Sujet : Analyse, Equations différentielles linéaires, Systèmes différentiels linéaire d'ordre 1 à coefficients constants

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Systèmes différentiels linéaire d’ordre 1 à Exercice 6 [ 00393 ] [correction] Soient E un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 et u un vecteurcoefficients constants unitaire de E. Résoudre l’équation 0Exercice 1 [ 00389 ] [correction] x =u∧x Résoudre le système différentiel suivant ( 0x = 4x−2y Exercice 7 Mines-Ponts MP [ 02902 ] [correction] 0y =x+y Résoudre le système différentiel linéaire  0x =x−z 0Exercice 2 [ 03490 ] [correction] y =x+y+z Résoudre le système différentiel suivant 0z =−x−y+z ( 0 tx =−x +3x +e1 21 0x =−2x +4x1 22 Exercice 8 Centrale MP [ 02490 ] [correction] On considère l’équation (4) (3) (2) 0Exercice 3 [ 00390 ] [correction] x −2x +2x −2x +x = 0 Résoudre le système différentiel suivant a) Montrer que x :R→C est solution de E si, et seulement si,( 0 t t 0 (2) (3) 0x =x+8y+e X = x x x x est de AX =X avec A à déterminer. 0 −3t b) A est-elle diagonalisable dansM (C)?4y = 2x+y+e c) Montrer que 4 2C = ker(A−iI )⊕ker(A+iI )⊕ker(A−I )4 4 4 Exercice 4 Mines-Ponts MP [ 00391 ] [correction] −1Résoudre le système différentiel suivant d) Montrer qu’il existe P inversible telle que P AP =B avec B diagonale par  blocs et triangulaire supérieure.0x =y+z e) Déterminer les solutions de l’équation différentielle.
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Systèmes différentiels
coefficients constants

linéaire

Exercice 1[ 00389 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
(xy00==x4x+−y2y

Exercice 2[ 03490 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
01=−x1+ 3x2+ et
(xx02=−2x1+ 4x2

Exercice 3[ 00390 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
(xy002==xx+8+yy++eet−3t

Exercice 4Mines-Ponts MP[ 00391 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
xzy000===xxy++yz+z

Exercice 5[ 00392 ][correction]
Résoudre le système différentiel suivant
x0= 2x−y+ 2z
y0= 10x−5y+ 7z
z0= 4x−2y+ 2z

d’ordre

1

Enoncés

à

Exercice 6[ 00393 ][correction]
SoientEun espace vectoriel euclidien orienté de dimension 3 etuun vecteur
unitaire deE.
Résoudre l’équation
x0=u∧x

Exercice 7Mines-Ponts MP[ 02902 ][correction]
Résoudre le système différentiel linéaire
x0=x−z
y0=x+y+z
z0−x−y+z
=

Exercice 8Centrale MP[ 02490 ][correction]
On considère l’équation

x(4)−2x(3)+ 2x(2)−2x0+x= 0

a) Montrer quex:R→Cest solution deEsi, et seulement si,
X=tx x0x(2)x(3)est solution deAX=X0avecAà déterminer.
b)Aest-elle diagonalisable dansM4(C)?
c) Montrer que

C4= ker(A−iI4)⊕ker(A+iI4)⊕ker(A−I4)2

d) Montrer qu’il existePinversible telle queP−1AP=BavecBdiagonale par
blocs et triangulaire supérieure.
e) Déterminer les solutions de l’équation différentielle.

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle
X0=AXavecA=14−12etX(t) =xy((tt))!.
Sp(A) ={23},E2(A) =Vect11!,E3(A) =Vect12!.
PourP=2111,A=P DP−1avecD=3020
PourY=P−1X,X0=AX⇔Y0=DY
2t
=µλee3t!avecλ
Y0=DY⇔Y  µ∈K.
X0=AX⇔X(t) =λee22tt!+µ2ee33tt!avecλ µ∈K.

Exercice 2 :[énoncé]
C’est un système différentiel de taille 2 linéaire à coefficients constant d’équation
matricielleX0=AX+B(t)avec
X=xx21!,A=−−4231etB(t) =0et!

