Sujet : Analyse, Etude d'une fonction

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Etude de fonction. Calcul intégral. Suite récurrente. Equation différentielle.

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1.

1.a
1.b

1.c

1.d

1.e

1.f

2.

2.a

2.b

2.c

2.d

2.e

2.f

3.

3.a

3.b

3.c

3.d

3.e

4.

4.a

Etude d’une fonction

Soitl’application deℝ∗dansℝdéfinie par :∀≠0,()=arctan.
Justifier queest continue et paire.
Former le développement limité à l’ordre 2 deau voisinage de 0.
Par quelle valeur peut-on prolongerpar continuité en 0 ?
Désormaisdésigne la fonction obtenue par ce prolongement.
Justifier queest dérivable en 0, donner′ que la (0) ainsiposition de la courbe par rapport à sa
tangente en 0.
Justifier queest aussi dérivable surℝ∗et calculer′() pour∈ℝ∗.
∀∈∗(12)d21 ′()
A l’aide d’une intégration par parties, montrer que :ℝ,∫0+2 2= −2.
En déduire le sens de variation de.
Tracer la courbe représentative dedans un repère orthonormé (unité : 2 cm)
(on ne demande pas l’étude des points d’inflexion)
Soitφl’application deℝ∗dansℝdéfinie par∀≠0,φ()=10()d.

Former le développement limité à l’ordre 2 en 0 deφ.
Par quelle valeur peut-on prolongerφpar continuité en 0 ?
Désormaisφdésigne la fonction obtenue par ce prolongement.

Montrer queφest paire, dérivable surℝavecφ′(0)=0 et∀∈ℝ∗,φ′()=1(()−φ()).

Montrer que∀∈ℝ,()≤φ()≤1
(on pourra commencer par supposer>0 ).
En déduire les variations deφ.

Montrer que lim 1()d= lim0 . En déduire queφ()=0 .
→+∞1→+∞
Tracer la courbe représentative deφdans le même repère que celle de.
Soit () la suite définie par0∈ℝet pour toutdeℕ,+1=φ() , oùφest l’application du 2.
Montrer que :∀≥0, 0≤1+2≤2 1.


Montrer que, pour toutstrictement positif :φ′()≤1(1−())=1201+22d
(on pourra utiliser 2.b et 2c.)
En déduire que, pour toutstrictement positif :φ′()≤ eoprut uo tettec euilagéni tees rtéiéifér v1et q,

4
deℝ.
Montrer que l’équation :∈ℝ,φ()=admet une unique solution. On noteαcette solution.
Montrer queα∈0,1 .
Prouver que :∀∈ℕ,+1−α≤41−α.
En déduire que () est convergente, et préciser sa limite.
On considère l’équation différentielle :2+′=arctan() .
Résoudre cette équation différentielle sur−∞ et 0,, 0+∞.

4.b

Montrer queφest l’unique solution surℝde cette équation différentielle.

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