Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Equation linéaire scalaire d'ordre 2

Publié par

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Equation linéaire scalaire d’ordre 2 Exercice 7 [ 01319 ] [correction] Soit l’équation différentielle Exercice 1 [ 00395 ] [correction] 00 0 3E :xy + 3y − 4x y = 0 Résoudre surR l’équation différentielle 2 00 a) Chercher une solution non nulle y développable en série entière au voisinage1(t + 1)y − 2y =t de 0 et non nulle. Préciser le rayon de convergence puis exprimer y (x) à l’aide des fonctionsen commençant par rechercher les polynômes solutions. 1 usuelles, pour x∈ ]0, +∞[ b) Trouver une solution y de E sur ]0, +∞[ non colinéaire à y .2 1 Exercice 2 [ 00396 ] [correction] c) Décrire l’ensemble des solutions de E sur ]0, +∞[. Résoudre surR l’équation 2 2 00 2 0 2 2(1 +t ) y (t)− 2t(1 +t )y (t) + 2(t − 1)y(t) = (1 +t ) Exercice 8 [ 01016 ] [correction] a) Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équationOn pourra commencer par rechercher une solution polynomiale de l’équation différentiellehomogène. 00 0y + 2xy + 2y = 0 b) Exprimer parmi celles-ci celles dont la somme est une fonction paire. Exercice 3 [ 00397 ] [correction] +?Résoudre surR l’équation 3 00 0 Exercice 9 [ 00404 ] [correction]t y +ty −y = 0 a) Résoudre surR l’équation 2 00 0(1 +t )y (t) + 4ty (t) + 2y(t) = 0 Exercice 4 [ 00398 ] [correction] +?Résoudre surR l’équation en recherchant les séries entières solutions.
Licence : En savoir +
Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
Nombre de pages : 9
Voir plus Voir moins

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Equation linéaire scalaire d’ordre 2

Exercice 1[ 00395 ][correction]
Résoudre surRl’équation différentielle

(t2+ 1)y00−2y=t

en commençant par rechercher les polynômes solutions.

Exercice 2[ 00396 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(1 +t2)2y00(t)−2t(1 +t2)y0(t) + 2(t2−1)y(t) = (1 +t2)

On pourra commencer par rechercher une solution polynomiale de l’équation
homogène.

Exercice 3[ 00397 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation
t3y00+ty0−y= 0

Exercice 4[ 00398 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation

Exercice 5[ 00400 ][correction]
Résoudre sur]01[l’équation

t2y00+ty0−y= 1

x(1−x)y00+ (1−3x)y0−y= 0

en commençant par rechercher une solution développable en série entière.

Exercice 6[ 00401 ][correction]
Résoudre sur]−11[l’équation

4(1−t2)y00(t)−4ty0(t) +y(t) = 0

en recherchant les fonctions développables en série entière.

Enoncés

Exercice 7[ 01319 ][correction]
Soit l’équation différentielle

E:xy00+ 3y0−4x3y= 0

a) Chercher une solution non nulley1développable en série entière au voisinage
de 0 et non nulle.
Préciser le rayon de convergence puis exprimery1(x)à l’aide des fonctions
usuelles, pourx∈]0+∞[
b) Trouver une solutiony2deEsur]0+∞[non colinéaire ày1.
c) Décrire l’ensemble des solutions deEsur]0+∞[.

Exercice 8[ 01016 ][correction]
a) Déterminer les séries entières solutions au voisinage de 0 de l’équation
différentielle
y00+ 2xy0+ 2y= 0

b) Exprimer parmi celles-ci celles dont la somme est une fonction paire.

