Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Etude de suite de solutions d'une équation

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Etude de suite de solutions d’une équation Exercice 6 Centrale MP [ 00316 ] [correction] n 2Montrer que l’équation x +x −1 = 0 admet une unique racine réelle strictement positive pour n> 1. On la note x . Déterminer la limite ‘ de la suite (x ) puis unn nExercice 1 [ 01477 ] [correction] équivalent de x −‘.nSoit f : ]0,+∞[→R la fonction définie par f(x) = lnx+x Exercice 7 Centrale MP [ 00317 ] [correction]a) Montrer que pour tout entier n∈N, il existe un unique x tel que f(x ) =n.n n nPour tout entier n> 2, on considère l’équation (E ) :x =x+1 dont l’inconnuenb) Former le développement asymptotique de la suite (x ) à la précision (lnn)/n.n est x> 0. a) Montrer l’existence et l’unicité de x solution de (E ).n n Exercice 2 [ 00310 ] [correction] b) Montrer que (x ) tend vers 1.n Pour n∈N, on considère l’équation c) Montrer que (x ) admet un développement limité à tout ordre. Donner les troisn √ premiers termes de ce développement limité. 3x+ x =n d’inconnue x∈R. Exercice 8 X MP - Centrale MP [ 00318 ] [correction]a) Montrer que cette équation possède une unique solution x .n Pour n> 2, on considère le polynômeb) Déterminer la limite de x puis un équivalent simple de (x ).n n c) Donner un développement asymptotique à trois termes de (x ).n nP =X −nX +1n Exercice 3 [ 00311 ] [correction] a) Montrer que P admet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notée x .n n b) Déterminer la limite de x lorsque n→ +∞.
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Etude de suite de solutions d’une équation

Exercice 1[ 01477 ][correction]
Soitf: ]0+∞[→Rla fonction définie par

f(x) = lnx+x

Enoncés

a) Montrer que pour tout entiern∈N, il existe un uniquexntel quef(xn) =n.
b) Former le développement asymptotique de la suite(xn)à la précision(lnn)n.

Exercice 2[ 00310 ][correction]
Pourn∈N, on considère l’équation
x+3√x=n

d’inconnuex∈R.
a) Montrer que cette équation possède une unique solutionxn.
b) Déterminer la limite dexnpuis un équivalent simple de(xn).
c) Donner un développement asymptotique à trois termes de(xn).

Exercice 3[ 00311 ][correction]
a) Pour toutn∈N, justifier que l’équation

x+ex=n

possède une unique solutionxn∈R.
b) Déterminer la limite de(xn)puis un équivalent dexn.
c) Former un développement asymptotique à trois termes dexnquandn→+∞.

Exercice 4[ 01478 ][correction]
Montrer que l’équationtanx=√xpossède une unique solutionxndans chaque
intervalleIn= ]−π2 π2[ +nπ(avecn∈N?).
Réaliser un développement asymptotique à trois termes dexn.

Exercice 5Centrale MP[ 02478 ][correction]
a) SubdiviserR+en intervalles contigus disjoints, chacun d’entre eux contenant
une unique racine de l’équation(E) : tanxthx= 1.
b) On range toutes les racines positives de(E)dans une suite strictement
croissante(xn)n>0.
Evaluer numériquement les quatre premiers termes.
c) Donner un développement asymptotique dexn.

1

Exercice 6Centrale MP[ 00316 ][correction]
Montrer que l’équationxn+x2−1 = 0admet une unique racine réelle strictement
positive pourn>1. On la notexn. Déterminer la limite`de la suite(xn)puis un
équivalent dexn−`.

Exercice 7Centrale MP[ 00317 ][correction]
Pour tout entiern>2, on considère l’équation(En) :xn=x+ 1dont l’inconnue
estx>0.
a) Montrer l’existence et l’unicité dexnsolution de(En).
b) Montrer que(xn)tend vers 1.
c) Montrer que(xn)admet un développement limité à tout ordre. Donner les trois
premiers termes de ce développement limité.

