Sujet : Analyse, Espaces normés, Calcul de norme d'application linéaire

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Calcul de norme d’application linéaire Exercice 5 [ 00495 ] [correction] Soit E =C ([0, 1],R) muni dek.k définie par1 ZExercice 1 [ 00491 ] [correction] 1 ∞ kfk = |f(t)| dtOn note E =‘ (R) l’espace vectoriel normé des suites réelles bornées muni de la 1 ∞ 0norme N . Pour u = (u )∈‘ (R) on pose T (u) et Δ(u) les suites définies par∞ n Etudier la continuité de la forme linéaire ZT (u) =u et Δ(u) =u −u 1n n+1 n n+1 n ϕ :f7→ tf(t) dt 0a) Montrer que les applications T et Δ sont des endomorphismes continus de E. b) Calculer leur norme. et calculer sa norme. Exercice 6 [ 00496 ] [correction] Exercice 2 [ 00492 ] [correction] SoientE =C([0, 1],R) etu l’endomorphisme deE qui envoief∈E sur la fonction0 1Soient E =C ([0, 1],R) et F =C ([0, 1],R). On définit N et N par1 2 u(f) :x7→f(x)−f(0) 0 N (f) =kfk et N (f) =kfk +kfk1 2∞ ∞ ∞ a) Montrer que pour E muni dek.k l’endomorphisme u est continu et calculer∞ a) On définit T :E→F par : pour tout f : [0, 1]→R, T (f) : [0, 1]→R est sa norme. définie par b) Montrer que pour E muni dek.k u n’est pas continu.Z 1x T (f)(x) = f(t) dt 0 Exercice 7 [ 00497 ] [correction] Montrer que T est une application linéaire continue. SurR [X] on définit N et N par :1 2 b) Calculer la norme de T. +∞ X (k)N (P ) = P (0) et N (P ) = sup |P (t)| 1 2 t∈[−1,1]k=0 Exercice 3 [ 00493 ] [correction] a) Montrer que N et N sont deux normes surR [X].Soit E =C ([0, 1],R) muni dek.
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Calcul de norme d’application linéaire

Enoncés

Exercice 1[ 00491 ][correction]
On noteE=`∞(R)vectoriel normé des suites réelles bornées muni de lal’espace
normeN∞. Pouru= (un)∈`∞(R)on poseT(u)etΔ(u)les suites définies par

T(u)n=un+1etΔ(u)n=un+1−un

a) Montrer que les applicationsTetΔsont des endomorphismes continus deE.
b) Calculer leur norme.

Exercice 2[ 00492 ][correction]
SoientE=C0([01]R)etF=C1([01]R). On définitN1etN2par

N1(f) =kfk∞etN2(f) =kfk∞+kf0k∞

a) On définitT:E→Fpar : pour toutf: [01]→R,T(f) : [01]→Rest
définie par
x
T(f)(x) =Z0f(t) dt
Montrer queTest une application linéaire continue.
b) Calculer la norme deT.

Exercice 3[ 00493 ][correction]
SoitE=C([01]R)muni dekk∞définie par

kfk∞= sup|f|
[01]

Etudier la continuité de la forme linéaireϕ:f7→f(1)−f(0)et calculer sa norme.

Exercice 4[ 00494 ][correction]
On munit l’espaceE=C([01]R)de la normekk2. Pourfetϕéléments deE
on pose
Tϕ(f) =Z10f(t)ϕ(t) dt
Montrer queTϕune forme linéaire continue et calculer sa norme.est

Exercice 5[ 00495 ][correction]
SoitE=C([01]R)muni dekk1définie par
kZ01
fk1=|f(t)|dt
Etudier la continuité de la forme linéaire
Z10tf(t)
ϕ:f7→dt
et calculer sa norme.

1

Exercice 6[ 00496 ][correction]
SoientE=C([01]R)etul’endomorphisme deEqui envoief∈Esur la fonction

u(f) :x7→f(x)−f(0)

a) Montrer que pourEmuni dekk∞l’endomorphismeuest continu et calculer
sa norme.
b) Montrer que pourEmuni dekk1l’endomorphismeun’est pas continu.

