Sujet : Analyse, Fonction définie par une intégrale, Etude de fonctions définies par une intégrale

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 6 août 2013 Enoncés 1 Etude de fonctions définies par une intégrale Exercice 5 [ 00535 ] [correction] Soit f :R→R définie par Z 21Exercice 1 [ 00531 ] [correction] −x(1+t )e f(x) = dtSoit 2Z +∞ 1 +t0dt f :x7→ 03 3 a) Montrer que f est dérivable surR et exprimer f (x).1 +x +t0 b) Calculer f(0) et limf.+a) Montrer que f est définie surR . +∞ 2c) On note g l’application définie par g(x) =f(x ). Montrerb) A l’aide du changement de variable u = 1/t, calculer f(0). c) Montrer que f est continue et décroissante. Z x 2 2 π−td) Déterminer limf. g(x) + e dt = +∞ 40 d) Conclure Z √+∞ 2 πExercice 2 [ 00532 ] [correction] −te dt = Soit 20Z 2+∞ −txe dt g(x) = 31 +t0 Exercice 6 [ 00536 ] [correction] a) Calculer g(0) en réalisant le changement de variable t = 1/u. Soit f la fonction donnée par b) Etudier les variations de g sur son domaine de définition. Z π/2 xc) la limite de g en +∞. f(x) = sin (t)dt 0 a) Montrer que f est définie et positive sur ]−1, +∞[. 1Exercice 3 [ 00533 ] [correction] b) Montrer que f est de classeC et préciser sa monotonie. Soit c) Former une relation entre f(x + 2) et f(x) pour tout x>−1.Z π/2 cost d) On pose pour x> 0,f :x7→ dt t +x ϕ(x) =xf(x)f(x− 1)0 +?a) Montrer que f est définie, continue surR . Etudier les variations de f. Montrer que +b) Déterminer les limites de f en 0 et +∞. ∀x> 0,ϕ(x + 1) =ϕ(x) +c) un équivalent de f en 0 et +∞. ?Calculer ϕ(n) pour n∈N . +e) Déterminer un équivalent à f en−1 .
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Etude de fonctions définies par une

intégrale

Exercice 1[ 00531 ][correction]
Soit
+
f:x7→Z0∞1 +xd3t+t3
a) Montrer quefest définie surR+.
b) A l’aide du changement de variableu= 1t, calculerf(0).
c) Montrer quefest continue et décroissante.
d) Déterminerlimf.
+∞

Exercice 2[ 00532 ][correction]
Soit
+
g(x) =Z0∞e1−t+x2td3t
a) Calculerg(0)en réalisant le changement de variablet= 1u.
b) Etudier les variations degsur son domaine de définition.
c) Etudier la limite degen+∞.

Exercice 3[ 00533 ][correction]
Soit
costdt
f:x7→Z0π2t+x
a) Montrer quefest définie, continue surR+?. Etudier les variations def.
b) Déterminer les limites defen0+et+∞.
c) Déterminer un équivalent defen0+et+∞.

Exercice 4[ 00534 ][correction]
a) Justifier que l’intégrale suivante est définie pour toutx >0
f(x) =Z1tx−1
dt
01 +t

b) Justifier la continuité defsur son domaine de définition.
c) Calculerf(x) +f(x+ 1)pourx >0.
d) Donner un équivalent def(x)quandx→0+et la limite defen+∞.

Enoncés

Exercice 5[ 00535 ][correction]
Soitf:R→Rdéfinie par
−x(1+t2)
f(x) =Z01e1 +t2dt
a) Montrer quefest dérivable surRet exprimerf0(x).
b) Calculerf(0)etlimf.
+∞
c) On notegl’application définie parg(x) =f(x2). Montrer
x
g(x) +Z−t2dt2=π4
e
0
d) Conclure
Z+∞2√π

e−tdt=
02

Exercice 6[ 00536 ][correction]
Soitfla fonction donnée par
Z0π2sinx(t)dt
f(x) =
a) Montrer quefest définie et positive sur]−1+∞[.
b) Montrer quefest de classeC1et préciser sa monotonie.
c) Former une relation entref(x+ 2)etf(x)pour toutx >−1.
d) On pose pourx >0,
ϕ(x) =xf(x)f(x−1)
Montrer que
∀x >0 ϕ(x+ 1) =ϕ(x)
Calculerϕ(n)pourn∈N?.
e) Déterminer un équivalent àfen−1+.