Exercice 8X MP - Centrale MP[ 00318 ][correction]
Pourn>2, on considère le polynôme

Pn=Xn−nX+ 1

a) Montrer quePnadmet exactement une racine réelle entre 0 et 1, notéexn.
b) Déterminer la limite dexnlorsquen→+∞.
c) Donner un équivalent de(xn)puis le deuxième terme du développement
asymptotiquexn.

Exercice 9[ 00312 ][correction]
a) Soitn∈N. Montrer que l’équationxn+ lnx= 0possède une unique solution
xn>0.
b) Déterminer la limite dexn.
c) On poseun= 1−xn. Justifier quenun∼ −lnunpuis déterminer un équivalent
deun.

Exercice 10[ 00314 ][correction]
Montrer que pour toutn>1, l’équation

xn!n n−X1xk
=
k!
k=0

possède une unique racinexndans]0+∞[. Déterminerlimxn.

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Exercice 11[ 00315 ][correction]
Montrer que la relationnunn+1−(n+ 1)unn= 1définit une suite positive(un)
unique.
Etudier sa convergence et préciser sa limite.

Exercice 12[ 03154 ][correction]
Pourn∈N?on introduit le polynôme

Pn(X) =X(X−1)  (X−n)

Enoncés

a) Montrer que le polynômePn0possède une unique racine dans l’intervalle]01[;
celle-ci sera notéxn.
b) Etudier la monotonie de la suite(xn)n>1.
c) Former la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle

F=P0n
Pn

d) En déduire un équivalent de la suite(xn)n>1.

Exercice 13CCP PC[ 02599 ][correction]
Soientn∈N?et l’équation

(En) :xn+x−1 = 0

a) Montrer qu’il existe une unique solution positive de(En)notéexnet que
limxn= 1.
n→+∞
b) On poseyn= 1−xn. Montrer que, pournassez grand,

lnn6yn2 lnn
6
2n n

(on poserafn(y) =nln(1−y)−ln(y)).
c) Montrer queln(yn)∼ −lnnpuis que
xn= 1−lnnn+olnnn

2

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) La fonctionf:x7→x+ lnxréalise une bijection de]0+∞[surRd’où
l’existence de(xn).
Commen→+∞,xn=f−1(n)→+∞. Par suitelnxn=o(xn)et
n=xn+ lnxn∼xn.
Doncxn=n+o(n).
Soityn=xn−n. On a :

Donc

yn=−lnxn=−ln(n+o(n)) =−lnn+ ln(1 +o(1)) =−lnn+o(1)

xn=n−lnn+o(1)

Corrections

Soitzn=yn+ lnn. On a :
zn=−ln(n−ln(n) +o(1)) + lnn=−ln1−lnnn+o( 1n)= lnnn+olnnn
n
Doncxn=n−lnn+ lnnn+olnn

Exercice 2 :[énoncé]
a) La fonctionf:R→Rdéfinie parf(x) =x+√3xréalise une bijection deRvers
R.
b) Puisquexn=f−1(n)etf−+1→+∞, on axn→+∞.

On en déduit3√xn=o(xn)puis
xn∼n
c) On peut écrirexn=n+ynavecyn=o(n).
Puisque
yn+√3n+yn= 0

on a
yn√−∼3n
On peut écrireyn=−√3n+znaveczn=o(√3n).
Puisque
−√3n+zn+3√n1(3+1−n3√n+o3√nn) = 0

on azn∼3√13n.

Finalement

1
xn=n−√3n3+3√+o
n

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =x+ex.

x−∞
f(x)−∞ %

√31n

+∞
+∞

b)f(xn) =n6n+ 1 =f(xn+1)doncxn6xn+1carf−1est croissante.
Si(xn)est majorée parMalorsf(xn) =n6f(M)ce qui est absurde.
La suite(xn)étant croissante et non majorée, elle diverge vers+∞.
xn=o(exn)donc exn∼n→+∞ 6= 1puisxn∼lnn.
c) Posonsyn=xn−lnn=o(lnn).
On ayn+ lnn+neyn=ndonc
eyn= 1−yn+ lnn→1
n n

d’oùyn→0et
eyn= 1 +yn+o(yn)
On a alorsyn+ lnn+n(1 +yn+o(yn)) =nd’oùnyn+o(nyn) =−lnnet
lnn
yn∼ −
n
Par suite
xn= lnn−lnnnlnnn
+o

On écrityn=−lnn+znet

donc

puis

Finalement

n
eynlnn+zn+ 1 +o2
n2lnnn2lnnn
= 1−

−lnnn+zn+nzn12+n(lnn)2+o(lnnn)2= 0

zn∼ −2(lnnn2)2
xn= lnn−lnnn−(2lnnn2)2+olnnn2!