Exercice 9[ 00404 ][correction]
a) Résoudre surRl’équation

(1 +t2)y00(t) + 4t y0(t) + 2y(t) = 0

en recherchant les séries entières solutions.
b) Résoudre ensuite

(1 +t2)y00(t) + 4t y0(t) + 2y(t)=11+t2

Exercice 10Centrale MP[ 02455 ][correction]
a) Résoudre l’équation différentielle

y00+y= cos(nt)
b) SoitPanune série absolument convergente.
Résoudre l’équation différentielle

+∞
y00+y=Xancos(nt)
n=0

1

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 11Mines-Ponts MP[ 02891 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(x2+ 1)y00+xy0−y= 0

Exercice 12Mines-Ponts MP[ 02892 ][correction]
Déterminer les fonctionsf:R+?→Rdérivables telles que

∀x >0 f0(x) =f(1x)

Exercice 13[ 03240 ][correction]
Soitα >0. Résoudre surI= ]0+∞[l’équation différentielle

Eα:x2y00(x) +xy0(x)−α2y(x) = 0

On pourra étudier les fonctions propres de l’application

ϕ:y(x)7→xy0(x)

Exercice 14[ 03504 ][correction]
Résoudre sur]01[l’équation différentielle

x2(1−x)y00−x(1 +x)y0+y= 0

Exercice 15[ 03506 ][correction]
Déterminer la dimension de l’espace
E=y∈ C2(RR)∀x∈R y00(x) +y(x) =y(0) cos(x)

Exercice 16[ 03508 ][correction]
Résoudre sur]0+∞[l’équation différentielle

xy00(x) + 2y0(x)−xy(x) = 0

en posanty(x) =xαz(x)avecα∈Rbien choisi.

Enoncés

Exercice 17CCP MP[ 03293 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

x
(1−x2)y00−3xy0−y=√
1−x2

(on pourra vérifier que l’applicationx7→√11−x2est solution de l’équation
homogène associée)

Exercice 18CCP MP[ 02573 ][correction]
En indiquant les hypothèses nécessaires, effectuer le changement de variable
u=ϕ(t)dans l’équation différentielle

(1 +t2)x00+tx0+a2x= 0

tel qu’elle devienne une équation à coefficients constants et la résoudre.

Exercice 19CCP MP[ 02540 ][correction]
On veut résoudre

(E) : (x+ 1)y00−(3x+ 4)y0+ 3y= (3x+ 2)e3x

SiΔest l’opérateur de dérivation etQ(X) =X−3, on aQ(Δ)(y) =y0−3y.
Montrer l’existence d’un polynômePde la formea(x)X+b(x)tel que(E)
devienne
(P(Δ)◦Q(Δ)) (y) = (3x+ 2)e3x

Résoudre l’équation à l’aide du changement de variablez=Q(Δ)(y).

Exercice 20CCP MP[ 02528 ][correction]
a) Montrer qu’il existe une solutionhde l’équation

xy00+y0+y= 0

développable en série entière et vérifianth(0) = 1.
b) Montrer quehne s’annule qu’une fois sur]02[.

2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
(t2+ 1)y00−2y= 0.y1(t) =t2+ 1est solution surR.
Méthode de Lagrange : Cherchons une solutiony2(t) =λ(t)y1(t).
On obtientλ00(t) +t2+4t1λ0(t) = 0qui donneλ0(t) =(t2C+1)2.
R(t2d+t1)2=21arctant+12t2t+1+Cetλ(t) = arctant+t2t+1convient ce qui donne
y2(t) = (t2+ 1) arctant+t.
AinsiS0=t7→λ(t2+ 1) +µ((t2µ∈R.
y(t) =−21test solution particulière+d1o)nacrctant+t)λ
S=t7→λ(t2+ 1) +µ((t2+ 1) arctant+t)−12tλ µ∈R

Exercice 2 :[énoncé]
Siyest un polynôme unitaire de degrénsolution de l’équation homogène, le
coefficient detn+2dans le premier membre de l’équation est :

n(n−1)−2n+ 2 =n2−3n+ 2 = (n−2)(n−1)

et donc nécessairementn62.
Poury(t) =at2+bt+c, le premier membre de l’équation devient :

