Sujet : Analyse, Equations différentielles, Equation linéaire du premier ordre

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equation linéaire du premier ordre Exercice 7 [ 01434 ] [correction] Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés 30a) chx.y −shx.

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Equation linéaire du premier ordre

Exercice 1[ 01541 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :

a)y0+ 2y=x2b)y0+y= 2 sinx
0
c)y−y= (x+ 1)exd)y0+y=x−ex+ cosx

Exercice 2[ 01543 ][correction]
Soitα∈R. Résoudre surI=R+?ouR−?l’équation différentielle

xy0−αy= 0

Exercice 3[ 01542 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :

a)(x2+ 1)y0+ 2xy+ 1 = 0b)(x2+ 1)y0−xy= (x2+ 1)32
c)(x2+ 1)y0+xy= 1d)(x2+ 1)2y0+ 2x(x2+ 1)y= 1

Exercice 4[ 01280 ][correction]
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés
a)(1 +ex)y0+exy= (1 +ex)surR
b)(ex−1)y0+exy= 1surR+?etR−?,
c)x(1 + ln2(x))y0+ 2 ln(x)y= 1surR+?

Exercice 5[ 01281 ][correction]
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés
a)√1 +x2y0−y= 1surR
c)√1−x2y0+y= 1sur]−11[
g)√x2−1y0+y= 1sur]1+∞[.

Exercice 6[ 01379 ][correction]
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés
a)(2 + cosx)y0+ sin(x)y= (2 + cosx) sinxsurR
b)(1 + cos2x)y0−sin 2xy= cosxsurR
c)y0sinx−ycosx+ 1 = 0sur]0 π[,
d)(sinx)3y0= 2(cosx)ysur]0 π[.

Enoncés

Exercice 7[ 01434 ][correction]
Résoudre les équations différentielles suivantes sur les intervalles précisés
0
a) chxy−shxy=sh3xsurR
b)y0−1+chsxhxy=shxsurR
c) sh(x)y0−ch(x)y= 1surR+?etR−?,

Exercice 8[ 01544 ][correction]
Former une équation différentielle linéaire d’ordre 1 dont les fonctions

seraient les solutions.

C+x
f(x) =x2
1 +

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)y(x) =21x2−12x+41+Ce−2x.
b)y(x) =−cosx+ sinx+Ce−x.
+Cex.
cd))yy((xx)==)xx2−12−+21xexex+21cosx+21sinx+C

Exercice 2 :[énoncé]

e−x
.

SurI,
xy0−αy= 0⇔y0=αy
x
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 1 homogène.
Zx x=αln|x|
αd

donc la solution générale de l’équation étudiée est

Exercice 3 :[énoncé]
a)y(x) =1C+−xx2
b)y(x) =√1 +x2(C+x)
c)y(x) =C√+xa2rg+s1hx
d)y(x)C+arctanx
=1+x2

Exercice 4 :[énoncé]
C+x+ex
a)y(x) =1+ex
=C+x
b)y(x)ex−1
+lnx
c)y(x) =(1C+ln2x)

y(x) =C|x|α

Exercice 5 :[énoncé]
a)y(x) =−1 +Ceargsh(x)=−1 +C(x+√1 +x2)
b)y(x) = 1 +Cearccosx
c)y(x) = 1 +Ce−argchx= 1 +x+√Cx−1
2

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
a)y(x) = (2 + cosx)(C−ln(2 + cosx))
b)y(x) =C+sinx
1+cos2x
c)y(x) =Csinx+ cosx
d)y(x) =Ce−1sin2x

Exercice 7 :[énoncé]
a)y(x) =ch2x+ 1 +Cchx
b)y(x) = (ln(1 +chx) +C)(1 +chx)
c)y(x) =Cshx−chx

Exercice 8 :[énoncé]
En exprimantCen fonction defet en dérivant, on peut proposer l’équation
suivante
(1 +x2)y0+ 2xy= 1

2

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