Sujet : Analyse, Espaces normés, Limite et continuité

Description

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Limite et continuité Exercice 1 [ 00478 ] [correction] Etudier les limites en (0,0) des fonctions suivantes : 3 3x +y xy a) f(x,y) = b) f(x,y) = 2 2 4 4x +y x +y 2x y xy c) f(x,y) = d) f(x,y) = 4 2x +y x−y Exercice 2 [ 00480 ] [correction] + +? ySoit f :R ×R →R définie par f(x,y) =x pour x> 0 et f(0,y) = 0.

Sujets

• Classe préparatoire aux grandes écoles
• Mathématiques, physique et sciences de l'ingénieur
• Public Readiness and Emergency Preparedness Act
• exercices
• Spécialité

Informations

• Publié par: analyse-mpsi
• Nombre de lectures: 48
• Licence : En savoir +
  Paternité, pas d'utilisation commerciale, partage des conditions initiales à l'identique
• Langue: Français

Extrait

[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013

Limite et continuité

Exercice 1[ 00478 ][correction]
Etudier les limites en(00)des fonctions suivantes :

a)f(x y) =xx32++y32
c)f(y) =x2yy
xx4+y2

b)f(x y) =x4x+yy4
d)f(x y) =xx−yy

Exercice 2[ 00480 ][correction]
Soitf:R+×R+?→Rdéfinie parf(x y) =xypourx >0etf(0 y) = 0.
a) Montrer quefest une fonction continue.
b) Est-il possible de la prolonger en une fonction continue surR+×R+?

Exercice 3[ 00481 ][correction]
SoientEun espace vectoriel normé etAune partie non vide deE.
Pourx∈E, on pose
d(x A) = inf{kx−aka∈A}

Montrer que l’applicationx7→d(x A)est définie et continue surE.

Enoncés

Exercice 4[ 00482 ][correction]
Soientg:R2→Rcontinue etCun cercle de centreOet de rayonR >0.
a) Montrer qu’il existe deux pointsAetBdeCdiamétralement opposés tels que
g(A) =g(B).
b) Montrer qu’il existe deux pointsCetDdeC, se déduisant l’un de l’autre par
un quart de tour tels queg(C) =g(D).

Exercice 5Mines-Ponts MP[ 02769 ][correction]
Déterminer l’ensemble des morphismes continus de(U×)dans lui-mme.

1

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) On écritx=rcosθety=rsinθavecr=px2+y2→0et alors

0
f(x y) =r(cos3θ+ sin3θ)−(x−−y)−→−(−0−0)→

Corrections

b)f(1n0)→0etf(1n1n3)→1. La fonctionfn’a pas de limite en(00).
c)f(1n0) = 0→0etf(1n1n2) = 12→12. La fonctionfn’a pas de limite
en(00).
3
d)f(1n0) = 0→0etf(1n+ 1n21n) =1n12+n12n→1. La fonctionfn’a
pas de limite en(00).

Exercice 2 :[énoncé]
a)f(x y) = exp(ylnx)est continue surR+?×R+?par opérations sur les
fonctions continues.
Il reste à étudier la continuité aux points(0 b)avecb >0.
Quand(x y)→(0 b)avec(x y)∈R+?×R+?on aylnx→ −∞et donc
f(x y) =xy→0.
D’autre part, quand(0 y)→(0 b), on af(x y) = 0→0.
Ainsifest continue en(0 b).
b) Si l’on peut prolongerfpar continuité àR+×R+alors
d’une partf(0 lim0) =
y→0f(0 y) = 0et d’autre partf(00) = lxi→m0f(x x) = 1.
C’est absurde.

Exercice 3 :[énoncé]
La partie{kx−aka∈A}est une partie deRnon vide et minorée par 0 donc sa
borne inférieure existe. Ainsi l’applicationx7→d(x A)est bien définie.
Soientx x0∈E. Pour touty∈A,kx−yk6kx−x0k+kx0−ykdonc
d(x A)6kx−x0k+kx0−ykpuisd(x A)− kx−x0k6kx0−yket
d(x A)− kx−x0k6d(x0 A). Ainsid(x A)−d(x0 A)6kx−x0ket par symétrie
|d(x A)−d(x0 A)|6kx−x0k. Finalementx7→d(x A)est 1 lipschitzienne donc
continue.

Exercice 4 :[énoncé]
a) Soitf:t7→g(Rcost Rsint).fest continue et2πpériodique.
Soith:t→f(t+π)−f(t).hest continue eth(0) +h(π) =f(2π)−f(0) = 0donc
hs’annule.

b) Soith:t7→f(t+π2)−f(t).hest continue et
h(0) +h(π2) +h(π) +h(3π2) = 0donchs’annule.

2

Exercice 5 :[énoncé]
Soitϕ:U→Umorphisme continue. L’applicationθ∈R→ϕ(eiθ)est continue et
à valeurs dansUdonc par le théorème de relèvement, il existe une fonction
ψ:R→Rcontinue vérifiantϕ(eiθ) = eiψ(θ)pour toutθ∈R. Puisqueϕest un
morphisme, on obtient :∀θ θ0∈R ψ(θ+θ0)−(ψ(θ) +ψ(θ0))∈2πZ. Or
l’application(θ θ0)7→ψ(θ+θ0)−(ψ(θ) +ψ(θ0))est continue sur le connexeR2,
son image est donc connexe et cette application est donc constante. Sans perte de
généralités, on peut désormais supposer∀θ θ0∈R ψ(θ+θ0) =ψ(θ) +ψ(θ0).
L’applicationψapparaît désormais comme étant un endomorphisme continue de
(R+)dans lui-mme, il est alors connu qu’il existea∈Rtel que
∀θ∈R ψ(θ) =aθ. De plus, puisqueϕ(e2iπ) = 1,a∈Zet finalementϕ:z→za
pour un certaina∈Z. Réciproquement ces applications sont des endomorphismes
continus de(U×).

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