Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Intégrale fonction des bornes

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Intégrale fonction des bornes Exercice 3 Centrale MP [ 02444 ] [correction] Soit 2Z x dtExercice 1 Centrale MP [ 00087 ] [correction] f(x) = lntOn pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel. x a) Résoudre sur l’intervalle I = ]1,+∞[ l’équation différentielle +a) Calculer les limites de f en 0 et +∞, la limite en +∞ de f(x)/x et montrer que f(x) tend vers ln2 quand x tend vers 1.10 ∞ +? +(E) : xy +y = b) Montrer que f est de classeC surR mais qu’elle ne l’est pas surR .lnx c) Etudier les variations de f et tracer sa courbe représentative. et expliciter (sous forme intégrale) la solution de (E) sur I, notée f, telle que f(2) = 0. Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel? Exercice 4 [ 00273 ] [correction] b) Etudier les variations de f. Vérifier que f admet un maximum en un unique ?On introduit surR la fonction point d’abscisse x ∈I.0 Z 2xAvec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée de x . t0 e f :x7→ dtc) Déterminer un développement asymptotique à deux termes de f(x) quand tx x→ +∞. On commencera par établir l’équivalent a) Prolonger f par continuité en 0.1 ∼ 1f(x) b) Montrer que f est de classeC surR. x→+∞ lnx c) Etudier les branches infinies de la fonction f +d) Déterminer un équivalent de f lorsque x→ 1 . e) Tracer le graphe de f avec le logiciel de calcul formel. Exercice 5 [ 00275 ] [correction] Soit ZExercice 2 [ 02610 ] [correction] 2x cht?
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 7
Voir plus Voir moins

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Intégrale fonction des bornes

Exercice 1Centrale MP[ 00087 ][correction]
On pourra à tout moment s’aider du logiciel de calcul formel.
a) Résoudre sur l’intervalleI= ]1+∞[l’équation différentielle

(E):xy01
=
+ylnx
et expliciter (sous forme intégrale) la solution de(E)surI, notéef, telle que
f(2) = 0.
Quel est le résultat obtenu avec le logiciel de calcul formel ?
b) Etudier les variations def. Vérifier quefadmet un maximum en un unique
point d’abscissex0∈I.
Avec le logiciel de calcul formel, donner une valeur approchée dex0.
c) Déterminer un développement asymptotique à deux termes def(x)quand
x→+∞. On commencera par établir l’équivalent

f(x)x→∼+∞1lnx
d) Déterminer un équivalent deflorsquex→1+.
e) Tracer le graphe defavec le logiciel de calcul formel.

Exercice 2[ 02610 ][correction]
Pourx∈]01[∪]1+∞[, on pose
t
f(x) =Zxx2d
lnt

Enoncés

a) Justifier l’existence def(x)pour chaquex∈]01[∪]1+∞[
b) Etablir que pour toutx >1,
Zxx2xtldntt6f(x)6Zxx2xt2dlntt
En déduire la limite defen1+
c) Etudier de mme la limite defen1−.
d) Justifier que la fonctionfest de classeC1sur]01[et sur]1+∞[et exprimer

f0(x)

e) Etablir que le prolongement par continuité defen 1 est de classeC1puis de
classeC∞sur]0+∞[

Exercice 3Centrale MP[ 02444 ][correction]
Soit
2
f(x) =Zxdnltt
x
a) Calculer les limites defen0+et+∞, la limite en+∞def(x)xet montrer
quef(x)tend versln 2quandxtend vers 1.
b) Montrer quefest de classeC∞surR+?mais qu’elle ne l’est pas surR+.
c) Etudier les variations defet tracer sa courbe représentative.

Exercice 4[ 00273 ][correction]
On introduit surR?la fonction
2x
f:x7→Zettdt
x

a) Prolongerfpar continuité en 0.
b) Montrer quefest de classeC1surR.
c) Etudier les branches infinies de la fonctionf

Exercice 5[ 00275 ][correction]
Soit
f:x∈R?7→Zx2xcthtdt
a) Etudier la parité def. On étudie désormaisfsur]0+∞[.
b) Prolongerfpar continuité en 0.
c) Montrer quefest de classeC1surR+.
d) Branches infinies, allure.

Exercice 6[ 00277 ][correction]
Soientf∈ C1(RR)etg:R?→Rdéfinie par
g(x 1) =x
xZ0f(t) dt

a) Prolongergpar continuité en 0.
b) Montrer que la fonction ainsi obtenue est de classeC1surR.

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Exercice 7[ 00278 ][correction]
Soientf:R→Rune application de classeC1eta >0. On pose
I(x) =xa1+1Z0xtaf(t) dt

Déterminer la limite deI(x)quandxtend vers 0.

