Sujet : Analyse, Equations différentielles, Equation linéaire du second ordre à coefficients constants

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Equation linéaire du second ordre à coefficients Exercice 6 [ 01551 ] [correction] 2 00 0Déterminer les couples (a,b)∈R tels que toute solution de y +ay +by = 0 soitconstants +bornée surR . Exercice 1 [ 01549 ] [correction] Résoudre surR les équations différentielles suivantes : Exercice 7 [ 01555 ] [correction] 00 0 +a) y + 2y + 2y = 2x Soit p :R→R une fonction continue non nulle. 00 2 00b) y +y =x + 1 On se propose de montrer que les solutions surR de l’équation y +p(x)y = 0 00 0 2c) y − 3y + 2y = 2x s’annulent. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose que f est une solution ne s’annulant pas. a) Justifier que f est de signe constant.Exercice 2 [ 01450 ] [correction] Quitte à considérer−f au lieu de f, on peut supposer∀x∈R,f(x)> 0.Résoudre surR les équations différentielles suivantes : 0000 0 x b) Etudier le signe de f .a) y + 2y +y =xe 00 0 x c) Soit a∈R quelconque. Quelle est l’équation de la tangente à f en a?b) y +y − 2y =xe 00 0 −x d) Montrer que le graphe de f est en dessous de sate en a.c) y + 2y + 2y = (x + 1)e 0e) En déduire que f (a) = 0 et conclure.
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Equation linéaire du second ordre
constants

Exercice 1[ 01549 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :
a)y00+ 2y0+ 2y= 2x
b)y00+y=x2+ 1
c)y00−3y0+ 2y= 2x2

Exercice 2[ 01450 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :
a)y00+ 2y0+y=xex
b)y00+y0−2y=xex
c)y00+ 2y0+ 2y= (x+ 1)e−x

Exercice 3[ 01460 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :
a)y00+y=shx
b)y00−3y0+ 2y=xchx
c)y00−2y0+y= 2chx

Exercice 4[ 01435 ][correction]
Résoudre surRles équations différentielles suivantes :
a)y00+ 2y0+ 2y= sinx
b)y00+y=xsinx
c)y00+y= 2 cos2x

Exercice 5[ 01550 ][correction]
Soientωetω0deux réels strictement positifs et distincts.
Trouver les solutions de l’équation différentielle

y00+ω2y= cos(ω0x)

vérifiant les conditions initialesy(0) = 1ety0(0) = 0.

à

Enoncés

coefficients

Exercice 6[ 01551 ][correction]
Déterminer les couples(a b)∈R
bornée surR+.

1

2tels que toute solution dey00+ay0+by= 0soit

Exercice 7[ 01555 ][correction]
Soitp:R→R+une fonction continue non nulle.
On se propose de montrer que les solutions surRde l’équationy00+p(x)y= 0
s’annulent.
Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose quefest une solution ne
s’annulant pas.
a) Justifier quefest de signe constant.
Quitte à considérer−fau lieu def, on peut supposer∀x∈R f(x)>0.
b) Etudier le signe def00.
c) Soita∈Rquelconque. Quelle est l’équation de la tangente àfena?
d) Montrer que le graphe defest en dessous de sa tangente ena.
e) En déduire quef0(a) = 0et conclure.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)y(x) =x−1 + (C1cosx+C2sinx)e−x
b)y(x) =x2−1 +C1cosx+C2sinx
c)y(x) =x2+ 3x+27+C1ex+C2e2x

Exercice 2 :[énoncé]
a)y(x) =x1−4 1ex+−(2Cx1)xex++C2C)e−x
b)y(x) =18(3x21ex+C2e−2x
c)y(x) = (x+ 1)e−x+ (C1cosx+C2sinx)e−x

Exercice 3 :[énoncé]
a)y(x) =12sh(x) +C1cosx+C2sinx
e+C1ex+C2e2x.
cb))yy((xx)==)21−x2e14xx2++41e21−xxe+x(+C1x112+xC+2)75e2x.−x

Exercice 4 :[énoncé]
1C1cosx+C2sinx)e−x
ba))yyy(((xxx=)1=))=14−x25sc1inosxx−+514xs2coinxsx+(+C1sinx+C2cosx
c)−3cos 2x+C1cosx+C2sinx

Exercice 5 :[énoncé]
Solution générale

0x)
y(x) = cωo2s(−ωω20+C1cos(ωx) +C2sin(ωx)

Solution vérifiant les conditions initiales

y(x cos() =ω0x)−c2os(ωx c) +
ω2−ω0os(ωx)

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
PosonsΔ =a2−4bdiscriminant de l’équation caractéristiquer2+ar+b= 0.
SiΔ>0alors les solutions dey00+ay0+by= 0seront bornées surR+si, et
seulement si, les deux solutions de l’équationr2+ar+b= 0sont négatives i.e.
a>0(opposé de la somme des racines) etb>0(produit des racines).

2

SiΔ = 0alors les solutions dey00+ay0+by= 0seront bornées surR+si, et
seulement si,a >0.
SiΔ<0alors les solutions dey00+ay0+by= 0seront bornées surR+si, et
seulement si, elles sont de parties réelles négatives i.e.a>0.
Au final les solutions dey00+ay0+by= 0sont bornées surR+si, et seulement si,
a b>0et(a b)6= (00).

Exercice 7 :[énoncé]
a)fest continue, sifn’est pas de signe constant alorsfs’annule.
b)∀x∈R f00(x) =−p(x)f(x)60.
c)y=f0(a)(x−a) +f(a).
d) Considéronsg:R→Rdéfinie parg(x) =f(x)−(f0(a)(x−a) +f(a)).
gest dérivable etg0(x) =f0(x)−f0(a). Orf0est décroissante, on peut donc
dresser le tableau de variation deget puisqueg(a) = 0, constater
∀x∈R g(x)60.
e) Sif0(a)6= 0alorsfétant en dessous de sa tangente prend des valeurs
négatives, impossible.
On en déduit que∀a∈R f0(a) = 0doncfest constante etf00= 0.
Pour quefvérifie l’équationy00+p(x)y= 0(sachantp6= 0) il est nécessaire quef
soit constante égale à 0. C’est absurde.

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