Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation linéaire scalaire d'ordre 1

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Equation linéaire scalaire d’ordre 1 Exercice 7 [ 03109 ] [correction] Soient α un complexe de partie réelle strictement positive et une application de 1 0classeC telle que f +αf tend vers 0 en +∞.Exercice 1 [ 00376 ] [correction] Montrer que f tend vers 0 en +∞.Résoudre les équations différentielles suivantes : 0 xa) y −y = sin(2x)e 20 −xb) y +2xy = 2xe Exercice 8 [ 03505 ] [correction]0c) y +ytanx = sin2x sur ]−π/2,π/2[ On considère l’équation 0(E) : (1−x)y −y =g où g : ]−1,1[→R est donnée.Exercice 2 [ 00382 ] [correction] a) Résoudre l’équation homogène associée.Résoudre sur ]1,+∞[ l’équation différentielle b) On suppose que la fonction g est développable en série entière x0y − y = 2x 2 +∞x −1 X ng(x) = b xn n=0 Exercice 3 [ 00377 ] [correction] de rayon de convergence R> 1. Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants : Montrer que (E)admet au moins une solution développable en série entière en 0, 0a) y −(x+1)(y+1) = 0 et y(0) = 1 2 0 +∞b) (1+x )y −(x+1)y = 2 et y(0) =−1. X ny(x) = a xn n=0 0Exercice 4 [ 00379 ] [correction] de rayon de convergence R > 1 et exprimer les a en fonction de b pour toutn n Trouver toutes les applications f :R→R dérivables en 0 telles que : n∈N. 2 x y∀(x,y)∈R ,f(x+y) = e f(y)+e f(x) Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 03620 ] [correction] a) Montrer que l’équation différentielle Exercice 5 [ 00380 ] [correction] 0+ y −y =fSoit a :R →R continue et intégrable.
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Equation linéaire scalaire d’ordre

Exercice 1[ 00376 ][correction]
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a)y0−y= sin(2x)ex
b)y0+ 2xy= 2xe−x2
c)y0+ytanx= sin 2xsur]−π2 π2[

Exercice 2[ 00382 ][correction]
Résoudre sur]1+∞[l’équation différentielle
y0−2x1y= 2x
x−

1

Exercice 3[ 00377 ][correction]
Déterminer les solutions, s’il en existe, des problèmes de Cauchy suivants :
a)y0−(x+ 1)(y+ 1) = 0ety(0) = 1
b)(1 +x2)y0−(x+ 1)y= 2ety(0) =−1.

Exercice 4[ 00379 ][correction]
Trouver toutes les applicationsf:R→Rdérivables en 0 telles que :

∀(x y)∈R2 f(x+y) =exf(y) +eyf(x)

Enoncés

Exercice 5[ 00380 ][correction]
Soita:R+→Rcontinue et intégrable.
Etablir que les solutions de l’équation différentielley0−a(t)y= 0sont bornées sur
R+.

Exercice 6[ 00381 ][correction]
a) Soith:R→Ccontinue de limite nulle en+∞. Montrer que les solutions de
l’équation différentielley0+y=hconverge vers 0 en+∞.
b) Soitf:R→Cde classeC1. On suppose quef+f0−+−∞→`. Montrer que
f−−→`.
+∞

Exercice 7[ 03109 ][correction]
Soientαun complexe de partie réelle strictement positive et une application de
classeC1telle quef0+αftend vers 0 en+∞.
Montrer queftend vers 0 en+∞.

Exercice 8[ 03505 ][correction]
On considère l’équation
(E) : (1−x)y0−y=g

oùg: ]−11[→Rest donnée.
a) Résoudre l’équation homogène associée.
b) On suppose que la fonctiongest développable en série entière

+∞
g(x) =Xbnxn
n=0

de rayon de convergenceR>1.
Montrer que(E)admet au moins une solution développable en série entière en 0,

+∞
y(x) =Xanxn
n=0

de rayon de convergenceR0>1et exprimer lesanen fonction debnpour tout
n∈N.

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 03620 ][correction]
a) Montrer que l’équation différentielle

y0−y=f

avecf:R→Ccontinue et2π-périodique admet une unique solution bornée.
b) Est-elle périodique ?
c) Donner ses coefficients de Fouriercnen fonction de ceux defet étudier la
convergence dePcn.

Exercice 10CCP MP[ 03782 ][correction]
Résoudre sur]−π2 π2[

2
y0(x)−tan(x)y+ (cosx) = 0

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a)y(x) = (C+ sin2x)ex
b)y(x) = (x2+C)e−x2
c)y(x) =Ccosx−2 cos2x

Exercice 2 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire du premier ordre.
Solution homogène :y0(x) =C√x2−1.
Par variation de la constante, solution particulièrey1(x) = 2(x2−1).
Solution générale :y(x) =C√x2−1 + 2(x2−1).

Exercice 3 :[énoncé]
a) Solution de l’équation homogène surR:y(x) =Ce21(x+1)2avecC∈R.
Solution particulière surR:y0(x) =−1.
Solution générale surR

Corrections

y(x) =Ce21(x+1)2−1avecC∈R
On auray(0) = 1si, et seulement si,C= 2√e.
b) Solution de l’équation homogène surR:y(x) =C√x2+ 1earctanxavecC∈R
Solution particulière surR:y0(x) =x−1après recherche de solution de la forme
ax+b.
Solution générale surR
y(x) =Cpx2+ 1earctanx+x−1avecc∈R

On auray(0) =−1si, et seulement si,C= 0.

