Sujet : Analyse, Espaces normés, Suites de matrices

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 26 juillet 2013 Enoncés 1 Suites de matrices Exercice 7 [ 03036 ] [correction] Soit (A ) une suite convergente d’éléments deM (K) et de limite A .n n ∞ Montrer que pour n assez grandExercice 1 [ 03143 ] [correction] Soient A,B∈M (R). On supposep rg(A )> rg(A )n ∞ n(AB) →Op Montrer que Exercice 8 X MP [ 03475 ] [correction] n(BA) →O Soit (A ) une suite de matrice deM (C) convergeant vers A∈M (C).k n np On suppose que les A sont tous de rang p donné. Montrer que rgA6p.k Exercice 2 [ 01670 ] [correction] Exercice 9 [ 03413 ] [correction]Soient A,B∈M (R) telles quen ?Soit q∈N . On note E l’ensemble des A∈ GL (C) telles queq n k kA −−−−→P et B −−−−→Q k→+∞ k→+∞ qA =In On suppose que les matrices A et B commutent. Montrer que les matrices P et Q a) Que dire de A∈E telle que 1 est seule valeur propre de A?qcommutent. b) Montrer que I est un point isolé de E .n q Exercice 3 [ 00471 ] [correction] Soit (A ) une suite de matrices inversibles deM (K).n p On suppose −1A →A et A →Bn n Montrer que A est inversible et déterminer son inverse. Exercice 4 [ 00472 ] [correction] A quelle condition sur A∈M (K) existe-t-il une matrice M∈M (K) telle quep p nM −−−−→A? n→+∞ Exercice 5 [ 03010 ] [correction] nSoit A∈M (C). On suppose que la suite (A ) converge vers B.p n∈N Montrer que B est semblable à une matrice diagonale n’ayant que des 0 et des 1. Exercice 6 [ 03022 ] [correction] na) Soit A∈M (R) diagonalisable vérifiant Sp(A)⊂ ]−1,1[. Montrer A →O .
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Suites de matrices

Exercice 1[ 03143 ][correction]
SoientA B∈ Mp(R). On suppose

Montrer que

Exercice 2[ 01670 ][correction]
SoientA B∈ Mn(R)telles que

(AB)n→Op

(BA)n→Op

Ak−−−−→PetBk
k→+∞k−→−+−−∞→Q

On suppose que les matricesAetBcommutent. Montrer que les matricesP
commutent.

Exercice 3[ 00471 ][correction]
Soit(An)une suite de matrices inversibles deMp(K).
On suppose
An→AetAn−1→B
Montrer queAest inversible et déterminer son inverse.

Enoncés

etQ

Exercice 4[ 00472 ][correction]
A quelle condition surA∈ Mp(K)existe-t-il une matriceM∈ Mp(K)telle que
Mn−−−−→A?
n→+∞

Exercice 5[ 03010 ][correction]
SoitA∈ Mp(C). On suppose que la suite(An)n∈Nconverge versB.
Montrer queBà une matrice diagonale n’ayant que des 0 et des 1.est semblable

Exercice 6[ 03022 ][correction]
a) SoitA∈ Mp(R)diagonalisable vérifiant Sp(A)⊂]−11[. MontrerAn→Op.
b) Mme question avec trigonalisable au lieu de diagonalisable.

Exercice 7[ 03036 ][correction]
Soit(An)une suite convergente d’éléments deMn(K)et de limiteA∞.
Montrer que pournassez grand

rg(An)>rg(A∞)

Exercice 8X MP[ 03475 ][correction]
Soit(Ak)une suite de matrice deMn(C)convergeant versA∈ Mn(C).
On suppose que lesAksont tous de rangpdonné. Montrer que rgA6p.

Exercice 9[ 03413 ][correction]
Soitq∈N?. On noteEql’ensemble desA∈GLn(C)telles que

Aq=In

a) Que dire deA∈Eqque 1 est seule valeur propre detelle A?
b) Montrer queInest un point isolé deEq.

