Sujet : Analyse, Etude d'une fonction périodique

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Fonctions trigonométriques réciproques.

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Etude d’une fonction périodique

L’objectif de ce problème est d’étudier la fonctionprésentée dans la question 2.
1. On considère la fonctionϕdéfinie surℝparϕ()=arcsin(sin 2) .
1.a Etudier la parité et la périodicité de la fonctionϕ.
1.b Simplifierϕpour∈0,π4 et pour∈π4,π2 .
1.c Donner l’allure de la courbe représentative deϕ.
2. Soitla fonction définie par()=nisrca1+22.
2.a Justifier que pour tout∈ℝon a 2≤1+2.

2.b

2.c
3.

3.a

3.b

3.c
3.d

4.
4.a

4.b

4.c

4.d

5.

5.a
5.b

1.a

1.b

Préciser le domaine de définition de, i.e. l’ensemble des∈ℝpour lesquels() existe.
Justifier que la courbe représentative deprésente un centre de symétrie.
On se propose ici de dresser le tableau de variation :
Pour∈ −π2,π2 , simplifier 1+tn2atn2puis(tan) .
a
Exprimer, pour∈ℝ,() à l’aide de la fonctionϕ . arctanet de la fonction
En déduire les variations de.
Dresser le tableau de variation desurℝen précisant les valeurs extrémales deainsi que ses limites
en+∞et−∞.
Dans cette question, on se propose de représenter la fonction.
Calculer′() pour∈ −∞,−1∪ −1,1∪1,+∞.

Donner l’équation de la tangente à 3en 0, en 3 et en 1
Déterminer la limite de′() quand1 par valeurs supérieures (resp. inférieures).tend vers
On admettra que les valeurs obtenues sont les pentes des tangentes à droite et à gauche àen 1.
Représenterrelativement à un repère orthonormé dont l’unité serait de 2cm.
On précisera, les tangentes de la question 4.b ainsi que les tangentes à droites et à gauche en 1 et en−1 .
Une droite parallèle à l’axe () d’équation=avec∈0,π la courbe représentative de2 coupe
en deux points1et2d’abscisses1et2avec1<2.
Calculer1et2.
Déterminer et construire la courbe décrite par le milieudu segment1,2.
Correction

∀∈ℝ,−∈ℝetϕ(−)=⋯= −ϕ() doncϕest impaire.
∀∈ℝ,+π∈ℝetϕ(+π)=2(naiscris(n+2π))=ϕ() doncϕestπpériodique.

Pour∈0,π4 , on a 2∈0,π2⊂ −π2,π2 doncϕ()=arcsin(sin 2)=2.
Pour∈π4,π on a2 , 2∈π2,π 2. Puisque sin=sin(π−2 que) etπ−2∈0,π2⊂ −π2,π2
on aϕ()=π−2.

1.c

2.a

2.b

2.c

3.a

3.b
3.c

3.d

4.a

4.b

4.c

De part les simplifications qui précèdent, l’imparité et la périodicité, on obtient l’allure ci-dessous :















(1+)2≥0 donne−2≤1+2et (1−)2≥0 donne 2≤1+2 2. Par suite≤1+2.

Pour tout∈ℝ, 1+2≠cn 10do +22existe et par la question précédente 1+22∈ [−1,1], or la
fonction arcsin est définie sur− arcsin 11,1 donc+22existe. Ainsiest définie surℝ.
impaire donc sa courbe représentative est symétrique par rapport à l’origine du repère.est

2 sin
1+atnnat22=1+ncsios2=ics2so2n+scoisn2=sin 2et(tan)=arcsin sin 2=ϕ() .
cos2
()=(tan(arctan))ϕ(arctan) .
=
La fonction arctan est croissante sur−∞,−1 à valeurs dans,−π2,−π4 oùϕest décroissante donc
par compositionest décroissante sur−∞,1 .
La fonction arctan est croissante sur− valeurs dans,1,1 à−π4,π4 oùϕest croissante donc par
compositionest croissante sur−1,1 .
La fonction arctan est croissante sur 1,+∞à valeurs dans,π4,π2 oùϕest décroissante donc par
composition 1,est décroissante sur+∞.
−∞ −1 1+∞
() 0ց−π2րπ2ց0
Limites et valeurs sont immédiates sachant arcsin1=π 02 et arcsin=0 .

Sur−∞,−1∪ −1,1∪1,+∞on a 1+22−]∈1,1[ dérivable sur arcsin estet la fonction−1,1 donc
2
()1+22si<1
est dérivable sur le domaine considéré et, après calculs :′ = .

1+2si>1
(0)=0 et′ donc la tangente en 0 a pour équation(0) 2=2.
=
( 3)=3πet′( 3)= −1 2 la tangente en donc a 3 pour équation= −(12−3)+3π.
(1 3)=π3 et ′(1 3)= 3 a donc la tangente en 13 2 pour équation=2(3−3)1+π. 3
lim′()=1 et lim+′()= −1 .
→1−→1

4.d

5.a

5.b

















()22sin nce est vraie car∈0,π2 )
= ⇔1+=(l’équivale
Les solutions de l’équation 1+22=sinsont1=1−coisnset2

1+cos
=
.
sin

Le pointa pour coordonnée==1sin.

Les coordonnées du pointvérifie=arcsin 1 et>1 .

La représentation graphique de la fonction֏arcsinsur−1,+∞donne le lieu des points.
1+∞
nπ0 :
Cette représentation est aisée car arcsi21ց

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