Sujet : Analyse, Etude d'une fonction intégrale

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Calcul intégral. Développements limités.

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Etude d’une fonction intégrale

thème illustré : les développements limités.

1.

2.

2.a
2.b

2.c

2.d
3.

3.a

3.b

4.

4.a

4.b

4.c

4.d
4.e

4.f

4.g

4.h

Résoudre surℝl’équation :+arctan=0 .
2
On o
p se()=+arctan.
Montrer queest définie surℝ∗.
Etudier la parité de.
Justifier queest de classe∞surℝ+∗et exprimer′() pour>0 .

Donner le sens de variation de.
On étudie le comportement deau voisinage de+∞.
Déterminer une constantetelle que pour tout>0 ,
22
()−∫≤.∫2.
En déduire queadmet une limite finie en+∞et préciser sa valeur.

On étudie le comportement deau voisinage de 0+.
Montrer qu’il existe deux réels,tels que+tnacr1=++() au voisinage de 0+.
a

Soitune fonction de 0,+∞dans m()=0 .
ℝtelle quel→i0+
=
Montrer que : li0m sup() 0 .
→ +∈[,2]

En déduire que siest une fonction continue de 0,+∞dansℝtelle que()=() au voisinage de
s22
0+alor()=( 0) au voisinage de+.

Montrer queadmet au voisinage de 0 un développement à l’ordre 2 que l’on exprimera.
Montrer qu’on peut prolongerpar continuité en 0 et que ce prolongement est dérivable.
Exprimer alors les valeurs de de(0) et′(0) .

Etudier, au voisinage de 0, la position relative deet de sa tangente en 0.
Déterminer un équivalent simple de′( 0.) en

En déduire queest deux fois dérivable en 0, et calculer′′(0)
.

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