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Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
SurIn, la fonctionf:x7→tanx− √xest continue, croît strictement de−∞vers
+∞.
Cela assure l’existence et l’unité dexn.
On a
π π
−2 +nπ < xn<2 +nπ
doncxn∼nπ.
Posonsyn=xn−nπ. On atanyn=√xnetyn∈−2ππ2donc
π
yn= arctan√xn→2

Posons

taxn= arctan√
zn=π2−yn=π2−arc n√1n= arctanpnπ+1π2+
xo(1)

On a
1 1 1 1 1 1
p2π+o)=(1√nπq1 +21n+=−+o
nπ+on1√nπ4√πn3

et

donc

Finalement

arctanx=x−13x3+o(x3)
zn=√1nπ−14√π1n3−31√π13n3+on312

xn=nπ+π2− √1nπ+ 3π+342πn312+on312

n312

Exercice 5 :[énoncé]
a) La fonctionx7→tanxthxréalise une bijection continue strictement croissante
deI0= [0 π2[versR+et deIn= ]−π2 +nπ π2 +nπ[versRpour
n>1x7→tanxthx. Dans chaqueInfigure une solution uniquexnà l’équation
(E).
b) On résout l’équation dans les intervalles[nπ nπ+π2[pour des valeurs
successives den.
seq(fsolve(tan(x)*tanh(x)=1, x=n*Pi..Pi/2+n*Pi), n=0..3);
c)Puisquexn∈In, on a déjàxn∼nπ.

Posonsyn=xn−nπ. On ayn∈]−π2 π2[ettanynthxn= 1donc
yn= arctanth1xn.
Puisquexn→+∞, thxn→1puisyn→π4. Ainsixn=nπ+π4 +o(1).
On obtient le développement limité dex7→arctanxen 1 par
series(arctan(x), x=1);
OOrn1en−tddtéiuyn=2π4+12(thπ2x+nπ2−1d)on+coy(nth−xn4π∼−1)−e2nπ2+π2.
hxn=e2xn+1∼e2n
Finalementxn=nπ+π4−e2nπ2+π2+oe21nπ.
On peut observer la rapide convergence vers 0 dexn−nπ+π4en écrivant
seq(fsolve(tan(x)*tanh(x)=1, x=n*Pi..Pi/2+n*Pi)-evalf(n*Pi+Pi/4),
n=0..3);

4

Exercice 6 :[énoncé]
Posonsfn(x) =xn+x2−1. L’étude de la fonctionfnassure l’existence et l’unicité
d’une solutionxn∈R+à l’équation étudiée. De plus, on observe quexn∈[01].
Puisque0 =fn+1(xn+1)6fn(xn+1), on peut affirmerxn+1>xn.
La suite(xn)est croissante et majorée donc converge vers un réel`.
Puisque pour toutn∈N,xn∈[01], à la limite`∈[01].
Si` <1alors
06xnn6`n→0
et la relationxnn+x2n−1 = 0donne à la limite`2= 1ce qui est absurde.
On conclut que`= 1.
Posonsun= 1−xn,
On a
(1−un)n=un(2−un)
donc
nln(1−u) = lnu+ ln(2−u)

d’où

or

donc

puis

et enfin

n n n

−nun∼lnunpuislnn+ lnun∼ln(−lnun)

ln(−lnun) =o(lnun)