2a(1 +t2)2−2t(2at+b)(1 +t2) + 2(t2−1)(at2+bt+c) = (2c−2a)t2−4bt+ (2a−2c)

d’oùa=cetb= 0
Finalementy1(t) =t2+ 1est solution particulière.
En vertu de la méthode de Lagrange, résolvons l’équation complète en procédant
au changement de fonction inconnue

y(t) =λ(t)y1(t)

Soienty:R→Rune fonction deux fois dérivable etλ:R→Rla fonction définie
par
λ(t) =y(t)
1 +t2
de sorte quey(t) =λ(t)y1(t). La fonctionλest deux fois dérivable.
Après calculs, on obtient queyest solution de l’équation différentielle étudiée si,
et seulement si,
(1 +t2)3λ00(t) +t(1 +t2)2λ0(t) = (1 +t2)
Après résolution de cette équation d’ordre 1 en l’inconnueλ0, on obtient

λ+ a
λ0(t=+)(1rctt2)nat

puis
λ(t) =µ+λarctantn+12(arctat)2
Finalement la solution générale de l’équation étudiée est

y(t) =λ(1 +t2) arctant+µ(1 +t2+(112)+t2) (arctant)2

Exercice 3 :[énoncé]
En recherchant les fonctions polynomiales solutions on obtient :y(t) =tsolution
particulière.
On posey(t) =tz(t)et on parvient à l’équation

t4z00+t2(2t+ 1)z0= 0

z(t) = e1tpuisy(t) =te1tconviennent.
Solution générale
y(t) =λte1t+µt

Exercice 4 :[énoncé]
Solution particulièrey(t) =−1.
Résolvons l’équation homogènet2y00+ty0−y= 0.
En recherchant les fonctions polynomiales solutions on obtient :y(t) =tsolution
particulière.
0
On posey(t) =tz(t)et on parvient à l’équationt3z00+ 3t2z= 0.
z(t) =t12puisy(t) =t1conviennent.
Solution générale homogène :y(t) =tλ+µt
Solution générale :y(t) =tλ+µt−1

Exercice 5 :[énoncé]
Soityla somme de la série entièrePanxnde rayon de convergenceRsupposé
>0.
+∞
x(1−x)y00+ (1−3x)y0−y=X(n+ 1)2(an+1−an)xn
n=0
On en déduity(x) =1 1−xsolution de l’équation étudiée.
On pose ensuitey(x) =1z(−xx)aveczdeux fois dérivable.
On obtient
xz00+z0= 0

3

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

z(x) = ln(x)puisy(x) =nl1−xxconviennent.
Solution générale sur]01[
λln(x) +µ
y(x) =
1−x

Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
Soityla somme de la série entièrePantnde rayon de convergenceRsupposé>0.
+∞
4(1−t2)y00(t)−4ty0(t) +y(t) =P 4(n+ 2)(n+ 1)an+2−(4n2−1)antndonc
n=0
yest solution de l’équation étudiée si, et seulement si,
∀n∈N an+(n(−n+112)()(nn++2)12)an
2=
donc12p2!a0eta2p+1=2p12+1!a1.
a2p=
Or personne, oh non personne, n’ignore que
+∞1n2!tnet√1−t=+∞)n1n2!
√1 +t=X X(−1tn
n=0n=0
avec un rayon de convergence égal à 1.
En prenanta0=a1= 1, on obtient la fonctiont√→71 +t.
En prenanta0= 1eta1=−1, on obtientt→7√1−t.
Ces deux fonctions sont solutions de l’équation étudiée (carR= 1) et, étant
indépendantes, elles constituent un système fondamental de solutions. La solution
générale s’exprime
y(t) =λ√1 +t+µ√1−t

Exercice 7 :[énoncé]
a) SoitPanxnsérie entière de rayon de convergenceune R >0et de sommey1
sur]−R R[.
Pour toutx∈]−R R[, on a