Exercice 8[ 03789 ][correction]
Etude et graphe de la fonction
x7Z2xd+1tt2+t4
→x√

On préciser le comportement de la fonction quandx→0et quandx→ ±∞.

Exercice 9CCP PC[ 03788 ][correction]
a) Montrer que la fonction
f:x7→Z2xettdt
x

est définie et dérivable surR?.
b) Déterminer la limite defen 0.

Exercice 10[ 02617 ][correction]
Pour toutx∈[1+∞[, on pose
F(x) =Z1x√tt−1
dt
3

Enoncés

a) Montrer que la fonctionFest bien définie, continue sur[1+∞[et de classeC∞
sur]1+∞[.
Exprimer sa dérivéeF0(x)
b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1.
c) Etudier la limite deFen+∞.
d) Justifier queFréalise une bijection de[1+∞[sur un intervalle à préciser.
e) Justifier queF−1est dérivable sur]0+∞[et solution de l’équation différentielle
yy0=py3−1

f) Etudier la dérivabilité deF−1en0.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)(E)est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 définie surI.
La solution générale homogène est

y(x) =xλ
Par la méthode de la variation de constante, une solution particulière est
dt
y(x) =x1Z2xlnt

La solution générale est alors
xdt
y(x) =x1λ+Z2lnt

La fonctionfrecherchée est donnée par
f(x) =x1Z2xdnltt

La résolution avec Maple
dsolve(x*D(y)(x)+y(x)=1/ln(x), y(2)=0, y(x));
fait référence à une fonctionEiqui lui est personnelle.
b) La fonctionfadmet pour dérivée
f0(x) =xnl1x−x12Z2xlndtt=x12g(x)
avec
g(x ln) =xx−Z2xdnltt
Par intégration par parties

g(xl2=)2n−Z2xdnl(tt)2

Corrections

Puisque
g0(x) =−(1nlx)2<0
la fonctiongest strictement décroissante,g(2)>0etlimg=−∞donc la fonction
+∞
gs’annule une unique fois en unx0∈I. Le signe degpuis def0sont alors

immédiats et on peut affirmer quefadmet un unique maximum enx0. On
obtient une valeur approchée dex0en écrivant
fsolve(diff(1/x*int(1/ln(t), t=2..x), x)=0, x);
et l’on obtientx0= 6579728à10−6près.
c) Par intégration par parties
f(x) =x1Z2xnldttnl1=x−x12+ln2xZ2x(dnltt)2
Montrons que
Z2xd(lnt=oZ2xldnttquandx→+∞
t)2
Soitε >0. Puisque1lnt−−−−→0, il existexel u
t→+∞0>2t q e

∀1ln6ε
t>x0t

et alors
Zx0xnl(dtt)26εZxx0dlntt6εZ2xdnltt
De plus, par non intégrabilité d’une fonction positive
xdt
Z2lnt−−−−→+∞
x→+∞

donc, pourxassez grand

et alors

Z2x0nd(ltt)2=CteZxdt
6ε2lnt
06Z2xdn(lttZxdnltt
)262ε2

On en déduit
2 1
f(x)∼1lnx x lnln 2x
− ∼
Une nouvelle intégration par parties donne
x
Z2x(lndtt)2(nl=xx)2−2)(2nl2+ 2Z2(ldntt)3

Comme ci-dessus, on montre
Z2xd(lntt)3=oZ2xdl(ntt)2quandx→+∞

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

et on en déduit
1
f(x+(ln)nl1=x)2+o1(lnx)2quandx→+∞
x

d) Quandx→1+, on peut écrirex= 1 +uavecu→0+et alors
dt
Z2xlnt=Z1udl(n1s+s)

Or

1 1s−ln(1 +s)
ln(1s +) =
+s sln(1 +s)

donc
Z1u1(nlds+s ln) =u+Z1uss−l1+n((ln+1s)s)ds
Grâce à un prolongement par continuité, il y a convergence quandu→0+de
l’intégrale du second membre et donc on peut affirmer
f(x) =x1Z2xnldtt 1= 1

u x−1

e) On obtient le graphe defpar la commande
plot(1/x*int(1/ln(t), t=2..x), x=1.5..20);

Corrections

Le graphe def

Remarque :
Les questions c) et d) pouvaient aussi tre résolues en faisant référence à des
résultats de comparaison d’intégrales partielles de fonctions positives non
intégrables (résultats hors-programme).