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
Il suffit d’observer

(BA)n+1=B(AB)nA

→Op

Corrections

Exercice 2 :[énoncé]
Puisque les matricesAetBcommutent, il en est de mme des matricesAketBk.
En passant à la limite la relation

on obtient

AkBk=BkAk

P Q=QP

Exercice 3 :[énoncé]
On a
AnAn−1=Ip
En passant cette relation à la limite on obtient

AB=Ip

Par le théorème d’inversibilité, on peut affirmer queAest inversible et

A−1=B

Exercice 4 :[énoncé]
2
SiAest limite d’une suite(Mn)alorsM2n→AetM2n= (Mn)2→A.
Par unicité de la limite, on obtientA2=A.
ment s2=AalorsA= limMnavecM=A.
Inverse , iAn→+∞

Exercice 5 :[énoncé]
A2n→BetA2n=An×An→B2doncB=B2etBest une matrice de
projection.

Exercice 6 :[énoncé]
a) Il existeP∈GLp(K)tel queP−1AP=DavecD=diag(λ1     λp)et
|λj|<1.
AOnn a→aPloOrspAPn−1==PODpn.P−1avecDn=diag(λ1n     λpn)→Opdonc
b) En reprenant la démarche qui précède, on peut conclure dès que l’on établit
que siTmatrice triangulaire supérieure à coefficients diagonaux dansest une
]−11[alorsTnn−→−−−→Op.
+∞
Raisonnons par récurrence surp∈N?.
Pourp= 1, la propriété est immédiate.
Supposons le résultat vrai au rangp>1.
SoitT∈ Mp+1(R)triangulaire supérieure à coefficients diagonaux dans]−11[.
On peut écrire
T=λOn1LS

avec|λ|<1etS∈ Mn(R)triangulaire supérieure à coefficients diagonaux dans
]−11[.
Par le calcul, on obtient
Tn=Oλnn1SLnn
avec
n−1
X

Ln=L λkSn−1−k
k=0

On aλn→0etSn→Onpar hypothèse de récurrence.
Pour conclure, il suffit de montrer que

n−1n−1
XλkSn−1−k=Xλn−1−kSk→On
k=0k=0

car ceci entraîneLn→O1n.
Soitε >0.
PuisqueSn→On, il existe un rangN∈Nau-delà duquelkSnk6ε.
On alors
n−1n−1
−kε
k=XNλn−1−kSk6εk=XN|λ|n−161− |λ|

N−1
De plus, puisquePλn−1−kSk−−−−→Oncar somme d’un nombre constant de
k=0n→+∞

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termes de limites nulles, on peut affirmer que pournassez grand, on a

Ainsi, pournassez grand

et on peut conclure.
Récurrence établie.

N−1
Xλn−1−kSk6ε
k=0

n−1
Xλn−1−kSk6ε+
k=01

ε
− |λ|

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
Posonsr=rgA∞.
La matriceA∞possède est déterminant extrait non nul de tailler.
Le déterminant extrait correspondant des matricesAnest alors non nul à partir
d’un certain rang et donc rg(An)>r

Exercice 8 :[énoncé]
Posonsr=rgA.
La matriceApossède est déterminant extrait non nul de tailler.
Le déterminant extrait correspondant des matricesAkest alors non nul à partir
d’un certain rang et donc
p=rg(Ak)>r=rgA

Exercice 9 :[énoncé]
a) Une matriceA∈Eqannule le polynôme scindé simpleXq−1, elle est donc
diagonalisable. Si1est sa seule valeur propre alorsA=Incar semblable àIn.
b) Par l’absurde, supposons qu’il existe une suite(Ap)d’éléments deEq {In}

vérifiant
Ap→In
Par continuité de la trace
trAp→n
Or la trace deApest la somme de ses valeurs propres, celles-ci ne sont pas toutes
égales à 1 et sont racinesqème de l’unité donc

os
Re(trAp)6(n−1) + cq
Cette majoration est incompatible avec la propriété trAp→n.

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