Sujet : Analyse, Equations différentielles, Résolution par changement de variable

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Résolution par changement de variable Exercice 1 [ 00415 ] [correction] Résoudre surR l’équation 2 2 00 2 0(1+x ) y +2(x−1)(1+x )y +y = 0 en procédant au changement de variable t = arctanx.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices

Informations

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Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Résolution par changement de variable

Exercice 1[ 00415 ][correction]
Résoudre surRl’équation

(1 +x2)2y00+ 2(x−1)(1 +x2)y0+y= 0

en procédant au changement de variablet= arctanx.

Exercice 2[ 01564 ][correction]
Résoudre surR
(x2+ 1)2y00+ 2x(x2+ 1)y0+y= 0

viat= arctanx.

Exercice 3[ 00416 ][correction]
Résoudre sur]−11[l’équation

(1−x2)y00−xy0+ 4y= arccosx

en procédant au changement de variablex= cos(t).

Exercice 4[ 00414 ][correction]
Résoudre surR+?l’équation

en posantx= et.

x2y00+xy0+y= 0

Enoncés

Exercice 5[ 01566 ][correction]
Résoudre surR+?les équations suivantes via le changement de variablet= lnx.

Exercice 6
Résoudre

a)x2y00+xy0−y=x2

[ 01567 ][correction]

en posantx=sht.

(1 +x2)y00+xy

b)x2y00−2y=x

0−4y= 0

1

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Corrections

Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable définie surR.
Posonszla fonction définie sur]−π2 π2[parz(t) =y(x) =y(tant).
zest deux fois dérivable.
Après calculs :
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de l’équationz00−2z0+z= 0i.e.z(t) = (λt+µ)etavecλ µ∈R.
On en déduity(x) = (λarctanx+µ)earctanxavecλ µ∈R.

Exercice 2 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable surRetz:I= ]−π2 π2[→Rdéfinie
parz(t) =y(tant).
zest deux fois dérivable et

∀x∈R y(x) =z(arctanx)
y0(x) =z0crta(1+xan2x)ety00(x) =−(2+1xx2)2z0(arctanx1+)+1(x2)2z00(arctanx)
yest solution si, et seulement si,zest solution surIde l’équationz00+z= 0.
On obtient
z(t) =λcost+µsint
et
λ+µx

y(x) =√1 +x2

Exercice 3 :[énoncé]
x= cost t= arccosx x∈]−11[,t∈]0 π[.
Soityune fonction deux fois dérivable définie sur]−11[.
Posonszla fonction définie sur]0 π[parz(t) =y(x) =y(cost).
zest deux fois dérivable.
Après calculs :
yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement si,zest solution
de l’équation différentiellez00+ 4z=ti.e.
z(t) =λcos 2t+µsin 2t+14tavecλ µ∈R
On en déduit
p

y(x) =λ(2x2−1) + 2µx1−x2soccra4+1xavecλ µ∈R

Exercice 4 :[énoncé]
Soity:R+?→Rune fonction deux fois dérivable.
Posonsz:R→Rdéfinie parz(t) =y(et).zest deux fois dérivable.
y(x) =z(lnx),y0(x) =x1z0(lnx)ety00(x) =x12z00(lnx)−x12z0(lnx).
Par suitex2y00+xy0+y= 0⇔z00+z= 0.
Solution générale :y(x) =λcos(lnx) +µsin(lnx).

Exercice 5 :[énoncé]
a) Les solutions surR+?sont :

x) =C1+C x2
y(x2x3+

b) Les solutions surR+?sont :

x
y(x) =C1+C2x2−
x2

Exercice 6 :[énoncé]
Soityune fonction deux fois dérivable définie surR.
Posonszla fonction définie surRparz(t) =y(sht).zest deux fois dérivable.
Après calculs :yest solution de l’équation différentielle proposée si, et seulement
si,zest solution de l’équationz00−4z= 0
.
On obtient
z(t) =C1e2t+C2e−2t

puis

C2
y(x) =C1e2argshx+C2e−2argshx=C1(x+p1 +x2)2(++√1 +x2)2
x

2

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