Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Méthode de variation des constantes

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Méthode de variation des constantes Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02894 ] [correction] +?a) Résoudre surR par variation des constantes : Exercice 1 [ 00405 ] [correction] 00y +y = 1/x Résoudre l’équation différentielle b) En déduire une expression de −2te00 0y +4y +4y = Z +∞21+t dt−txf(x) = e 21+t0 valable pour x> 0.Exercice 2 [ 00406 ] [correction] c) CalculerRésoudre l’équation différentielle Z +∞ sint 00 dty +y = tant t0 Exercice 3 [ 00407 ] [correction] Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02896 ] [correction] ∞ ∞Résoudre l’équation différentielle Soit f∈C (R,C) 2π-périodique. Existe-t-il y∈C (R,C) 2π-périodique et solution de 00 2 00y +y = tan t y +y =f ? Exercice 4 [ 00408 ] [correction] Exercice 9 Mines-Ponts MP [ 02895 ] [correction] 1 +Soit f :R→R une fonction continue. Soit f∈C (R ,R) monotone ayant une limite finie en +∞. 00a) Résoudre surR l’équation différentielle Montrer que les solutions de l’équation y +y =f sont bornées. 00y +y =f Exercice 10 [ 00417 ] [correction] On exprimera la solution à l’aide d’une intégrale. Résoudre surR l’équation0b) Déterminer la telle que y(0) =y (0) = 0. 2t 1 t00 0y + y + y = 2 2 2 2 2t +1 (t +1) (t +1) Exercice 5 [ 00409 ] [correction] en posant x = arctant.
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Méthode de variation des constantes

Exercice 1[ 00405 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

e−2t
y00+ 4y0+ 4y += 1t2

Exercice 2[ 00406 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

y00+y= tant

Exercice 3[ 00407 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

y00+y= tan2t

Exercice 4[ 00408 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction continue.
a) Résoudre surRl’équation différentielle

y00+y=f

On exprimera la solution à l’aide d’une intégrale.
b) Déterminer la solution telle quey(0) =y0(0) = 0.

Exercice 5[ 00409 ][correction]
Soitf:R→Rune fonction de classeC2telle que

Montrer

f+f00>0

∀x∈R,f(x) +f(x+π)>0

Exercice 6Mines-Ponts MP
Résoudre sur]0 π[

[ 02893 ][correction]
y00+y=cotanx

Enoncés

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02894 ][correction]
a) Résoudre surR+?par variation des constantes :

y00+y= 1x

b) En déduire une expression de
f(x) =Z+∞+1dtt2
e−tx
0

valable pourx >0.
c) Calculer

Z+0∞sitntdt

Exercice 8Mines-Ponts MP[ 02896 ][correction]
Soitf∈ C∞(RC) 2π-périodique. Existe-t-ily∈ C∞(RC) 2π-périodique et
solution de
y00+y=f?

Exercice 9Mines-Ponts MP[ 02895 ][correction]
Soitf∈ C1(R+R)monotone ayant une limite finie en+∞.
Montrer que les solutions de l’équationy00+y=fsont bornées.

Exercice 10[ 00417 ][correction]
Résoudre surRl’équation

y00+t2+2t1y0+(t211+)2y(=t2+t1)2

en posantx= arctant.

Exercice 11CCP MP[ 03292 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle
(1−x2)y00−3xy0−y=√1x−x2

(on pourra vérifier que l’applicati lution de l’équation
onx7→√11−x2est so
homogène associée)

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 de solution homogène :
y(t) = (λt+µ)e−2t.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de
la formey(t) =λ(t)te−2t+µ(t)e−2tavecλ µfonctions dérivables.
0(t)te−2t+µ0(t)e−2t= 0
λλ0(t)(1−2t)e−2t−2µ0(t)e−2te1−+2tt2
=

donne
1
λ0(t + 1) =t2
µ0(t +) 1tt2

=
λ(t) = arctantetµ(t) =−21ln(1 +t2)conviennent.
Finalement la solution générale des l’équation étudiée est :

y(t) =tarctan(t)e−2t−1+1(nl2t2)e−2t+ (λt+µ)e−2t

Exercice 2 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 de solution homogène :
y=λcost+µsint.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de
la formey(t) =λ(t) cos(t) +µ(t) sin(t)avecλ µfonctions dérivables.
in2tcost
(λ−0(λt0)(tcsonis)tt++µ0µ(0t()toc)instst=a0tn=t,(λµ00((tt=))=s−nist,
λ(t) =Rococs2stt−1dt= sint−21ln11+−nissnittetµ(t) =−costconviennent car
Rsoc1tdt=Roscint2tdt=21ln11−sinin+stt.
1−s
Finalement la solution générale de l’équation étudiée est :
y(t) =−21costln11−nisnis+tt+λcost+µsintsurIk=−π2+kπ2π+kπ.

