Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Problème se ramenant à la résolution d'une équation différentielle

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Problème se ramenant
équation différentielle

à

la

résolution

Exercice 1CCP MP[ 02419 ][correction]
Soitf:R→Rcontinue vérifiant
∀x∈R f(x) +Zx(x−t)f(t) dt= 1−x(*)
0

a) Montrer quefest de classeC1.
b) Trouver toutes les fonctionsfvérifiant (*).

Exercice 2CCP MP[ 02535 ][correction]
Quelles sont les fonctions continuesftelles que
Zx

f(x) =−1−(2x−t)f(t)dt?
0

Enoncés

d’une

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On peut écrire
f(x) = 1−x−xZ0xf(t) dt+Z0xtf(t) dt
Par opération sur les fonctions de classeC1,fest de classeC1.
b) Soitfsolution.fest de classeC1et
x
f0(x) =−1−Zf(t) dt
0
On en déduit quefest de classeC2et
f00(x) +f(x) = 0

Ainsi la fonctionfest de la forme

f(x) =λcosx+µsinx
De plus, on observef(0) = 1etf0(0) =−1ce qui détermineλetµ:

λ= 1etµ=−1

Corrections

Il ne reste plus qu’à vérifier que la fonctionx7→cosx−sinxest solution, soit en
remontant les calculs (ce qui est possible) soit en refaisant ceux-ci.

Exercice 2 :[énoncé]
Supposonsfsolution.
Z0xt+Z0xtf(t)dt
f(x) =−1−2x f(t)d
On af(0) =−1etfdérivable avec
f0(x) =−2Zxf(t)dt−2xf(x) +xf(x)
0
Par suitey:x7→R0xf(t)dtest solution de l’équation différentielle
y00+xy0+ 2y= 0
avec les conditions initialesy(0) = 0ety0(0) =−1. Ceci détermineyet doncfde
manière unique.
En recherchant les solutions développables en séries entières, on obtient
y(x) =−xe−x22puis

f(x) = (x2−1)ex22

2

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