Exercice 2 :[énoncé]
a) Pour chaquexconsidérée, la fonction intégrée est définie et continue sur le
segment d’extrémitésxetx2.
b) Pourx >1et pour toutt∈x x2,x6t6x2etlnt >0donne par
intégration en bon ordre
x2t
Zxtxnldt6f(x)6Zxx2tx2dlntt

Puisque

2
Zxtdlntt= [ln|lnt|]xx2 2= ln
x

4

on obtient
f(x)x−→−1−+→ln 2
c) Pourx <1, on a cette fois-cix26xetlnt <0.
En adaptant ce qui précède, on obtient cette fois-cix2ln 26f(x)6xln 2d’où
l’on conclut
−→ln 2
f(x)x−→−1−
d) On introduitHprimitive det7→1lntsur]01[ou]1+∞[.
On peut alors écriref(x) =H(x2)−H(x)d’où l’on tire quefest de classeC1sur
]01[et sur]1+∞[avec
f=x−1
0(xnl)x
e) La dérivée defconverge en 1 donc par le théorème du prolongementC1on
,
peut affirmer que le prolongement par continuité defen 1, encore notéf, est de
classeC1sur]0+∞[.
La dérivée defest évidement de classeC∞sur]01[et sur]1+∞[.
Au voisinage de 1, la dérivée defest l’inverse delxn−x1.
On posantx= 1 +h, on a

f01(x1ln(1+)=h) =n+X=∞0(−n+1)n1hn
h

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

pour|h|<1.
Ainsif01(x)est au voisinage de 1 une fonction de classeC∞ne s’annulant pas et
doncf0(x)est une fonction de classeC∞au voisinage de 1.

Exercice 3 :[énoncé]
a) La fonctionfest définie sur]01[∪]1+∞[car pour chaquexdans ce
domaine, la fonctiont7→1lntest définie et continue sur le segment d’extrémités
xetx2car 1 n’y appartient pas. Pourx∈]01[, on a pour toutt∈x2 x,
2 lnx6lnt6lnxpuis par encadrement d’intégrales

x22ln−xx6f(x)x2ln−xx
6

et doncf(x)−−−→0.
x→0+
L’encadrement est identique pourx >1ce qui permet d’affirmer
f(x)x−→−−+−∞→+∞etf(x)xx−→−−+−∞→+∞.
On peut aussi écrire
x2
f(x) =Zxtltntdt
et par encadrement dutdu numérateur parxetx2, on obtientf(x)encadré par
xI(x)etx2I(x)avec

x2
2
I(x) =Zxtlnt
dt= [ln|lnt|]xx= ln 2

d’où)−−→
f(xx→1ln 2.
b) On introduitHprimitive det7→1lntet on démontre quefest de classeC1
. Cette dérivée étant de classeC∞on conclut
sur]01[∪]1+∞[avecf0(x) =xln−x1,
quefestC∞sur]01[∪]1+∞[. On prolongefpar continuité en 1 en posant
f 2(1) = lnet puisquef0(x)−−1→1, la fonctionfest de classeC1sur]0+∞[avec
x→
f0(1) = 1. Par développement en série entièreh7→ln(1h+h)estC∞au voisinage de
0 doncx7→xln−x1estC∞de 1 et par passage à l’inverseau voisinage x7→f0(x)est
C∞au voisinage de 1. FinalementfestC∞sur]0+∞[. Le calcul def00(x)
permet de justifier quef00n’a pas de limite finie en 0 et doncfne peut tre
prolongée en une fonction de classeC∞au voisinage de 0.
c)fest croissante, convexe, branche parabolique verticale en+∞, tangente
horizontale en l’origine.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Quandx→0+, on a par croissance de la fonction exponentielle

donc

∀t∈[x2x],ex6et6e2x

exln 26f(x)6e2xln 2

Par théorème d’encadrement
f(x)→ln 2
De mme, quandx→0−,f(x)→ln 2. On prolongefpar continuité en 0 en
posant
f(0) = ln 2
b) SoitFune primitive det7→ettsurR+?.Fest de classeC1et
f(x) =F(2x)−F(x)doncfest aussi de classeC1et

f0(x) = e2xx−ex

Il en est de mme surR−?et puisquef0(x)−→−0→1, on peut affirmer que la
x
fonction continuefestC1surRetf0(0) = 1
.
c) Quandx→+∞,
f(x)>exln 2

assure une branche parabolique verticale.
Quandx→ −∞,
e2xln 26f(x)6exln 2

donnef(x)→0+ce qui donne l’axe(Ox)asymptote, courbe au dessus.

Exercice 5 :[énoncé]
a) Par le changement de variableu=−t, on obtient quefest paire.
b) Pour toutx >0, on a

En intégrant, on obtient

et on en déduit

∀t∈[x2x], chxt6chtt6ch2x
t

chxln 26f(x)6ch2xln 2

f(x)−−→ln 2
x→0

5

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

c) La fonctiont7→chttest continue sur]0+∞[donc y admet une primitiveGet
puisquef(x) =G(2x)−G(x), on obtient quefest de classeC1sur]0+∞[et

f0(x) =ch2x−chx
x

De plus
f0(x)x−→−0→0
donc, par le théorème du prolongementC1,fest de classeC1surR+.
d) Puisquef(x)>chxln 2,fprésente une branche parabolique verticale.