Exercice 3 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène :
y=λcost+µsint.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de
la formey(t) =λ(t) cos(t) +µ(t) sin(t)avecλ µfonctions dérivables.

(λ−0λ(0t()tscois)tnt++µ0µ(0t()t)isocntstt=na0=(λ0(t) =−sin3tcos2t
,
2t,µ0(t) = sin2tcost
λ(t) =−sco1t−costetµ(t) =R1−coscost2tdt=12ln+11−sninistt−sintconviennent car
Rsco1tdtRsconist2tdt=21ln1+sint
.
=
1−1−sint
Finalement la solution générale de l’équation étudiée est :
y(t) =−2 +12sintln1+1−sinisntt+λcost+µsintsurIk=−2π+kππ2+kπ.

2

Exercice 4 :[énoncé]
a) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène :
y=λcost+µsint.
Par la méthode de variation des constantes, cherchons une solution particulière de
la formey(t) =λ(t) cos(t) +µ(t) sin(t)avecλ µfonctions dérivables.
(λ−0(tλ0()ts)icostnt++µ0µ(0t)(tsnio)ctst==0f(t),
cost×(1)−sint×(2)donneλ0(t) =−f(t) sint.
sint×(1) + cos(t)×(2)donneµ0(t) =f(t) cost.
Choisissonsλ(t) =R0t−f(u) sinuduetµ(t) =R0tf(u) cosudu
ce qui donne la solution particulière :
y(t) =R0tf(u)(sintcosu−sinucost)du=R0tf(u) sin(t−u)du.
La solution générale de l’équation est
y(t) =R0tf(u) sin(t−u)du+λcos(t) +µsin(t).
b)y(0) = 0donneλ= 0.
Avec les notations précédentes :
y0(t) =−λ(t) sint+µ(t) cost−λsint+µcost
doncy0(0) =µ(0) +µ=µpuisµ= 0.
Finalement :y(t) =R0tf(u) sin(t−u)du.

Exercice 5 :[énoncé]
Posonsg=f+f00.fest évidemment solution de l’équation différentielle
y00+y=g

Après application de la méthode de variation des constantes, la solution générale
de cette équation est
y(x) =acosx+bsinx+Z0xg(t) sin(x−t) dt
Pour une telle solution,
x+
y(x+π) +y(x) =Zxπg(t) sin(x+π−t) dt>0

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Ainsifvérifie

f(x) +f(x+π)>0

Exercice 6 :[énoncé]
C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène :
y=Acosx+Bsinx.
Méthode de variation des constantes
(A0(xco)nissxx++B0B(0x)(xonci)sxsx=0=cotanx
−A0(x)

Après résolution et intégration

+ cosx+Acosx Bs
y(x) =−2sin1xln11−cosx+ inx

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
a) C’est une équation différentielle linéaire d’ordre à 2 de solution homogène :
y=Acosx+Bsinx.
Méthode de variation des constantes :
(A−0A(0x()xcos)isnxx++B0B(0x)(xcosin)xsx=1=0x,(BA00((xx))=c=−nissoxxxx
A(x) =Rx+∞sitntdtetB(x) =−Rx+∞cotstdtconviennent (et ont le bon goût de
converger).
Solution générale :
y(x) =Acosx+Bsinx+ cosxZx+∞sitntdt−sinxZx+∞cotstdt
b) Par domination par+11t2, on obtientfcontinue surR+et par domination par
e−atsur[a+∞[pour touta >0, on obtientfde classeC2surR+?avec
2
f00(x) =Z+∞e−txt+t2dt
01

de sorte quefest solution surR+?dey00+y=x1.
Ainsi, il existeA B∈Rtels que
f(x) =Acosx+Bsinx+ cosxZx+∞sitntdt−sinxZx+∞cotstdt

On observe
06f(x)6Z+∞e−txdt1
=
0x
on−−→0puisA=B= 0.
d cf+∞
Ainsi
∞costdt
f(x) = cosxZx+∞sitntdt−sinxZx+t
c) Quandx→0+
Zx+∞sitntdt→Z+0∞sitntdt
et
tdt1
Zx+∞cotstdt=Z1+∞cot+sZxcotstdt
avec
Zx1cotstdZx1dtt=−lnx
t6
donc
sinxZx+∞cotstdt→0
Ainsi en passant à la limite l’expression précédente def(x)
Z0+∞sitntdt=f(0)π
=
2

