Sujet : Analyse, Equations différentielles non linéaires, Résolution d'équations non linéaires

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 10 septembre 2013 Enoncés 1 Résolution d’équations non linéaires Exercice 7 [ 00444 ] [correction] Résoudre sur tout intervalle I non vide l’équation Exercice 1 [ 00438 ] [correction] 0 yy =x Déterminer les solutions ne s’annulant pas de l’équation différentielle √0y +2y−(x+1) y = 0 Exercice 8 Mines-Ponts MP [ 02898 ] [correction]√ On pourra réaliser le changement de fonction inconnue z = y. Déterminer les solutions de 00 02yy = 1+y Exercice 2 [ 00439 ] [correction] Résoudre sur tout intervalle I non vide l’équation Exercice 9 X MP [ 03069 ] [correction] 0 Résoudre l’équation différentiellexy =y(1+lny−lnx) p 0 2 2xy = x +y +y Exercice 3 [ 00440 ] [correction] a) Résoudre sur tout intervalle Exercice 10 X MP [ 03085 ] [correction]0 x−y y +e = 0 2Résoudre, pour y∈C (R,R) l’équation différentielle b) Préciser les solutions maximales. 0 00 y y y 00 0 y y y = 0 0 00 y y yExercice 4 [ 00441 ] [correction] a) Résoudre sur tout intervalle 0 2xy −(y +1) = 0 b) Préciser les solutions maximales. Exercice 5 [ 00442 ] [correction] a) Résoudre sur tout intervalle I non vide l’équation 0 2E :y = 2x(1+y ) b) Préciser les solutions maximales Exercice 6 [ 00443 ] [correction] a) Résoudre sur tout intervalle I non vide l’équation 0 0 xyy −y = e b) Préciser les solutions maximales. Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.
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Résolution d’équations non linéaires

Exercice 1[ 00438 ][correction]
Déterminer les solutions ne s’annulant pas de l’équation différentielle
y0+ 2y−(x+ 1)√y= 0
On pourra réaliser le changement de fonction inconnuez=√y.

Exercice 2[ 00439 ][correction]
Résoudre sur tout intervalleInon vide l’équation

xy0=y(1 + lny−lnx)

Exercice 3[ 00440 ][correction]
a) Résoudre sur tout intervalle

y0+ex−y= 0

b) Préciser les solutions maximales.

Exercice 4[ 00441 ][correction]
a) Résoudre sur tout intervalle

xy0−(y2+ 1) = 0

b) Préciser les solutions maximales.

Exercice 5[ 00442 ][correction]
a) Résoudre sur tout intervalleInon vide l’équation

E:y0= 2x(1 +y2)

b) Préciser les solutions maximales

Exercice 6[ 00443 ][correction]
a) Résoudre sur tout intervalleInon vide l’équation

yy0−y0= ex

b) Préciser les solutions maximales.

Enoncés

Exercice 7[ 00444 ][correction]
Résoudre sur tout intervalleInon vide l’équation

Exercice 8Mines-Ponts MP
Déterminer les solutions de

yy0=x

[ 02898 ][correction]
yy00= 1 +y02

Exercice 9X MP[ 03069 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle
xy0=px2+y2+y

Exercice 10X MP[ 03085 ][correction]
Résoudre, poury∈ C2(RR)l’équation différentielle

y0y00y
y00y y0= 0

y y0y00

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soityune fonction à valeurs strictement positives, définie et dérivable sur un
intervalle ouvertI.
Posonsz(x) =py(x),zest dérivable.
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de l’équation différentielle
z0+z=12(x+ 1)
Après résolution, on obtient

On en déduit

Ainsi

z(x) =Ce−x12+xavecC∈R

y(x)21(=x+Ce−x)2avecC∈R

∃C∈R∀x∈I21x+Ce−x6= 0ety(x) =21x+Ce−x2surI

Inversement, de telles fonctions sont bien solutions

Exercice 2 :[énoncé]
Soityune solution sur un intervalleIdexy0=y(1 + lny−lnx).
Pour des raisons d’existenceI⊂R+?et surI,y(x)>0.
SurI,xy0(x)−y(x) =y(x) lny(xx)puisy(xx)0=xy(x2)lny(xx).
Posonsz(x) =y(x)x. On obtientz0(x) =z(xx)ln(z(x))puis en posant
t(x) = ln(z(x)),t0(x) =zz0((xx))=1xt(x).
Après résolution de cette équation linéairet(x) =Cxpuisy(x) =xeCxavec
C∈R.
Réciproquement de telles fonctions sont solutions.