+∞
xy00(x)+3y0(x)−4x3y(x) = 3a1+8a2x+21a3x2+X((n+ 1)(n+ 3)an+1−4an−3)xn
n=3
Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, on peut affirmer
queyest solution deEsur]−R R[si, et seulement si,
a1=a2=a3= 0
4
−3
∀n>3 an+1=(n+ 1)(n+ 3)an

4

Posonsa0= 1et pour toutp∈N?,a4p=2p(12p+1)a4(p−1), les autresannuls.
Ainsi
1
a4p(2=p+ 1)! a4p+1=a4p+2=a4p+3= 0
La série entière correspondante est de rayon de convergenceR= +∞et sa somme

+∞4p
y1:x7→Xx1
n=0(2p+ )!

est solution surRde l’équation différentielleEen vertu des calculs qui précèdent.
Pourx6= 0,
y1(x) =x12+X∞(x2)2p+1! =shx(2x2)
n=0(2p+ 1)
b) En vertu de la méthode de Lagrange, on recherchey2de la forme

y2(x) =λ(x)y1(x)

avecλfonction deux fois dérivable non constante.
Par calculs, on obtient quey2est solution de l’équation différentielleEsi, et
seulement si,
λ00(x) =1x−4xhshc((xx22))λ0(x)
Après résolution
x

puis

λ0(x) =h2convient
s(x2)

λ(x) =−21chsh((xx22))convient

Finalement
x2
y2−ch( )
(x 2) =x2
est aussi une solution deEsur]0+∞[et celle-ci n’est pas colinéaire à la
précédente.
En jouant avec les facteurs multiplicatifs, on peut aussi prendre, et c’est plus
élégant,
y2(x) =chx(x22)
c)Eest une équation différentielle linéaire d’ordre 2 homogène résolue eny00sur
]0+∞[.

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

Les solutions indépendantesy1ety2forment donc un système fondamental de
solutions permettant d’exprimer la solution générale deE

2 2)
y(x) =λ1sh(x)x+2λ2ch(x

Exercice 8 :[énoncé]
a) Analyse : SoitPanxnsérie entière de rayon de convergenceune R >0et de
sommeS.
La fonctionSest solution sur]−R R[de l’équation différentielle
Sur]−R R[,

+∞
S00(x) + 2xS0(x) + 2S(x) =X((n+ 2)(n+ 1)an+2+ 2(n+ 1)an)xn
n=0

Par conséquent,Sest solution de l’équation différentielle

si, et seulement si,

ce qui donne

y00+ 2xy0+ 2y= 0

−2
∀n∈N an+2=n+ 2an

a2p= (−p1)!pa0eta2p+1(=2(p−)11+p2)p3a1((=−2p+)1p14p)p!!a1
Synthèse : SoitPanxnla série entière déterminée par les coefficients
précédemment proposés.
Une telle série entière est de rayon de convergenceR= +∞cara2p=O(1p!)et
a2p+1=O(4pp!).
De plus par les calculs ci-dessus elle est solution de l’équation différentielle
proposée surR.
b) Les solutions paires sont obtenue poura2p+1= 0. Cela donne

∀x∈R S(x) =a0e−x2

Exercice 9 :[énoncé]
+∞
a) Soity(t) =Pantnune série entière solution de rayon de convergenceR >0.
n=0