Exercice 7[ 00497 ][correction]
SurR[X]on définitN1etN2par :
+∞
N1(P) =X0etN2(P) = sup|P(t
P
k0=(k)( )t∈[−11])|
a) Montrer queN1etN2sont deux normes surR[X].
b) Montrer que la dérivation est continue pourN1et calculer sa norme.
c) Montrer que la dérivation n’est pas continue pourN2.
d)N1etN2 ?sont-elles équivalentes

Exercice 8[ 00498 ][correction]
On munit l’espaceE=C([01]R)de la normekk∞. Pourfetϕéléments deE
on pose
Tϕ(f) =Z10f(t)ϕ(t) dt
Montrer queTϕune forme linéaire continue et calculer sa norme. On pourraest
pour cela introduire les fonctions

fε:t7→ϕ(t)
|ϕ(t)|+ε

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+∞
ha ui=Xanun
n=0

a) Justifier l’existence deha ui.
b) Montrer que l’application linéaireϕu:a7→ ha uiest continue et calculer sa
norme.
c) Mme question avecψa:u7→ ha ui.

Exercice 12CCP MP[ 03266 ][correction]
SoitEl’espace des fonctions continues de carré intégrable surRnormé par

Exercice 11[ 01012 ][correction]
Poura= (an)∈`∞(R)etu= (un)∈`1(R), on pose

etE1cet espace muni de la norme
kk1:fZ10|f(t)|dt
7→

Soitul’endomorphisme deEdéfini par
Z0xtf(t)
u(f)(x d) =t

Exercice 13CCP MP[ 03300 ][correction]
On noteEl’espace des fonctions réelles définies et continues sur[01].
On noteE∞cet espace muni de la norme

kk∞:f7→sup|f(t)|
t∈[01]

a) Montrer que l’applicationvdeE∞versE1qui àfassocieu(f)est continue et
déterminer sa norme.
b) Montrer que l’applicationwdeE1versE∞qui àfassocieu(f)est continue et
déterminer sa norme.

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Enoncés

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u:f7→φf

2

d) Calculerkuk.

Exercice 10[ 00500 ][correction]
SoitE=C([01]R)muni dekk∞.
a) Montrer que pour toute fonctionf∈E, il existe une unique primitiveF
vérifiant
1
Z0F(t) dt= 0
b) Etablir que l’applicationu:f7→Fest un endomorphisme continu.
c) Justifier
F(x) =Z01Ztxf(u) dudt

(f) =Z+∞12
N2f2
−∞

a) Soitφune fonction continue bornée. Montrer que l’application

définit un endomorphisme continue deE.
b) Soientx0fixé dansRetfnla fonction continue valant 1 enx0, affine sur
[x0−1n x0]et[x0 x0+ 1n]et nulle ailleurs.
Montrer que pourgfonction continue surR,
nl→im+∞RRRRfn
fn22g=g(x0)

Exercice 9[ 00499 ][correction]
SoitE=C([01]R)muni dekk∞.
Montrons que l’applicationu:f7→u(f)oùu(f)(x) =f(0) +x(f(1)−f(0))est
un endomorphisme continue deEet calculer sa norme.

def

c) Calculer la norme subordonnée de l’endomorphismeudéfinit à la première
question.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Pour toutu∈`∞(R), on a|T(u)n|6N∞(u)et|Δ(u)n|62N∞(u)donc
T(u)Δ(u)∈`∞(R).
Les applicationsTetΔsont bien à valeurs dans`∞(R), de plus elles sont
clairement linéaires et

N∞(T(u))6N∞(u)etN∞(Δ(u))62N∞(u)

donc elles sont aussi continues.
b) Par l’étude qui précède on a déjà

kTk61etkΔk62

Pouru= (1), on aN∞(u) = 1etN∞(T(u)) = 1donckTk= 1.
Pouru= ((−1)n), on aN∞(u) = 1etN∞(Δ(u)) = 2donckΔk= 2.

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
a) L’applicationTdéfinie et est clairement linéaire. Pour toutest bien x∈[01],
|T(f)(x)|6xN1(f)doncN2(T(f)) =kT(f)k∞+kfk∞62N1(f). AinsiTest
continue.
b) Par l’étude ci-dessus, on a déjàkTk62. Pourf(t) = 1, on aN1(f) = 1,
T(f)(x) =xet doncN2(T(f)) = 2. AinsikTk= 2.

Exercice 3 :[énoncé]
Pour toutf∈E,|ϕ(f)|6|f(1)|+|f(0)|62kfk∞doncϕest continue etkϕk62.
Pourf:x7→2x−1,f∈E,kfk∞= 1etu(f) = 2donc
kϕk= sup|ϕ(f)|=kfmka6x1|ϕ(f)|= 2.
kfk61

Exercice 4 :[énoncé]
Tϕ:E→Rest bien définie et est clairement linéaire. Par l’inégalité de
Cauchy-Schwarz,
|Tϕ(f)|6kϕk2kfk2
doncTϕest continue etkTϕk6kϕk2.
De plus pourf=ϕ,|Tϕ(f)|=kϕk2kfk2donc

kTϕk=kϕk2

Exercice 5 :[énoncé]
Pour toutf∈E,|ϕ(f)|=R10|tf(t)|dt6kfk1doncϕest continue et
kϕk= sup|ϕ(f)|61.
kfk61
Pourf:t7→tn,kfk1=n+11et|ϕ(f)|=R01tn+1dt=n+12donc|kϕf(kf)∞|=nn+21+→1
d’oùkϕk= sup|ϕ(f)|= 1.
kfk61