Exercice 3 :[énoncé]
a) Soityune solution sur un intervalleIdey0+ex−y= 0.
SurI,y0(x)ey(x)=−exdonc il existeC∈Rtel que

∀x∈Iey(x)=−ex+C

Par suite
∀x∈I−ex+C >0ety(x) = ln(C−ex)
Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.
b) Etudions la condition
∀x∈I−ex+C >0

On a
−ex+C >0⇔ex< C
CasC∈R−:
Il n’existe pas d’intervalleInon vide vérifiant
∀x∈I−ex+C >0

CasC∈R+?:

On a
−ex+C >0⇔x <lnC
doncI⊂]−∞lnC[.
Les solutions maximales cherchées sont les fonctions d’expression
y(x) = ln(C−ex)définies sur]−∞lnC[pourC >0.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soityune solution sur un intervalleIdexy0−(y2+ 1) = 0.
L’intervalleIne peut contenir 0 car l’équationxy0−(y2+ 1) = 0ne peut tre
satisfaite enx= 0.
SurI, on ay2y(0x()x)+1=x1donc il existeC∈Rtel que
∀x∈Iarctan(y(x)) = ln|x|+C

Nécessairement

∀x∈Iln|x|+C∈]−π2 π2[ety(x) = tan(ln|x|+C)

Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions.
b) Etudions la condition

On a

Ainsi

∀x∈Iln|x|+C∈]−π2 π2[

−2<πln|x|+C < π2⇔e−π2−C<|x|<eπ2−C
I⊂i−eπ2−C−e−π2−ChouI⊂ie−π2−Ceπ2−Ch

2

Les solutions maximales cherchées sont les fonctions d’expression
y(x ln() = tan|x|+C)définies sur−eπ2−C−e−π2−Cou sure−π2−Ceπ2−C
avecC∈R.

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Corrections

Exercice 5 :[énoncé]
a) Soityune solution sur un intervalleIdeE.
Pour toutx∈I,1+y0y((xx))2= 2xdonc il existeC∈Rtel quearctany(x) =x2+C.
Puisque pour toutx∈I,arctany(x)∈−2ππ2, on ax2+C∈−2π2et
π
y(x) = tan(x2+C)
ety(x) = tan(x2+C).
Inversement de telles fonctions sont solutions.
b) Etudions la condition
π
∀x∈I x2+C∈i−π22h

On a
−2 xπ <2+C < π2⇔ −π2−C < x2<2π−C
CasC>π2:
On aπ2−C60donc il n’existe pas d’intervalleInon vide vérifiant
∀x∈I x2+C∈i−π22πh
CasC∈−π22π:
On a2π−C >0et−π2−C <0donc
−π2< x2+C < π2⇔ |x|6rπ2−C

Par suite

I⊂−r2π−Crπ2−C

CasC6−2π:
On a−π2−C>0donc
−π2< x2+C < π2⇔r−2π−C6|x|6rπ2−C

Par suite
I⊂r−2π−Crπ2−CouI⊂−r2π−C−r−2π−C

Finalement, les solutions maximales cherchées sont les fonctions d’expression
y(x) = tan(x2+C)définies sur−pπ2−Cpπ2−CpourC∈−π22πet sur
p−2π−Cp2π−Cou−pπ2−C−p−π2−CpourC6−π2.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Soityune solution surIde l’équationyy0−y0= ex
On ay0(x)(y(x)−1) =exsurIdonc il existe une constanteC∈Rtelle que

Nécessairement

∀x∈I(y(x)−1)2= 2ex+C

∀x∈I2ex+C>0et|y(x)−1|=√2ex+C
La fonctionx→√72ex+Cn’est susceptible de ne s’annuler qu’en une extrémité
deIdoncx7→y(x)−1est de signe constant. Ainsi
∀x∈I y(x) = 1 +√2ex+Cou∀x∈I y(x) = 1√−2ex+C

Inversement de telles fonctions sont bien solutions sous réserve d’tre définies et
dérivables surIc’est-à-dire que2ex+C >0surI.
b) PourC>0, la fonctionx7→1√±2ex+Cest solution surR, c’est une
solution maximale.
PourC <0, la condition
∀x∈I2ex+C>0

imposex>−ln(C2)et doncI⊂[−ln(C2)+∞[. Or la fonction considérée ne
peut pas tre dérivée en−ln(C2)car le contenu de la racine carrée s’y annule
sans que sa dérivée s’y annule. . . On en déduit qu’une solution maximale associée
à cette constanteCest définie sur]−ln(C2)+∞[.

