Sujet : Analyse, Equation aux dérivées partielles

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Fonctions de deux variables réelles.

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Equation aux dérivées partielles

Soit un ouvert non vide deℝ2etλ∈ℝ.
On note1(,ℝ) l’ensemble des fonctions réelles de classe1définies sur.
Pourλ∈ℝ, on considère l’équation aux dérivées partiellesλ:∂(,)+∂(,)=λ(,) .
∂∂
On noteλ() l’ensemble des fonctions réelles de classe1définies et solutions deλsur.


1.a
1.b
2.a

2.b

2.c

3.

3.a

3.b

Partie I Etude générale

Soitλ∈ℝ. Etablir queλ( un sous-espace vectoriel de) est1(,ℝ) .
Observer que les applications: (,)֏et: (,)֏appartiennent à1() .
Soitλ∈ℝet∈λ( classe) de2.
Montrer que∂et∂a.
∂∂ppartiennent àλ−1( )
Soitλ,∈ℝ.
Observer que si∈λ() et∈() alors∈θ() pour un réelθque l’on précisera en fonction
λet.
Soitλ∈ℝ,α∈ℝet∈λ( que) telle∀(,)∈ ,(,)>0 .
Montrer que la fonctionα: (,)֏((,)αappartient àαλ() .
Dans cette question =ℝ2−{(0, 0)}.
λ
Pourλ∈ℝ, on noteλ: →ℝla fonction définie parλ(,)=2+2.

Justifier queλ∈λ() .
A quelle condition surλ, peut-on prolongerλ (0,par continuité en ? 0)

Partie II Résolution sur =ℝ×ℝ+∗.

Dans cette partie =ℝ×ℝ+∗.
1.a Justifier queest un ouvert deℝ2.
1.b Justifier que l’applicationΦ: →ℝ2définie parΦ(,)= (,réalise une bijection desur lui-
même. Exprimer l’application réciproque deΦ.
2. Soit∈1(,ℝ) et: →ℝdéfinie par=Φ.
2.a Montrer queest de classe1et exprimer∂∂et∂∂en fonction de∂∂et∂∂.
2.b Justifier que∈λ() ssiest solution surde l’équation :∂∂(,)=λ(,) .
2.c Résoudre cette dernière et décrire∈0() .

Partie III Résolution deλsur =ℝ2−{(0, 0)}.

Dans cette partie =ℝ2−{(0, 0)}.
1. Soit∈1(,ℝ) .

1.a

1.b

1.c

2.

2.a

2.b

Soit (,)∈ fixé. Pour∈ℝ+∗, on poseϕ()(,) .
=
Justifier queϕest de classe1et calculerϕ′() .

Etablir :∈0()⇔ ∀(,)∈ ,∀>0,(,)=(,) .
En déduire que les solutions de0sursont les fonctions de la forme :
 
(,)֏ϕ2+2,2+2oùϕ∈1(,ℝ) .
   

Soit: →ℝ. Notons: →ℝdéfinie par(,)=

Montrer que∈λ()⇔∈0() .
Déterminer les fonctions solutions deλsur.

(,)

λ.
2+2

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