Equation homogène :X0=AX.
χA= (X−1)(X−2), Sp(A) ={12},E1(A) =Vect32!etE2(A) =Vect11!.
On a
A=P DP−1avecP=1213etD=2001
et donc
X0=AX⇔X0=P DP−1X⇔P−1X0=DP−1X

PosonsY=P−1X. On aY0=P−1X0et doncX0=AX⇔Y0=DY.
PosonsY=yy1!.
2
1(t) =λ1et
Y0=DY⇔(yy0102==y21y2⇔(yy2(t) =λ2e2tλ1 λ2∈K
avec

X=P Y=1121 yy21!donc
X0=AX⇔X(t) =32λλ11eett++λλ22ee22tt!=λ13ee2tt!+λ2ee22tt!
X1(t) =e23ett!etX2(t) =ee22tt!définissent un système fondamental de
solutions.
Solution particulière :
X(t) =λ1(t)X1(t) +λ2(t)X2(t)avecλ1 λ2fonctions dérivables.

donc

X0=AX+B(t)⇔λ01(t)X1(t) +λ02(t)X2(t) =B(t)

X0=AX+B(t)⇔(23λλ0011((tte)e)tt++λλ0022((tte)e)22tt=e0=t⇔(λλ0012((tt)==)1−2e−t

λ1(t) =tetλ2(t) = 2e−tconviennent
X(t) =(3t2+e)2+e)tt!es lière.
(2tt solution particu
Solution générale :
X(t) =λ12e3ett!+λ2ee22tt!+(2(3tte)2+)e2+tt!avecλ1 λ2∈R

i.e.

(x1(t) = 3λ1et+λ2e2t(3+(2tte2)+2)e+ttavecλ1 λ2∈R
x2(t) = 2λ1et+λ2e2t+

Exercice 3 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 d’équation matricielle
X0=AX+B(t)avec
1 8
A2 1,B(t) =ee−t3t!etX(t) =yx((tt))!
=
Sp(A) ={5−3},E5(A) =Vect12!etE−3(A) =Vect−21!.

2

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A=P DP−1avec
P=21−12,P−141=−1212etD=05

PourY=P−1Xest solution deY0=DY+C(t)avec

C(t) =P−1B(t4=1)e−t+ete2e2+3−t3t!

0
−3

Après résolution, on obtient
λe5t−1et−1e−
Y0=DY+C(t)⇔Y(t) =µe−3t−61116et+1621te−3t3t

Corrections

puis
8
X0=AX+B(t)⇔X(t) =λee255tt!+µ−2e−e3−t3t!+−te−3t−e1−33tt−61e1−3t
1t1te−

8 e + 2
On peut aussi procéder par variation des constantes après résolution séparée de
l’équation homogène.

Exercice 4 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle
X0=AXavec
A=110001etX(t) =x(t)
y(t)

1 1 1z(t)
Sp(A) ={−120},
E−1(A) =Vect−011,E2(A) =Vect312,E0(A) =Vect−110

On aA=P DP−1avec
1 0 0
P=−210113−011etD=−002000

En posantY=P−1X, on obtient

or

X0=AX⇔Y0=DY

Y0=DY⇔Y(t) =λµeνe2−ttavecλ µ ν∈K

donc
X0=AX⇔X(t) =λ−ee−0−tt+ee32e222ttt+ν−110avecλ µ ν∈K
µ

Exercice 5 :[énoncé]
C’est un système différentiel linéaire d’ordre 1 homogène d’équation matricielle
X0=AXavec
x(t)
A=4102−−−227512etX(t) =yz((tt))
χA(X) =−X2(X+ 1).
Après triangularisation, on aA=P T P−1pour
P=−0111021etT=−001001000
1 2

PourY=P−1X,X0=AX⇔Y0=T Y.
Y0=T Y⇔Y=λe−t
tµµ+νavecλ µ ν∈K

La solution générale du système est donc
X(t) =λ−ee−−tt+µ2t1t+ 1+ν120avecλ µ ν∈K
2e−t