Exercice 7 :[énoncé]
Soitysolution sur un intervalleIde l’équationyy0=x.
Il existe une constanteC∈Rtelle que surI,

donc

12y2(x21=)x2+C
|y(x)|=px2+ 2Cavecx2+ 2C>0
CasC >0alors|y(x)|=√x2+ 2C6= 0imposeyde signe constante et donc
∀x∈I y(x) =px2+ 2Cou∀x∈I y(x) =−px2+ 2C

CasC <0alorsx2+ 2C>0impose
I⊂i−∞−√2CiouI⊂h√−2C+∞h

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Corrections

Dans les deux casyest de signe constant surIet on parvient aux deux mmes
expressions qu’au dessus.
CasC= 0un éventuel recollement en 0 (dans le cas oùalors après 0∈I◦) on
parvient à
∀x∈I y(x) =xou∀x∈I y(x) =−x

Inversement, les fonctions proposées sont bien solutions sous réserve qu’elles
soient dérivables ce qui imposeI⊂−∞−√2CouI⊂√−2C+∞dans le
casC <0.

Exercice 8 :[énoncé]
Soityune solution surI.yne s’annule pas ce qui permet d’écrire

1 +y02
y00=

4

Exercice 9 :[énoncé]
On peut remarquer que la quantitéxy0−yest le numérateur de la dérivée deyx.
SurI⊂R+?l’équation différentielle étudiée est équivalente à l’équation,
yx0= 1r1 +yx2
x
Posonsz(x) =y(x)xet on est amené à résoudre
z0= 1p1 +z2
x
Cette équation à variables séparables équivaut à
z01
=
√1 +z2x
Une fonctionzen est solution surI⊂R+?si, et seulement si, il existeλ∈R

yvérifiant
assurant queyest trois fois dérivabl argsh .(z(x)) = lnx+λ
e
En dérivantyy00= 1 +y02, on obtientyy(3)=y0y00 nous obtenons pour solution généraled’où et
z(x) =sh(lnx+λ)
yy000= 0puis
Ainsi il existe une constanteλvérifianty00=λy.y(x) =xshe2λx2−1
(lnx+λ) = 2eλ
De plusyy00= 1 +y02>0assureλ >0 a un sens sur. quiR+?pour toutλ∈R.
Ainsiyest de la forme SurI⊂R−?, une étude semblable conduit à la solution générale
y(x) =Ach(√λx) +Bsh(√λx)y(x) =xsh(−ln|x|+µ) =x22−eµe2µ
Inversement, pour une telle fonction, qui a un sens surR−?pour toutµ∈R.
Il rest
y(x)y00(x)−y0(x)2=λAch√λx+Bsh(√λx)2−Ash√λx+Bch√λx2=λA2−SaBch2euuqnaderinantqdéeàrmtexle→s é0oss,eitultnevlleuonssurR.
e2λx2x2−e2µ1
Ainsi les solutions de l’équation différentielle sont les2eλ−=1−2e1−λ+o(x)et2eµ=−2 eµ+o(x)
y(x) =Ach(√λx) +Bsh(√λx)octracnpeuslootuoiRr−d?uéetdirietnrituncrnodérfienaipeàpaµrdisosniotculaulssnuooRti+o?ndµéfi=nie−àλfpolaettiardrecntλnoteniue
n sur
avecA B∈Rvérifiant obtenuedérivable en 0 et solution de l’équation différentielle étudiée. est alors
|A|>|B|etλ1Finalement, les solutions surRde l’équation étudiée sont les fonctions
=
A2−B2e2λx2−1
x7→2eλ

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Exercice 10 :[énoncé]
Par la règle de Sarrus

b
c
a

c
a
b

a
b
c

= 3abc−(a3+b3+c3)

En factorisant
a3+b3+c3−3abc(12=a+b+c)(a−b)2+ (b−c)2+ (c−a)2

Soityune solution de l’équation différentielle étudiée sur un intervalleI.
Par ce qui précède on a

y00+y0+y= 0ouy00=y0=y

l’alternative étant à comprendre valeurs par valeurs.
Montrons que cette alternative vaut en fait sur l’intervalle.
Par l’absurde, supposons qu’il existet1 t2∈Rtels que

(y00+y0+y)(t1) = 0et(y00+y0+y)(t2)6= 0

Pour fixer les idées, supposonst1< t2et considérons

Par continuité on a

t0= sup{t6t2(y00+y0+y)(t) = 0}

(y00+y0+y)(t0) = 0

et par construction, pour toutt∈]t0 t2]

et donc

(y00+y0+y)(t)6= 0

y00(t) =y0(t) =y(t)

La résolution sur l’intervalle]t0 t2]de l’équationy0=ydonne

y(t) =λetavecλ6= 0

et par passage à la limite quandt→t0on obtient

C’est absurde.

(y00+y0+y)(t0) = 3λet06= 0

Corrections

5

On en déduit queyest solution surIde l’équation différentielley00+y0+y= 0ou
de l’équationy00=y0=y
Après résolution, on en déduit
t
y(t) = e−t2λcost√32+µsin√32ouy(t) =λet

La réciproque est immédiate en remontant le calcul.

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