Exercice 6 :[énoncé]
a) On a
g(x)−f 1(0) =xZ0xf(t)−f(0) dt
Pourε >0, il existeα >0vérifiant

|x|6α⇒ |f(x)−f(0)|6ε

Par suite, si|x|6α, pour touttcompris entre 0 etx,|f(t)−f(0)|6εpuis par
intégration,|g(x)−f(0)|6ε. Ainsig(x)−−0→f(0). On poseg(0) =f(0).
x→
b) Par opération,gest de classeC1surR?.
g0(x) =−x12Zxf(t) dt+f(x)
0x
Procédons à une intégration par parties,
Z0xf(t) dt=xf(x)−Z0xtf0(t) dt

On a alors
g0(x) =x12Z0xtf0(t) dt
De façon semblable à ce qui précède, on obtient

g0(x)−−→1
x→02f0(0)
Ainsi la fonction continuegest de classeC1surRet

g020)=1(f0(0)

6

Exercice 7 :[énoncé]
On a
I(x)−fa0)(=1+xa1+1Z0xtafZ0xt=xa1+1Z0xta(f(t)−f(0)) dt
(t) dt−taf(0) d
Pourε >0, il existeα >0vérifiant

|x|6α⇒ |f(x)−f(0)|6ε

Par suite, si|x|6α, pour touttcompris entre 0 etx,|f(t)−f(0)|6εpuis par
intégration
x
xa1+1Zta(f(t)−f(0)) dt6ε
0
Ainsi
f(0)

xli→m0I(x) =a+ 1

Exercice 8 :[énoncé]
Posons
F(x) =Zx2x√d+1tt2+t4
On a
F(x) =Z2xdt+t4−Zxdt
0√1 +t20√1 +t2+t4
ce qui assure queFest définie et de classeC∞surR.
Le changement de variablet=−uassure queFest impaire.
Par dérivation de primitive
1

F0(x) =p1 + (2x2)2+ (2x)4√1 +x2+x4
En réduisant au mme dénominateur et en multipliant par la quantité conjuguée,
F0(x)est du signe de
4(1 +x2+x4)−1 + (2x)2+ (2x)4= 3(1−4x4)
Fest donc croissante que01√2puis décroissante sur1√2+∞
En 0, le graphe de la fonction passe par l’origine avec une tangente d’équation
y=x.
Quandx→+∞,
2xdt=x→0
06F(x)6Zx√1 +x2+x4√1 +x2+x4
et doncFtend vers 0 en+∞.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
a) La fonctiont7→ettest définie et continue sur]0+∞[, elle y admet donc une
primitiveF.
Pourx >0, on a[x2x]⊂]0+∞[, donc l’intégrale définissantf(x)existe et

f(x) =F(2x)−F(x)

Puisque la fonctionFest dérivable, la fonctionfl’est aussi et
ex(ex−1)
f0(x) = 2F0(2x)−F0(x) =
x
L’étude pourx <0est similaire en considérantt7→ettdéfinie et continue sur
]−∞0[⊃[2x x].
b) Pourx >0,
∀t∈[x2x]ex6et6e2x
donc
exln 26f(x)6e2xln 2

puis

L’étude est analogue en0−

f(x)−−0−+→ln 2
x→

Exercice 10 :[énoncé]
a)
f t7→t t
: =
√t3−1p(t−1)(t2+t+ 1)
est définie et continue sur]1 x]et

1
f(t)∼
1√3√t−1

doncF(x)existe.
Fest primitive de la fonction continuefsur]1+∞[doncFestC1et
F0(x) =f(x).
CommefestC∞,Fest finalementC∞et sur]1+∞[
F0(x) =√x3x−1
b)Fest continue en 1 etF0(x)−−→+∞. Tan
x→1gente verticale en 1.
c)√t3−16t32donc
F(x)>Z1x√dtt= 2√x−2x−→−−+−∞→+∞

doncF(x)−+−∞→+∞.
d)Fest continue et strictement croissante sur[1+∞[doncFréalise une
bijective de[1+∞[sur[0+∞[.
Fréalise une bijection de classeC∞de]1+∞[sur]0+∞[avecF0(x)6= 0donc
F−1estC∞sur]0+∞[.
1 (F−1)3−1
(F−1)0=F0◦F−1=p
F−1

doncF−1est solution de l’équation différentielle considérée.
e)F−1est continue en0etF−1(0) = 1. En vertu de la relation
0p(F−1)3−1
(F−1) =
F−1

on obtient
−1)0(x)−−→0
(Fx→0
F−1est donc dérivable en0et(F−1)0(0) = 0.

7

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.