∈]0 β[et l’autreb(λ)∈]β+∞[.
b) On a
a(λ) =f]0β[−1(λ)λ−→−−+−∞→0+etb(λ) =f]β+∞[−1(λ)λ−→−−+−∞→+∞

Puisquea(λ)→0et

on a

donc

Puisqueb(λ)→+∞et

a(λae)1+(a(λ)=λ
λ)

λa(λ) = (a(λ) + 1)ea(λ)→1

a(λ)∼1λ

+ 1b
b(bλ()λ) e(λ)=λ

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donc

Orλ→+∞ 6= 1donc

eb(λ)∼λ

b(λ)∼lnλ

et puisquelnλ→+∞ 6= 1, on a encore

Par suite

avec

donc

lnb(λ)∼ln(lnλ)

b(λ)a(λ)= ea(λ) lnb(λ)

a(λ) lnb(λ)∼ln(lλnλ)→0

b(λ)a(λ)→1

Corrections

4

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