Sur]−R R[, la fonctionyest de classeC∞et

+∞+∞+∞
y(t) =Xantn,y0(t) =Xnantn−1ety00(t) =Xn(n−1)antn−2
n=0n=0n=0

de sorte que

+∞
(1 +t2)y00(t) + 4t y0(t) + 2y(t) =X(n+ 2)(n+ 1)(an+2+an)tn
n=0

Par unicité des coefficients d’un développement en série entière, la fonctionyest
solution de l’équation étudiée sur]−R R[si, et seulement si,

ce qui donne

et on obtient

∀n∈N an+2=−an

∀p∈N a2p= (−1)pa0eta2p+1= (−1)pa1

5

y(+∞+∞0+a1t
t) =a0X(−1)pt2p+a1X(−1)pt2p+1=at
p=0p=01 +2
Puisque la série entière écrite est de rayon de convergenceR>1, on peut assurer
que les fonctions proposées sont solutions sur]−11[à l’équation étudiée. Cela
fournit un système fondamental de solutions sur]−11[qu’il suffit de réinjecter
dans l’équation pour affirmer que ces fonctions forment aussi un système
fondamental de solution surR.
Puisque l’espace des solutions de cette équation homogène est de dimension 2, on
peut conclure que la solution générale est

y(t) =λ1++tµ2t

b) La méthode de variation des constantes nous amène à recherche une solution
particulière
(t)t
y(t) =λ(t)++1µt2
avecλetµfonctions dérivables solution du système
1λ0(+tt)2+µ0(t)t0
=
1 +t2
−1(2t+λ0t(2t))2+µ0((t)(11+t2−)t22=(1+1)t2)2

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

On obtientλ0(t) =−1+tt2etµ0(t) =11+t2puis
y(t) =t1rcantat−+ltn2√1 +t2

Cette solution particulière permet ensuite d’exprimer la solution générale.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Sin= 1alors l’équation a pour solution générale
y(t) =Acost+Bsint12+tsint
Sin6= 1alors l’équation a pour solution générale

y(t) =Acost+Bsint1+−1n2cos(nt)

b) Soit
+∞
an
f(t) =a0+a21tsint+X1−n2cos(nt)
n=2
Sans difficultés, on peut dériver deux fois sous le signe somme car il y a
convergence normale de la série des dérivées secondes et convergence simple
intermédiaire. On peut alors conclure quefest de classeC2et solution de
l’équation différentielle étudiée. La solution générale de celle-ci est alors

y(t) =Acost+Bsint+f(t)

Corrections

Exercice 11 :[énoncé]
L’espace des solutions est de dimension 2.y(x) =xest solution immédiate. Par la
méthode de Lagrange (et quelques déterminations de primitives non triviales) on
obtient aussiy(x) =√x2+ 1ce qui fournit un système fondamental de solutions

Exercice 12 :[énoncé]
Soitfune fonction solution.fest dérivable et

f0(x) =f(1x)

doncf0est encore dérivable. La fonctionfest donc deux fois dérivable avec
f00(x) =−x12f0(1x) =−x12f(x)

La fonctionfapparaît alors comme étant solution surR+?de l’équation
différentielle
E:x2y00+y= 0

Ed’Euler. Réalisons le changement de variableest une équation différentielle
t= lnx.
Soienty:R+?→Rdeux fois dérivable etz:R→Rdéfinie par

zest deux fois dérivable et

z(t) =y(et)

y(x) =z(lnx)
y0(x) =x1z0(lnx)
y00(x) =−x12z0(lnx) +x12z00(lnx)
yest solution surR+?deEsi, et seulement si,zest solution surRde

F:z00−z0+z= 0

Fest un équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants
homogène de solution générale
z(x) =λco√3xin√23xx2
s 2 +µse

La solution générale deEsurR+?est donc
y(x) =√xλco√3 lnx+√ln32x
s2µsin

Revenons à la fonctionf. Il existeλ µ∈Rtelles que
f(x) =√xλcos√2ln3x+µsin√3l2nx

On a alors
f0(x 1 2) =√x(λ+µ√3) cos√3ln2x+ (µ−λ√3) sin√3nl2x

et donc

f0(x) =f(1x)⇔(λλ√+3µ√3 = 2λ⇔λ=µ√3
−µ= 2µ

6

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Finalement, les solutions sont les fonctionsfdonnées par
∀x∈R f(x) =C√xcos√32lnx−6πavecC∈R

