Sujet : Analyse, Fonction de Lambert et étude d'une famille de fonctions

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Etude de fonctions. Dérivation.

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Fonction de Lambert et étude d’une famille de fonctions
Partie I
On considère:l’application déterminée par()=eet on notesa courbe représentative dans un repère orthonormé d’unité égale à 2 cm. 1.a Dresser le tableau des variations de. 1.b Etudier les branches infinies de.
2.a
2.b
2.c
3.a
3.b
3.c
4.
4.a
4.b
4.c
 
4.d
Etudier la concavité de. En quel point la courbeadmet-elle une d’inflexion ? En quel point la tangente au point d’inflexion coupe-t-elle l’axe des abscisses.
Représenteraccompagnée de la tangente précisée ci-dessus. Montrer que la restriction deau départ de1,+∞réalise une bijection vers un intervalle que l’on précisera. Dresser le tableau de variation complet de son application réciproque notée.
Sur quel intervalle la fonctionest-elle dérivable ? Exprimer() en fonction de, de( sans exponentielles.) mais Etudier l’existence d’une tangente àen1 e .
  Dans cette question on se propose d’obtenir une valeur numérique approchée deα=12.
Justifier queα0,1 2 .
= On introduit la fonction dérivableϕ:définie parϕ(12e). 1
Montrer queϕ(α)=αet0 ,ϕ() .2
On définit une suite récurrente réelle () par0=0 et,+1=ϕ() . Etablir que la suite () converge versα. Donner une valeur décimale approchée deαà la précision 102en précisant la démarche suivie.
Partie II
Soitλun paramètre strictement positif. On étudie ici la famille des fonctionsλ:définies parλ()=e+λ2. On noteλla courbe représentative deλdans un repère orthonormé. 1.a Dresser le tableau des variations deλ. On noteraλle point oùadmet un minimum et on exprimeraλen fonction deet deλ. Etablir queλ(λ)=λλ(λ+2) . 1.b Etudier les branches infinies deλet la convexité de cette fonction.
1.c
2.
2.a
2.b
Donner l’allure deλ. * Dans cette question on étudie la fonction:λ֏λdéfinie sur+.
Etudier la monotonie de:λ֏λainsi que ses limites quandλ→ +∞et quandλ0+. En observant la relation 2λλ=eλ, déterminer un équivalent simple deλquandλ→ +∞.
2.c
3.
3.a
3.b
En observant la relationλ+ln(λ)= −ln(2λ) , déterminer un équivalent simple deλ Dans cette question on étudieθ:+∗définie parθ(λ)=λ(λ)=λλ(λ+2) .
Montrer queθest une fonction croissante.
Déterminer la limite deθen 0+et en+∞.
On prolongeθpar continuité en 0 en posantθ(0) égal à sa limite en 0+.
3.c 3.d
 
quandλ0+.
La fonctionθ0 ? Présente-t-elle une tangente en 0 ?est-elle dérivable en Représenter graphiquement la fonctionθdans un repère orthonormé d’unité égale à 4 cm.  On exploitera les informations obtenues ci-dessus ainsi que la valeur approchée deαpour obtenir un point de la courbe accompagné de sa tangente.
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