lnun∼ −lnn

lnn
un∼
n

lnn
xn−1∼ −
n

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Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
a) Il suffit d’étudier la fonctionfn:x7→xn−(x+ 1).
b)fn(1)60doncxn>1.fn+1(xn) =xnn+1−(xn+ 1) = (xn−1)(xn+ 1)>0
doncxn+16xn. La suite(xn)est décroissante et minorée par 1 donc elle
converge vers`>1. Si` >1alorsxnn>`n→+∞orxnn=xn+ 1→`+ 1. Ce qui
est impossible et il reste`= 1.
c)xn=x+ 1⇔nlnx= ln(x+ 1)⇔g(x) =1navecg(x) =(nllx+nx1)définie sur
[1+∞[. La fonctiongest de classeC∞,g0(x)>0doncgréalise une bijection de
[1+∞[vers[01[, de plus (puisqueg0(x)6= 0)g−1est aussi de classeC∞et donc
g−1admet unDLn(0)pour toutn∈Net doncxn=g−1(1n)admet un
développement limité à tout ordre. Formons ses trois premiers termes
g−1(x) =a+bx+cx2+o(x2).a=g−1(0) = 1.g(g−1(x)) =xdonc
ln(1 +bx+cx2+o(x2)) =xln(2 +bx+o(x2))puis
bx+c−b22x2+o(x2) = ln(2)x+2bx2+o(x2)doncb 2= lnetc=2)2(nl))2((1+ln.
Finalementxn= 1 +lnn2+(2(+1nln22)) ln 2+on12.

Exercice 8 :[énoncé]
a) La fonctionx7→Pn(x)est strictement décroissante sur[01]car

P0n(x) =n(xn−1−1)

est strictement négatif sauf pourx= 1.
La fonction continuePnréalise donc une bijection strictement décroissante de
[01]vers[Pn(1) Pn(0)] = [−n1].
On en déduit l’existence et l’unicité de la solutionxnà l’équationPn(x) = 0.
b) Puisquexn∈[01], on axnn+16xnnpuis

Pn+1(xn) =xnn+1−(n+ 1)xn+ 16Pn(xn) = 0

AinsiPn+1(xn)6Pn+1(xn+1)et doncxn+16xncar la fonctionPn+1est
strictement décroissante.
La suite(xn)décroissante et minorée, elle converge donc vers un réelest `∈[01].
Si` >0alors
Pn(xn) =xnn−nxn+ 1→ −∞
ce qui est absurde. On conclut`= 0.
c) On a
xn1
n=xn−1→0
nxnnn
et doncxnn=o(nxn).

Sachantxnn−nxn+ 1 = 0, on obtientnxn∼1puis

1
xn∼
n

Ecrivons ensuite
xn+1=εnavecεn→0
n n
Puisquexnn=nxn−1, on a

εn=xn(1 +ε)n
n=n>0
nn

Nous allons montrer
(1 +εn)n−−−−→1
n→+∞
ce qui permettra de déterminer un équivalent deεnpuis de conclure.
Puisqueεn→0, pournassez grand, on a|1 +εn|62et alors
εn += (1nεn)n62nnn
n

On en déduit

Or

2n n
16(1 +εn)n61nnexpnln1 +
+ =

nln 21 +n∼n2nn−1→0
nn

et par encadrement
(1 +εn)n→1
On peut conclureεn∼n1net finalement
1
xn=n+1nn1+1+onn+1

Exercice 9 :[énoncé]
a) Soitfn:x7→xn+ lnx. On a

x +0 1∞
fn(x)−∞ %1%+∞

2nnn

d’où l’existence et l’unicité dexnavec en plus la propriétéxn∈]01[.

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b) On a

fn+1(xn) =xnn+1+ ln(xn) = (1−xn) ln(xn)<0

Corrections

doncxn+1>xn. La suite(xn)est croissante et majorée par 1 donc converge vers
`∈]01].
Si` <1alors
0 =xnn+ lnxn→ −ln`

car06xnn6`n→0.
Ceci est impossible. Il reste`= 1.
c)(1−un)n=−ln(1−un)∼un→06= 1
doncnln(1−un)∼lnunpuisnun∼ −lnun→+∞ 6= 1.
lnn+ lnun∼ln(−lnun)donclnn=−lnun+ ln(−lnun) +o(ln(−lnun))or
ln(−lnun) =o(lnun)donclnn∼ −lnunpuis