Exercice 6 :[énoncé]
a) On a
ku(f)k∞6kfk∞+|f(0)|62kfk∞
donc l’endomorphismeuest continu etkuk62.
Pourf:x7→2x−1, on akfk∞= 1etku(f)k∞= 2donckuk= 2.
b) Pourf:x7→(n+ 1)(1−x)n,kfk1= 1et
1
ku(f)k1=Z(n+ 1)−(n+ 1)(1−x)ndx=n→+∞
0

L’endomorphismeun’est donc pas continu pour la normekk1.

Exercice 7 :[énoncé]
a)N1 N2:R[X]→R.
N1(P+Q) =+P∞P(k)(0) +Q(k)(0)6+P∞P(k)(0)+Q(k)(0)=
k=0k=0
+P∞P(k)(0)++P∞Q(k)(0)=N1(P) +N1(Q),
k=0k=0

N1(λP) =+P∞λP(k)(0)=|λ|+PP(k)(0)=|λ|N1(P),
k=0k=0
N1(P) = 0⇒ ∀k∈Z P(k) +P∞P(kk)!0)(XkdoncP= 0.
(0) = 0orP=
k=0
FinalementN1est une norme.
N2(P+Q sup) =|P(t) +Q(t)|6sup|P(t)|+|Q(t)|6
t∈[−11]t∈[−11]
sup|P(t)|+ sup|Q(t)|=N2(P) +N2(Q),
t∈[−11]t∈[−11]
N2(λP) = sup|λP(t)|= sup|λ| |P(t)|=|λ|sup|P(t)|=|λ|N2(P),
t∈[−11]t∈[−11]t∈[−11]
N2(P) = 0⇒ ∀t∈[−11] P(t) = 0et par infinité de racinesP= 0.
b) NotonsD:R[X]→R[X]l’opération de dérivation.

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+∞=+P∞P(k+1)(0)6+P∞Pk(0)=
∀P∈R[X] N1(D(P)) =PD(P)(k)(0)
k=0k=0k=0
N1(P)doncDest continue pour la normeN1etkDk61. PourP=X, on a
N1(P) = 1etN1(D(P)) = 1donckDk= 1.
c) SoitPn=Xn. On aD(Pn) =nXn−1doncN2(Pn) = 1et
N2(D(Pn)) =n→+∞.
Par suiteDn’est pas continue pourN2.
d) Par ce qui précède, les normes ne sont pas équivalentes. Néanmoins
+∞k)
P=PP(kk)!0)(Xkdonc|P(t)|6+P∞|P(k(0)!|6N1(P)doncN2(P)6N1(P).
k=0k=0
C’est là la seule et la meilleure comparaison possible.

Corrections

Exercice 8 :[énoncé]
L’applicationTϕ:E→Rest bien définie et est clairement linéaire. Par l’inégalité
|Tϕ(f)|6Z10|ϕ(t)|dtkfk∞

on obtientTϕest continue et
1
kTϕk6Z|ϕ(t)|dt
0

Pour toutε >0, posonsfε=|ϕ|ϕ+ε. On observekfεk∞61et
Tϕ(fε) =Z1ϕ2(t)dt
0|ϕ(t)|+ε

donc

Tϕ(fε)−Z01|ϕ(t)|dt6Z1|ϕε(|tϕ)|(t)+|εdt6ε
0

puis
Tϕ(fε)ε−→−0→Z10|ϕ(t)|dt
Or|Tϕ(fε)|6kTϕk kfεkdonc on en déduit quekTϕk>R01|ϕ(t)|dtet finalement
kTϕk=Z10|ϕ(t)|dt

Exercice 9 :[énoncé]
uest clairement un endomorphisme deE.
u(f)(x) = (1−x)f(0) +xf(1)donc
|u(f)(x)|6(1−x)|f(0)|+x|f(1)|6(1−x)kfk∞+xkfk∞=kfk∞.
Ainsiku(f)k6kfk. L’endomorphismeuest continue etkuk61.
Pourf:x7→1, on akfk∞= 1etku(f)k∞= 1donckuk>1puiskuk= 1.