3

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Corrections

Exercice 6 :[énoncé]
On complèteuen une base orthonormée directe :(u v w). En notanta b cles
composantes dexdans cette base on parvient au système
a0= 0

b0=−c
c=b
0

qui équivaut encore à

On conclut

a0= 0
c=−b0
c00+c= 0

ba((tt=)=)µνcost−λsint
c(t) =λcost+µsint

Exercice 7 :[énoncé]
A=−111−011−111,χA=−(X−2)(X2−X+ 1).
La résolution complexe est alors facile puisque la matriceAest diagonalisable.
La résolution réelle est en revanche plus délicate à obtenir, détaillons-la :
X1=t(10−1)est vecteur propre deA, complétons-le avec deux vecteurs d’un
plan stable.
Les plans stables s’obtiennent en étudiant les éléments propres detA.
Sp(tA) =SpA={2}etE2(tA) =Vectt(21−1). Ainsi le plan d’équation
2x+y−z= 0est stable partA.
PrenonsX2=t(011)etX3=AX2=t(−120). On vérifieAX3=X3−X2.
Ains=−1011−10, on aP−1AP=0200−10=B.
i pourP 10 1 2 1 0
PourX=t(x y z)etY=t(y1 y2 y3) =P−1X, on aX0=AX⇔Y0=BY.
Ceci nous conduit à la résolution suivante :
yyy0210302===y−2yy13+y3⇔yyy0210020==−2y−20yy31+y2= 0⇔yy12((tt=)e=)α12et2(tλcos√23t+µsi
n√32t)
0

y3(t) =y2(t)
Et on peut conclure viaX=P Y.

Exercice 8 :[énoncé]
a)

A=

0 1 0
0 0 1
0 0 0
−1 2−2

0
0
1
2



4

convient.
b) On définit la matrice par :
A:=matrix(4, 4, [0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, -1, 2, -2, 2]);
On obtient son polynôme caractéristique factorisé par
factor(charpoly(A, X));
et ses éléments propres par
eigenvects(A);
On constate que 1 est valeur propre double mais que le sous-espace propre associé
est de dimension 1. La matriceAn’est donc pas diagonalisable.
c) PuisqueχA= (X−1)2(X−i)(X+i)est annulateur deA, il suffit d’appliquer
le lemme de décomposition des noyaux.
d) Par l’étude des éléments propres précédents, on prend
C1=t−1−i1i,C2=t−1i1−ietC3=t1 1 1 1
vecteurs propres associées aux valeurs propresi−iet 1.
On détermine enfin une colonneC4vérifiantAC4=C4+C3.
linsolve(A-diag(1, 1, 1, 1), vector([1, 1, 1, 1]));
On choisit parmi les solutionsC4=t0 1 2 3.
Finalement pour
−−1−1 1 0
P=1ii−i1i112113

on obtient

1Ai00−00i00010
B=P−P=1
0 0 0 1

On peut vérifier l’exactitude
P:=matrix(4, 4, [-1, -1, 1, 0, -I, I, 1, 1, 1, 1, 1, 2, I, -I, 1,
3]);
B:=evalm(inverse(P)&*A&*P);
e)Les solutions de l’équationX0=AXsont les fonctionsX(t) = exp(tA)X(0).
exp(tA) =P−1exp(tB)Ppermet le calcul deexp(tA).

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Corrections

Sachant
i0n(−0i)n0000
Bn=1000100n
on a
ei0tbe−0itb000
exp(tB) =00000etteett
On achève le calcul deexp(tA)avec Maple
evalm(P&*matrix(4, 4, [exp(I*t), 0, 0, 0, 0, exp(-I*t), 0, 0, 0, 0,
exp(t), t*exp(t), 0, 0, 0, exp(t)])&*Pˆ(-1));
Puis on détermineX
X:=evalm(%&*vector([x(0), D(x)(0), D(D(x))(0), (D@@3)(x)(0)]));
et enfinx(t)
X[1];

5

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