lnunlnn
un∼ − ∼
n n

Exercice 10 :[énoncé]
nxk
On posefn(x) =xn!n−Pk!. On observe quefn(0) =−1,xl→i+m∞fn(x) = +∞et
k=0
fn0+1=fn. La propriété est vrai pourn= 1et si elle est vrai au rangn, le tableau
de signe defnpermet d’assurer quefn+1est décroissante (et donc strictement
négative) sur[0 xn]puis strictement croissante sur[xn+∞]. Par le théorème des
valeurs intermédiaires, on peut assurer quefs’annule en unxn+1> xnet celui-ci
est unique.
La suite(xn)est croissante. Si elle est majorée alors elle converge vers un réel`et
xnn!n→0. Or la suite de terme général estnPxkkn!est croissante et strictement
k=0
positive. Elle ne peut donc converger vers 0. Par conséquent la suite(xn)n’est pas
majorée et, étant croissante, elle diverge vers+∞.

Exercice 11 :[énoncé]
L’étude des variations de la fonctionx7→nxn+1−(n+ 1)xnassure l’exitence et
l’unicité deun>0vérifiant la relationnunn+1−(n+ 1)unn= 1. De plus on peut
affirmerun>1.
Puisqueunn(n(un−1)−1) = 1etunn>1on an(un−1)−161puis
06un−162npermet de conclureun→0.

6

Exercice 12 :[énoncé]
a) Par application du théorème de Rolle à la fonctiont7→Pn(t)sur chacun des
intervalles[k k+ 1](avec06k6n−1), on obtient que le polynômePn0admet
au moins une racine dans chacun des intervalles]k k+ 1[. Puisque le polynôme
P0nest de degrén, il possède au plusnet donc il ne possède pas d’autresracines
racines que celles précédentes. En particulier, le polynômePn0possède exactement
une racine dans l’intervalle]01[.
b) On a
Pn+1(X) =Pn(X)(X−(n+ 1))
En dérivant et en évaluant enxnon obtient
Pn0+1(xn) =Pn(xn)

D’une part

est une quantité positive.
D’autre part, l’expression

n
(−1)nPn(xn) =xnY(k−xn)
k=1

n+1
(−1)nPn+1(x) =x(x−1)Y(k−x)
k=2

est négative sur[01]. On en déduit ses variations sur[01]puis le signe de sa
dérivée sur ce mme intervalle. Puisque qu’elle est négative sur[0 xn+1]et
positive sur[xn+11], on obtient

xn+16xn

La suite(xn)n>1est donc décroissante.
c) Puisque les racines dePnsont exactement les01     net puisque celles-ci
sont simples, on obtient
n1
Fn=XX−k
k=0
d) SachantFn(xn) = 0, on obtient

x1n=Xn1
k=1k−xn

Puisque06xn6x061, on obtient
n1n1 1 +Xn1
kX=11k6xn6kX=1k−x060k=2
1−x k−1

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Ainsi

et on peut conclure

lnn+O(1)616l 1) +O(1)
xnn(n−

1
x∼
nlnn

Corrections

Exercice 13 :[énoncé]
a) On introduitϕn(x) =xn+x−1.ϕ0n(x) =nxn−1+ 1>0,ϕnest continue
strictement croissante et réalise une bijective et de[0+∞[vers[−1+∞[d’où
l’existence et l’unicité dexn. On aϕn(1) = 1doncxn∈]01[. Sixn+1< xnalors
xnn+11+< xnnpuisxnn1++1+xn+1−1< xnn+xn−1ce qui est absurde. On en déduit
que(xn)est croissante et étant majorée cette suite converge. Posons`sa limite,
`∈]01]. Si` <1alorsxnn+xn−1 = 0donne à la limite`−1 = 0ce qui est
absurde. Il reste`= 1.
b)fnest strictement décroissante sur]01[,fn(yn) = 0,fnln2nn∼2lnn>0et
fn2 lnnn∼ −lnn <0donc à partir d’un certain rang2nlnn6yn62lnn.
n
c)lnln2nn6lnyn6ln2lnnndonneln(yn)∼ −lnnpuisnln(1−yn) = lnyn
donne−nyn∼ −lnnpuisyn∼lnnnet finalementxn= 1−lnnn+olnnn.

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