Sujet : Analyse, Equations différentielles, Résolution par changement de fonction inconnue

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Résolution par changement de fonction inconnue Exercice 6 [ 01560 ] [correction] Résoudre surR l’équation différentielle Exercice 1 [ 01556 ] [correction] 00 0 E :xy −(1+x)y +y = 1 Résoudre surR l’équation 0en posant z =y −y.2 00 0(1+x )y +2xy = 0 Exercice 7 [ 00411 ] [correction] Exercice 2 [ 00413 ] [correction] Résoudre surR l’équation +?Résoudre surR l’équation x 00 0 x(1+e )y +y −e y = 0 2 00 0 2x y +4xy −(x −2)y = 0 0en introduisant la fonction z =y +y. 2en posant z =x y. Exercice 8 [ 00412 ] [correction] Exercice 3 [ 01561 ] [correction] Résoudre sur ]0,+∞[ l’équation Résoudre surR l’équation 32 00x y −2y+ = 0x 00 x 0 x xE : (1+e )y +2e y +(2e +1)y =xe x 0en introduisant la fonction z(x) =xy (x)+y(x).xen posant z(x) = (1+e )y(x). Exercice 4 [ 01559 ] [correction] Résoudre l’équation différentielle x 2 00 x x 0 x(1+e ) y −2e (1+e )y −(3e +1)y = 0 en introduisant y(x) z(x) = x1+e Exercice 5 [ 01558 ] [correction] Résoudre surR l’équation 00 0 2y +4xy +(3+4x )y = 0 2xen introduisant la fonction z(x) = e y(x). Diffusion autorisée à titre entièrement gratuit uniquement - dD [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Corrections 2 Corrections La fonction z est deux fois dérivable. x 0 x 0 xOn a y(x) = (1+e )z(x), y (x) = (1+e )z (x)+e z(x), 00 x 00 x 0 xy (x) = (1+e )z (x)+2e z (x)+e z(x).Exercice 1 : [énoncé] 000 y est solution de l’équation étudiée si, et seulement si, z −z = 0.
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Résolution par changement de fonction

Exercice 1[ 01556 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(1 +x2)y00+ 2xy0= 0

Exercice 2[ 00413 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation

en posantz=x2y.

x2y00+ 4xy0−(x2−2)y= 0

Exercice 3[ 01561 ][correction]
Résoudre surRl’équation

E: (1 +ex)y00+ 2exy0+ (2ex+ 1)y=xex

en posantz(x) = (1 +ex)y(x).

Exercice 4[ 01559 ][correction]
Résoudre l’équation différentielle

en introduisant

(1 +ex)2y00−2ex(1 +ex)y0−(3ex+ 1)y= 0

Exercice 5[ 01558 ][correction]
Résoudre surRl’équation

y(x)
z(x) =
1 +ex

y00+ 4xy0+ (3 + 4x2)y= 0

en introduisant la fonctionz(x) =ex2y(x).

inconnue

Enoncés

Exercice 6[ 01560 ][correction]
Résoudre surRl’équation différentielle

en posantz=y0−y.

E:xy00−(1 +x)y0+y= 1

Exercice 7[ 00411 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(1 +ex)y00+y0−exy= 0

en introduisant la fonctionz=y0+y.

Exercice 8[ 00412 ][correction]
Résoudre sur]0+∞[l’équation

x2y00−2y+=03
x

en introduisant la fonctionz(x) =xy0(x) +y(x).

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soity:R→Rune fonction deux fois dérivable. Posonsz=y0,zest dérivable.
yest solution de l’équation différentielle si, et seulement si,zsolution de

On obtient

puis

(1 +x2)z0+ 2xz= 0

z(x 1) = +xC2

y(x) =Carctanx+D

Exercice 2 :[énoncé]
Soity:R+?→Rune fonction deux fois dérivable.
Posonsz:R+?→Rdéfinie parz(x) =x2y(x).zest deux fois dérivable.
z0(x) =x2y0(x) + 2xy(x),z00(x) =x2y00(x) + 4xy0(x) + 2y(x).
On observex2y00+ 4xy0−(x2−2)y= 0⇔z00−z= 0
La solution générale de l’équationz00=zestz(x) =λex+µe−x.
La solution générale de l’équation initiale est doncy(x) =λex+x2µe−x.

Exercice 3 :[énoncé]
Soity:R→Rune fonction deux fois dérivable etz:R→Rdéfinie par
z(x) = (1 +ex)y(x).
zest deux fois dérivable etz0(x) = (1 +ex)y0(x) +exy(x),
z00(x) = (1 +ex)y00(x) + 2exy0(x) +exy(x)
yest solution deEsi, et seulement si,zest solution deF:z00+z=xex.
Fest une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants de
solution homogènez0(x) =λcosx+µsinxet de solution particulière :
z1(x) =x−1ex
2.−2 1e
Solution générale deF:z(x) =λcosx+µsinx+x x.
La solution générale deEest donc :y(x)λcosx+µsienxx+x−1ex.
=2
1+

Exercice 4 :[énoncé]
Soity:R→Rdeux fois dérivable etz:R→Rdéfinie par

z(x 1) =y(+xe)x

La fonctionzest deux fois dérivable.
On ay(x) = (1 +ex)z(x),y0(x) = (1 +ex)z0(x) +exz(x),
y00(x) = (1 +ex)z00(x) + 2exz0(x) +exz(x).
yest solution de l’équation étudiée si, et seulement si,z00−z= 0.
On obtient pour solution générale de l’équationz00−z= 0

z(x) =C1ex+C2e−x
et on en déduit la solution générale de l’équation étudiée
y(x) = (C1ex+C2e−x)(1 +ex)

Exercice 5 :[énoncé]
Soity:R→Rune fonction deux fois dérivable. Posonsz:x7→ex2y(x),zest
deux fois dérivable.
yest solution de l’équation différentielle si, et seulement si,zsolution de
z00+z= 0.
On obtient
z(x) =C1cosx+C2sinx

et on en déduit

y(x) = (C1cosx+C2sinx)e−x2

2

Exercice 6 :[énoncé]
Soity:R→Rune fonction deux fois dérivable etz:R→Rdéfinie parz=y0−y.
zest dérivable etz0=y00y0.

yest solution deEsi, et seulement si,zest solution deF:xz0−z= 1.
Fest une équation différentielle linéaire d’ordre 1.
Solution générale deFsurR+?etR−?:z(x) =Cx−1.
Après recollement, solution générale deFsurR:z(x) =Cx−1.
Reste à résoudreG:y0−y=Cx−1.
Solution homogène :y0(x) =Dex.
Solution particulièrey1(x) =−C(x+ 1) + 1.
Solution générale deE:y(x) =−C(x+ 1) +Dex+ 1avecC D∈R.

Exercice 7 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable surR.
Posonszla fonction définie parz=y+y0.
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de(1 +ex)z0−exz= 0i.e.z(x) =C(ex+ 1). On en déduit
y(x) =αe−x+β(ex+ 2).

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable définie sur]0+∞[etzla fonction définie
parz(x) =xy0(x) +y(x).zest dérivable.yest solution de l’équation différentielle
proposée si, et seulement si,zest solution de

3
xz0−2z=−
x

Après résolution de cette équation différentielle :

Par suite

z(x) =Cx

2+ 1avecC∈R
x

xy0(x) +y(x) =Cx2+ 1x

Après résolution de cette équation différentielle

Cx013+Cx2+ lnxavecC C0∈R
y(x) =x

Inversement les fonctions proposées sont bien solutions.

3

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