Sujet : Analyse, Espaces normés, Distance d'un vecteur à une partie

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Distance d’un vecteur à une partie Exercice 1 [ 03272 ] [correction] ∞On norme l’espace ‘ (N,R) des suites bornées par la norme infinie notéek.k .

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Distance d’un vecteur à une partie

Enoncés

Exercice 1[ 03272 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infinie notéekk∞.
Déterminer la distance de la suiteeconstante égale à 1 au sous-espace vectorielC0
des suites réelles convergeant vers 0.

Exercice 2[ 03273 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infini notéekk∞.
Déterminer la distance de la suiteu= ((−1)n)n∈Nau sous-espace vectorielCdes
suites réelles convergentes.

Exercice 3[ 00470 ][correction]
On norme l’espace`∞(NR)des suites bornées par la norme infini notéekk∞.
Pourx∈`∞(NR), on noteΔxla suite de terme général

Δx(n) =x(n+ 1)−x(n)

puis on formeF={Δxx∈`∞(NR)}.
Déterminer la distance de la suiteeégale à 1 au sous-espace vectorielconstante F.

Exercice 4[ 03463 ][correction]
SoitEl’espace des fonctions bornées de[−11]versRnormé par

kfk∞= sup|f(x)|
x∈[−11]

Déterminer la distance de la fonction
1 ]01]
−1siisxx∈∈[−10[
f:x7→0six= 0

au sous-espace vectorielFdeEformé des fonctions continues de[−11]versR.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Puisque0∈ C0, on a déjà

Soitx∈ C0. On a

et donc quandn→+∞

On en déduit

et doncd(eC0) = 1.

Exercice 2 :[énoncé]
Puisque0∈ C0, on a déjà

d(eC0)6d(e0) =kek∞= 1

|xn−1|6kx−ek∞
16kx−ek∞

d(eC0)>1

d(uC)6d(u0) =kuk∞= 1

Soitx∈ Cet`∈Rsa limite. Pourn= 2ppair

|x2p−u2p|6kx−uk∞

donne|x2p−1|6kx−uk∞puis à la limite

|`−1|6kx−uk∞

De mme avecn= 2p+ 1impair on obtient

On en duite

On en déduit

|`+ 1|6kx−uk∞

1−`1
|1|=1+2`+262 (|1 +`|+|1−`|)6kx−uk∞

et doncd(uC) = 1.

d(uC)>1

Corrections

Exercice 3 :[énoncé]
Puisque0∈F,d(e F)6d(e0) = 1.
En raisonnant par l’absurde montronsd(e F) = 1en supposantd(e F)<1.
Il existe alors une suitex∈ B(Rn)vérifiantkΔx−ek∞=ρavecρ <1.
Pour toutk∈N,|Δx(k)−1|6ρdoncΔx(k)>1−ρ.
En sommant ces inégalités pourkallant de 0 àn−1, on obtient
x(n)−x(0)>n(1−ρ)et doncx→+∞.
Ceci contreditx∈`∞(NR)et permet de conclure.

Exercice 4 :[énoncé]
Par définition

d(f F in) =∈fFkf−gk∞
g
Puisque la fonction nulle est continue

˜
d(f F)6f−0= 1

Inversement, soitg∈F.
Pour toutx >0.
|f(x)−g(x)|=|1−g(x)|6kf−gk∞
donc à la limite quandx→0+

De mme, pourx <0,

|1−g(0)|6kf−gk∞

|f(x)−g(x)|=|1 +g(x)|6kf−gk∞

et donc à la limite quandx→0−

On en déduit

|1 +g(0)|6kf−gk∞

26|1 +g(0)|+|1−g(0)|62kf−gk∞

et donc
16kf−gk∞
Finalement16d(f F)puisd(f F) = 1.

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