Sujet : Analyse, Etude d'une famille de fonctions

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Equation différentielle. Etude de fonction. Calcul intégral

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4.c

Etude d’une famille de fonctions

Partie I : Une fonction

Résoudre l’équation différentielle (1+2)+′2=0 .
On introduit la fonctionϕ:ℝ→ℝdéfinie parϕ()=1+12et on note (Γ) la courbe d’équation
=ϕ() .

Dresser le tableau de variation de la fonctionϕ.
Pour quelle valeur de≥0 , la dérivée seconde deϕs’annule-t-elle en changeant de signe ? Préciser la
position relative de la courbe (Γ de sa tangente) et () au point correspondant.
Représenter la courbe (Γ) accompagnée ( de choisissant une unité égale à 2cm.) en
1
Calculer l’intégrale (.
0ϕ)

Partie II : Une famille de fonctions

Intégrer l’équation différentielle :

() :+′=1+1
2

sur−∞, 0 sur et 0,+∞.
Soitλun nombre réel.
On appelleλla fonction définie pournon nul par :
( )λ+arctan
=
λ

On note (λ) la courbe d’équation=λ() .
Montrer que0admet en 0 une limite finieℓqu’on déterminera.
On pose désormais0(0)=ℓ. Dresser le tableau de variation de0.
Observer que les courbes (λ) et (−λ correspondent dans une transformation géométrique simple.) se
Soitλ1<λ2. Quelle est la position de (λ2 () par rapport àλ1) ?
On supposeλ>0 . Exprimerλ′( la forme :) sous
λ′()=12λ()

Former, selon les cas possibles, le tableau de signe de la fonctionλ.
(on ne cherchera pas à exprimer l’éventuelle valeur d’annulation deλ).
Dresser le tableau de variation deλdans chacun des cas possibles.
Tracer dans un même repère les courbes (0) et (π2) .
Montrer que par tout point d’abscisse non nulle du plan, il passe une et une seule courbe (λ)
Déterminer l’ensemble des pointsnon nulle, du plan tels que la courbe (, d’abscisse λ) passant par ce
point y ait une tangente de pente nulle.
On considère un pointd’abscisse non nulle, n’appartenant pas à (Γ) . Déterminer, selon sa position
par rapport à (Γ ( à l’axe) et) , le signe de la pente de la tangente enà la courbe (λ par) passant
ce point.

Partie III : Calcul d’une intégrale

On désire obtenir une valeur approchée de l’intégrale
=100()=∫10arctan
Cette dernière est appelée constante de Catalan.
1. Soitun entier naturel,etdes réels positifs.
1.a Etablir l’égalité :

1.b

1.c

2.

En déduire que :

2+3
avecϕ()≤2+3.
En conclure la majoration :

11(1)(1)1+12(+1)
2=∑=0−2+ −2
+ +

)1(
arctan=∑0(2−1)2+1+ϕ()
=+

−∑(−1)≤1+.
=0(2+1)2(23)2

Donner, en précisant la démarche suivie, une valeur décimale approchée deà 10−2près.

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