Exercice 13 :[énoncé]
Soitλ∈R. En résolvant surIl’équation différentielle

xy0(x) =λy(x)

Corrections

on obtient quex7→xλest une fonction propre de l’applicationϕ. Pour une telle
fonction, on a
xy0(x) =λy(x)
donc en dérivant

xy00(x) +y0(x)−λy0(x) = 0

puis
x2y00(x) +xy0(x)−λ2y(x) = 0
On en déduit que les fonctionsx7→xαetx7→x−αsont solutions surIde
l’équation différentielleEα. Or cette équation est une équation différentielle
linéaire d’ordre 2 homogène résolue eny00, son ensemble solution est donc un plan
vectoriel. Puisque les deux précédentes fonctions sont des solutions indépendantes,
elles constituent une base de ce plan vectoriel.
La solution générale deEαest donc

y(x) =λxα+µx−αavecλ µ∈R

Exercice 14 :[énoncé]
SoitPanxnune série entière de rayon de convergenceR >0et de sommeysur
]−R R[
Pour toutx∈]−R R[, on a

+∞
x2(1−x)y00−x(1 +x)y0+y=a0+Xn2(an+1−an)xn
n=1

La fonctionyest donc solution de l’équation différentielle étudiée si, et seulement
si,
a0= 0et∀n∈N? an+1=an
Inversement, en considérant la fonctiony:x7→1−xx, on obtient une fonction
développable en série entière avec un rayon de convergenceR= 1et les calculs qui
précèdent assure queyest solution sur]−11[de l’équation étudiée.

Déterminons ensuire une solution linéairement indépendante de la forme

z(x) =x1λ−(xx)avecλfonction deux fois dérivable

Après calculs, la fonctionzest solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

xλ00(x) +λ0(x) = 0

λ0(x) = 1xpuisλ(x) = lnxconviennent.
Ainsix7→x1l−nxxest une solution linéairement indépendante de la précédente.
Enfin puisque l’équation étudiée est linéaire d’ordre 2 et que le facteur devanty00
ne s’annule pas, on dispose d’un système fondamental de solution permettant
d’exprimer la solution générale :

x)x
y(x) = (λ1+µ−lnx

Exercice 15 :[énoncé]
Les éléments deEsont les solutions de l’équation différentielle

y00+y=αcos(x)vérifianty(0) =α

L’équation différentielle est linéaire d’ordre 2 à coefficients constants.
La fonctionx7→α2xsinxest solution particulière et la solution générale est
α
xsinx
y(x) =λcosx+µsinx2+

Les solutions vérifiant la conditiony(0) =αsont les fonctions données par
y(x) =αcosx1+2xsinx+µsinx

On en déduit que l’espaceEest de dimension 2.

Exercice 16 :[énoncé]
Soity: ]0+∞[→Rune fonction deux fois dérivable etz: ]0+∞[→Rdonnée
par
z(x) =x−αy(x)

7

La fonctionzest deux fois dérivable et
y0(x) =xαz0(x) +αxα−1z(x),y00(x) =xαz00(x) + 2αxα−1z0(x) +α(α−1)xα−2z(x)

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Corrections

donc
xy00(x)+2y0(x)−xy(x) =xα+1z00(x)+2(α+1)xαz0(x)+α(α+ 1)xα−1−xα+1z(x)

Pourα=−1, on obtient

xy00(x) + 2y0(x)−xy(x) =z00(x)−z(x)

et doncyest solution de l’équation étudiée si, et seulement si,

z(x) =λchx+µshx

ce qui donne la solution générale

y(x) =λchx+µshx
x

Exercice 17 :[énoncé]
L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur
]−11[d’équation homogène

(1−x2)y00−3xy0−y= 0

On vérifie par le calcul que la fonction

1
ϕ:x7→ √1−x2

est solution de cette équation homogène et qu’elle ne s’annule pas.
Par la méthode de Lagrange, on cherche une deuxième solution indépendante de
la forme
ψ:x7→λ(x)ϕ(x)avecλfonction deux fois dérivable