Exercice 4 :[énoncé]
Soitfune solution.
Pourx=y= 0on obtientf(0) = 0.
De plus

f(x+h)−f(x)exf(h) +ehfh(x)−f(x=)exf(h)h−f+)0(ehh−1f(x)
=
h
donc
f(x+hh)−f(x)h−→−0→exf0(0) +f(x)

Par suitefest dérivable enxetf0(x) =f0(0)ex+f(x).
La fonctionfest alors solution d’une équation différentielle de la forme
y0=y+Cexvérifiant la condition initialey(0) = 0.
Après résolution, on obtient
f(x) =Cxex

Inversement, de telles fonctions sont solutions.

2

Exercice 5 :[énoncé]
La solution générale de l’équation étudiée esty(t) =λeA(t)avecA(t) =R0ta(u)du.
Or pour toutt>0,|A(t)|6R0t|a(u)|du6R0+∞|a(u)|dudoncyest bornée.

Exercice 6 :[énoncé]
a) La solution générale de l’équation différentielley0+y=hest
y(x) =λ+Z0xh(t)etdte−x

Pour toutε >0, il existeA∈Rtel que

On a alors

∀x>A|h(t)|6ε

y(x) =λ+Z0Ah(t)etdt!e−x+ZAxh(t)et−xdt
avec
ZAxh(t)et−xdt6εetλ+Z0Ah(t)etdt!e−x−−−−→0
x→+∞
b) Posonsh=f0+f−`.f−`est solution de l’équation différentielley0+y=h
doncf−`−+−→0puisf−−→`.
∞+∞

Exercice 7 :[énoncé]
Posonsg=f0+αf. La fonctionfest solution de l’équation différentielle.

y0+αy=g

La solution générale de cette équation différentielle est
y(x) =λe−αx+Z0xg(t)eα(t−x)dt

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Ainsi, on peut écrire

f(x) =λe−αx+Z0xg(t)eα(t−x)dt

Il est immédiat queλe−αx→0quandx→+∞car Reα >0.
Etudions maintenant la limite du terme intégral.
Soitε >0. Puisque la fonctiongtend vers 0 en+∞, il existeA>0tel que
∀t>A|g(t)|6ε
On a alors pour toutx>A
x
Zg(t)eα(t−x)dt=Z0Ag(t)eα(t−x)dt+ZAxg(t)eα(t−x)dt
0
avec
Z Z

et

x x x)dt6Reε)heRe(α)(t−x)ix6Reε(α
g(t)eα(t−x)dtRe(α)(t−
A6Aε(eαA)

Z0Ag(t)eα(t−x)dt=Z0Ag(
t)eαtdte−Re(α)x=Ctee−Re(α)x

Pourxassez grand on a alors
Zx(t)eα(t−x)dt ε
6
0gRe(α) +ε
AinsiR0xg(t)eα(t−x)dtx→+∞0puisfx→+∞
−−−−→(x)−−−−→0.

−−−−→0
x→+∞

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
a) C’est une équation différentielle linéaire. La solution générale homogène est

x) =λ
y1(−x

b) Analyse :
Supposonsysomme d’une série entièrePanxnde rayon de convergenceR0>1
solution sur]01[de l’équation(E). Pourx∈]01[, on a

+∞+∞
y0(x) =Xnanxn−1=X(n+ 1)an+1xn
n=1n=0

et donc

+∞+∞
(1−x)y0(x) +y(x) =X[(n+ 1)(an+1−an)]xn=Xbnxn
n=0n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on obtient

∀n∈Nn+bn
an+1=an+ 1

et donc
n−1b
∀n∈N? an=a0+kX=0k+k1
Synthèse :
Considérons la suite(an)n∈N?déterminée para0= 0et

n−1
∀n∈N? an=X0kb+k1
k=

Pour|x|<1, on a
|6X
|anxnn−1|kbk|+|x1|n6nk−X10|bk| |x|k
k=0 =
Or la sériePbnxnest absolument convergente (carR>1) et donc la suite
(anxn)est bornée.
On en déduit que le rayon de convergenceR0de la série entièrePanxnvérifie
R0>1et les calculs qui précède assure que sa somme est solution sur]−11[de
l’équation étudiée.

Exercice 9 :[énoncé]
a) La solution générale de l’équation étudiée est
y(x) =λ+Z0xf(t)e−tdtexavecλ∈C

Si cette solution est bornée alors on a nécessairement
+Zxe−tdtx−→−+−−∞→0
λ f(t)
0

et donc

λ=−Z+∞f(t)e−tdt
0

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Inversement, l’intégrale précédente converge assurément car

f(t)e−t6Me−tavecM= sup|f|
[02π]

et la fonction donnée par
y(x) =−Zx+∞f(t)e−tdtex
est solution de l’équation étudiée et elle est de plus bornée car
+∞
|y(x)|6ZMe−tdte =M
x
x

b) La solution précédente est périodique car

y(x+2π) =Zx++2∞πf(t)e−tdtex+2π=Z+f(u+ 2π)e−u−2πdu
x

puisque la fonctionfest2π-périodique.
c) Puisquey0−y=fet quecn(y0) =incn(y)on a

(in−1)cn=cn(f)

Corrections

ex+2π=y(x)

Puisque la fonctionyest de classeC1, sa série de Fourier converge normalement
vers elle-mme et en particulierPcnconverge avec
+∞
n+X∞∞cn=y(0) =Zf(t)e−tdt
=−0

Exercice 10 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire de solution générale homogène

y(x) = coλsx
L’application de la méthode de la variation de la constante amène à déterminer
Zcos3xdx=Zcosxdx−Zcosxsin23
xdx= sinx−ni1s3x

Au final, on obtient la solution générale

y(x) =

31sin3x−sinx+λ
cosx

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