3

Exercice 8 :[énoncé]
Les solutions de l’équation différentielley00+y=fsont de classeC∞carfl’est.
Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de
l’équationy00+y=fest
y(x) =λcosx+µsinx+Z0xf(t) sin(x−t) dt
Cette solution est2π-périodique si, et seulement si,
Z0xf(t) sin(xZx+2π
−t) dt=f(t) sin(x−t) dt
0
i.e.Rxxf sin(( )x−t) dt= 0pour toutx∈R.
+2πt
En développant le sinus et en exploitant la liberté de la famille(sincos)ainsi que
la2π-périodicité def, cela équivaut à la condition
Z02πf(t) sintdt=Z20πf(t) costdt= 0

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Corrections

Exercice 9 :[énoncé]
Par application de la méthode de variation des constantes, la solution générale de
l’équationy00+y=fest
x
sx+µsinxZ0f(t) sin(x−t) dt
y(x) =λco +
Pour conclure, il suffit de justifier quex7→R0xf(t) sin(x−t) dtest bornée.
Par intégration par parties,
Z0xf(t) sin(x−t) dt=f(x)−f(0) cosx−Z0xf0(t) cos(x−t) dt

Quitte à passer à l’opposé, on peut supposerfcroissante et doncf0(t)>0.
Puisque−16cos(x−t)61,
f(0)−f(x)6Z0xf0(t) cos(x−t) dt6f(x)−f(0)

puis
f(0)(1−cZx
osx)6f(t) sin(x−t) dt62f(x)−f(0)(1 + cosx)
0
La fonctionfétant bornée (car convergente en+∞), il en est de mme de
x7→R0xf(t) sin(x−t) dt.

Exercice 10 :[énoncé]
Soientyune fonction deux fois dérivable surRetz:I= ]−π2 π2[→Rdéfinie
parz(x) =y(tanx).
zest deux fois dérivable et∀t∈R y(t) =z(arctant).
y0(t) =z0crt1+a(t2ant)ety00(t) =−(2+1tt2)2z0(arctant) ++1(1t2)2z00(arctant).
yest solution si, et seulement si,

z00(arctant) +z(arctant) =t

soitz00(x) +z(x) = tanxsurI.
z00+z= 0doncz=λcosx+µsinx.
Méthode de la variation des constantes :λ0(x) =−isncso2xxetµ0(x) = sinx.
u−
Z−socnis2xxdxu=s=inxZu2u−21du=u+nl12+1C= sinx+1112ln−+nsinsixx+C
u+ 1

Prenonsλ(x) = sinx+12ln11−insin+sxxetµ(x) =−cosx.

On obtient :z(x) =21ln11−insnis+xxcosxsolution particulière.
Finalement
y(t) =√λ++1µtt2+2√1+1t2ln√√1+1+tt22−+tt

Exercice 11 :[énoncé]
L’équation étudiée est une équation différentielle linéaire d’ordre 2 définie sur
]−11[d’équation homogène

(1−x2)y003xy00−y= 0

On vérifie par le calcul que la fonction

1
ϕ:x7→ √1−x2

est solution de cette équation homogène et qu’elle ne s’annule pas.
Par la méthode de Lagrange, on cherche une deuxième solution indépendante de
la forme
ψ:x7→λ(x)ϕ(x)avecλfonction deux fois dérivable

On parvient à l’équation
λ00(x 1) =−xx2λ0(x)
La fonctionλ:x7→arcsinxconvient ce qui donne

ψ:x7→a√rcs1−inxx2

Pour trouver une solution particulière de l’équation complète, on applique la
méthode de variation des constantes et on cherche cette solution de la forme

y(x) =λ(x)ϕ(x) +µ(x)ψ(x)

avecλ µfonctions dérivables vérifiant

λ0(x)ϕ(x) +µ0(x)ψ(x) = 0

On parvient au système
λ0(x)ϕ(x) +µ0(x)ψ(x) = 0
λ0(x)ϕ0(x) +µ0(x)ψ0(x) = (1−xx2)32

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Après résolution

et donc

λ(x) =−p1−x

2etµ(x) =p1−x2

arcsinx−xconviennent

y(x) =− √1x−x2

est solution particulière.
Finalement la solution générale est

y(x) =

λ+µarcsinx−x
√1−x2

Corrections

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