On parvient à l’équation
λ00(x 1) =−xx2λ0(x)
La fonctionλ:x7→arcsinxconvient ce qui donne


ψ:x7a√src1−inxx2

Pour trouver une solution particulière de l’équation complète, on applique la
méthode de variation des constantes et on cherche cette solution de la forme

y(x) =λ(x)ϕ(x) +µ(x)ψ(x)

avecλ µfonctions dérivables vérifiant
λ0(x)ϕ(x) +µ0(x)ψ(x) = 0

On parvient au système
λ0(x)ϕ(x) +µ0(x)ψ(
λ0(x)ϕ0(x) +µ0(x)ψ0x()x1(=)=0−xx2)32
Après résolution
λ(x) =−p1−x2etµ(x) =p1−x2arcsinx−xconviennent

et donc
x
=−
y(x)√1−x2
est solution particulière.
Finalement la solution générale est
λ+µa
y(x) =√rc1−sinx2x−x

8

Exercice 18 :[énoncé]
Soientx:R→Rune fonction deux fois dérivable etϕ:R→RunC2
difféomorphisme.
Posonsy:R→Rdéfinie de sorte quey(u) =x(t)i.e.y(u) =x(ϕ−1(u)).
La fonctionyest deux fois dérivable et pour toutt∈R,x(t) =y(ϕ(t)).
On a alorsx0(t) =ϕ0(t)y0(ϕ(t))etx00(t) = (ϕ0(t))2y00(ϕ(t)) +ϕ00(t)y0(ϕ(t)).
Par suite
(1+t2)x00(t)+tx0(t)+a2x(t) = (1+t2)ϕ0(t)2y00(ϕ(t))+(1 +t2)ϕ00(t) +tϕ0(t)y0(ϕ(t))+a2y(ϕ
Pourϕ(t) =argsht,ϕ0(t) =√11+t2et(1 +t2)ϕ00(t) +tϕ0(t) = 0de sorte que
(1 +t2)x00(t) +tx0(t) +a2x(t) = 0⇔y00(ϕ(t)) +a2y(ϕ(t)) = 0

Cela nous amène à résoudre l’équation
y00(u) +a2y(u) = 0
Sia6= 0, la solution générale dey00(u) +a2y(u) = 0est
y(u) =λcos(au) +µsin(au)et la solution générale de(1 +t2)x00+tx0+a2x= 0est

x(t) =λcos(aargsht) +µsin(aargsht)avecλ µ∈R

Sia= 0, on parvient à

x(t) =λ+µargshtavecλ µ∈R

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013

Exercice 19 :[énoncé]
P= (x+ 1)X−1convient.

(E)⇔(x+ 1)z0−z= (3x+ 2)e3x

Corrections

Après résolution avec recollement la solution générale de cette dernière équation
estz(x) =λ(x+ 1) + e3x.

La solution générale est

(E)⇔y0−3y=λ(x+ 1) + e3x

y(x) =λ0(3x+ 4) +µe3

Exercice 20 :[énoncé]
a) Par analyse synthèse, on obtient

x+xe3x

+∞(−1)n
h(x) =X!n
n=0(n)2x

de rayon de convergenceR= +∞.
b)h(0) = 1par application du critère spécial des séries alternées à la sérieet

n
n
n>X1((−n1)!)22

on obtient
+∞( 1)n2n<−1
−2<X−
n=1(n!)2
et donch(2)<0. On en déduit quehs’annule sur]02[.
La fonctionhest dérivable et

+∞
h0(x) =Xn(−1)n1
n=1!(n−)!xn−1

On peut à nouveau appliquer le critère spécial des séries alternées à cette série
pour toutx∈]02[et on en déduith0(x)<0.

9

Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.