Exercice 10 :[énoncé]
a) Les primitives defsont de la formeϕ+Cteavecϕ:x7→R0xf(t) dt. Parmi
celles-ci une seule est d’intégrale nulle c’est
F=ϕ−Z10ϕ(t) dt

4

b) L’applicationuest bien définie deEversEcar une primitive est une fonction
continue. Pourλ µ∈Retf g∈E,(λu(f) +µu(g))0=λf+µget
R01λu(f) +µu(g) = 0doncu(λf+µg) =λu(f) +µu(g). Ainsiuest un
endomorphisme.
F(x) =Z0xf(t) dt−Z10Z0tf(u) dudt

donc aisément|F(x)|62kfk∞puiskFk∞62kfk∞. Ainsiuest continue.
c)
F(x) =Z0xf(t) dt−Z01Z0tf(u) dudt
et par intégration d’une constante
Z0xf(t) dt=Z10Z0xf(t) dtdu

On conclut par la linéarité et la relation de Chasles.
d) On a
|F(x)|6Z01x−t| kfk∞
|dt
et en découpant l’intégrale enx, on obtient
Z01|x−t|dt=x2−x+12
donc

|F(x)|612kfk∞

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Corrections

2
puiskFk∞621kfk∞carsup (x−x+ 12) =12. Ainsikuk612.
x∈[01]
Enfin pourf:x7→1,kfk∞= 1,F:x7→x−12etkFk∞= 12donckuk= 12

Exercice 11 :[énoncé]
a) On a|anun|6kak∞|un|etP|un|converge donc par comparaison de séries à
termes positifs,Panunest absolument convergente et donc convergente.
+∞+∞
b)|ha ui|6P|anun|6Pkak∞|un|=kak∞kuk1.
n=0n=0
On en déduit queϕuest continue etkϕuk6kuk1.
Soitala suite bornée déterminée paran= 1siun>0etan=−1sinon.
On akak∞= 1et pour toutn∈N,anun=|un|de sorte que
+∞
ϕu(a) =P|un|=kuk1.
n=0
On en déduit quekϕuk=kuk1.
c) Par l’inégalité|ha ui|6kak∞kuk1, on obtient queψaest continue et
kψak6kak∞.
Pour la suiteuk= (δnk)n∈N, on akukk1= 1etψa(uk) =akdonc|ak|6kψak
pour toutk∈N.
Par suitekak∞6kψakpuis finalementkψak=kak∞.

Exercice 12 :[énoncé]
a) Sif∈Ealorsφf∈Ecar

|φ(t)f(t)|26kφk∞|f(t)|2
De plus, l’applicationuest évidemment linéaire et doncuest un endomorphisme
deE.
De plus
kφfk26Z−+∞t)|2dt126kφk∞kfk2
kφk∞|f(

donc l’endomorphismeuest continue et

kuk6kφk∞
b) Soitε >0. Puisque la fonctiongest continue, il existeα >0vérifiant

|x−x0|6α⇒ |g(x)−g(x0)|6ε
Pourn∈Nsuffisamment grand, on a1n6αet alors
ZR2fn2(x)g(x) dx−g(x0)Zfn2(x) dx6ZR|g(x)−g(x0)|fn2(x) dx
R

donne

Zfn2(x)g(x) dx−g(x0)ZRfn2(x) dx6εZRfn2(x) dx
R2

5

et donc
RR2RRfn2f(n2x()xg)d(x)xdx−g(x0)6ε
c) On sait déjàkuk6kφk∞. En appliquant le résultat qui précède avecg=φ2, on
obtient
kfnφk2
kfnk2→ |φ(x0)|
et donckuk>|φ(x0)|pour toutx0∈R. On peut alors affirmerkuk>kφk∞puis
l’égalité

Exercice 13 :[énoncé]
a) Pourf∈E,
x
|u(f)(x)|6Z0tkfk∞dt2=1x2kfk∞
donc
Z11 1

kv(f)k162x2kfk∞dx6=kfk∞
0
On en déduit que l’application linéairevest continue et

˜
En prenantf= 1, on a

kvk616

kfk∞= 1,u(f) :x7→21x2etkv(f)k1= 16

On en déduitkvk= 16.
b) Pourf∈E,
x x
|u(f)(x)|=Z0|dt6Z0|
t|f(t)f(t)|dt6kfk1

donc

kw(f)k∞= sup|u(f)(x)|6kfk1
x∈[01]

On en déduit que l’application linéairewest continue etkwk61.

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Pourfn(t) =tn, on a

Puisque

kfnk1= 1(n+ 1),u(fn)(x) =

on obtientkwk= 1

kw(fn)k∞
kfnk1

1n
x
n+ 2

=

+2et

n+ 1
n+ 2

→1

kw(fn)k∞=

1
n+ 2

Corrections

6

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