Sujet : Analyse, Eléments d'analyse, Théorème des accroissements finis

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Théorème des accroissements

finis

Exercice 1[ 00267 ][correction]
Montrer à l’aide du théorème des accroissements finis que

n+√1n+ 1−n√n∼ −lnn
n2

Exercice 2Mines-Ponts MP[ 02815 ][correction]
SoientfunC1difféomorphisme croissant de[01]sur[01]etn∈N?. Montrer
que l’on peut trouver une suite(xkn)16k6ntelle que :

∀k∈ {1     n},

k−1
n f(xkn)6knet
6

n1
kX=1f0(xkn) =n

Exercice 3Mines-Ponts MP[ 02822 ][correction]
Soitf:R+→Rdérivable.
a) Sif0est bornée surR+, montrer quefest uniformément continue surR+.
b) Si|f0(x)| →+∞quandx→+∞, montrer quefn’est pas uniformément
continue surR+.

Enoncés

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
En appliquant le théorème des accroissements finis àx7→x1xentrenetn+ 1, on
obtient
n+√1n+ 1−n√n= 1−c2lncc1c
avecc∈]n n+ 1[.
Puisquec∼n→+∞,lnc∼lnnet puisquec1c→1

n+1√n+ 1−n√n∼ −lnn
n2

Exercice 2 :[énoncé]
Appliquons le théorème des accroissements finis à la fonctionf−1entre
il existeykn∈k−n1kntel que
f−1kn−f−1k−n1= (f−1)0(ykn)k−nk−1
n

En posantxkn=f−1(ykn), on a

−k
kn16f(xn)n
k6

k−1etnk,
n

En sommant les relations précédentes pourkallant de 1 ànon obtient :

car

n
f−1(1)−f−1(0) =kX=1f0(x1kn)1n

(f−1)0(ykn) =f0(x1kn)

Puisquef−1(1) = 1etf−1(0) = 0carfC1difféomorphisme croissant de[01]sur
[01], on obtient finalement,
n1
X=
k=1f0(xkn)n

Exercice 3 :[énoncé]
a) Sif0est bornée surR+, l’inégalité des accroissements finis assure quefest
lipschitzienne donc uniformément continue.
b) Supposons quefsoit uniformément continue. Pourε= 1>0, il existe un réel
α >0vérifiant∀x y∈R,|y−x|6α⇒ |f(y)−f(x)|61. En particulier, pour
toutx∈R,|f(x+α)−f(x)|61Or par le théorème des accroissements finis, il.
existeξx∈]x x+α[vérifiant|f(x+α)−f(x)|=α|f0(ξx)|et donc
|f0(ξx)|61α. Cette propriété est incompatible avec|f0(x)| →+∞.

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