Exercice 7[ 00537 ][correction]
Soit
f:x7→Z+0∞1e−+xtt22dt
a) Montrer quefest définie et continue surR+.
b) Montrer quefest dérivable surR+?et solution de l’équation différentielle
y y0√π
−=
2√x

1

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Exercice 8[ 00538 ][correction]
Soit
F:x7→Z0+∞1e+−xtt2dt
Montrer queFest solution surR+?de limite nulle en+∞de l’équation
différentielle
y001
+y=
x

Exercice 9Centrale MP[ 00541 ][correction]
On considère les fonctionsfetgdéfinies surR+par :
e
f(x)Z+∞1−+xtt2dtetg(x) =Z+0∞x+nisttdt
=
0

a) Montrer quefetgsont de classeC2surR+?et qu’elles vérifient l’équation
différentielle
y00+ 1
y=
x
b) Montrer quefetgsont continues en 0
c) En déduire que
Z+∞sintdπ
t=
0t2

Exercice 10[ 00542 ][correction]
a) Justifier la convergence de l’intégrale
I=Z0+∞sitntdt

b) Pour toutx>0, on pose
x)+∞e
=Z0−xttsintdt
F(

Déterminer la limite deFen+∞.
c) Justifier queFest dérivable sur]0+∞[et calculerF0
d) En admettant la continuité deFen 0 déterminer la valeur deI.

Enoncés

Exercice 11[ 00543 ][correction]
Pourx∈R+ett>0, on posef(x t) = e−xtsinctoù sinc (lire sinus cardinal) est
la fonctiont7→sitntprolongée par continuité en 0.
Pourn∈N, on pose
n(x) =Z(n+1)π
u f(x t)dt

a) Montrer queun(x) = (−1)nR0πgn(x u)duavecgn(x u)qu’on explicitera.
b) Montrer que la série de fonctions de terme généralunconverge uniformément
surR+.
+∞
c) On poseU(x) =Pun(x). Justifier queUest continue et expliciterUsous la
n=0
forme d’une intégrale convergente.
d) Montrer queUest de classeC1sur]0+∞[et calculerU0(x).
e) ExpliciterU(x)pourx >0puis la valeur de
+∞
(0) =Z0sitntdt
U

Exercice 12Centrale MP[ 02491 ][correction]
On considère la fonction suivanteIdéfinie par :
Zπ2
∀x∈ D I(x (sin) =t)xdt
0

a) Déterminer le domaine de définitionD.
b) Montrer queIest de classeC∞surD.
c) CalculerI(0) I(1) I(2) I(3) I(4).
d) Trouver une relation simple entreI(x+ 2)etI(x).
e) Soitn∈N?. Que vautI(n)I(n−1)?
f) Déterminer des équivalents simples deIaux extrémités deD.

Exercice 13Mines-Ponts MP[ 02878 ][correction]
a) Pour quelsxdeRl’intégrale :
Z0π2(sint)xdt

existe-t-elle ? Dans ce cas, soitf(x)sa valeur.
b) Montrer quefest de classeC1sur son intervalle de définition.
c) Que dire de
x7→(x+ 1)f(x)f(x+ 1)?

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Exercice 14Mines-Ponts MP[ 02871 ][correction]
Pourx∈R, on pose
∞sin(xtd)t
f(x) =Z0+et−1
a) Définition def.
b) Continuité et dérivabilité def.
c) Ecriref(1)comme somme de série.

Exercice 15Mines-Ponts MP[ 02875 ][correction]
SoitΩ ={z∈CRez >−1}. Siz∈Ω, soit
t
f(z) =Z011 +ztdt

a) Montrer quefest définie et continue surΩ.
b) Donner un équivalent def(x)quandxtend vers−1.
c) Donner un équivalent def(z)quand Rez→+∞.

Exercice 16Mines-Ponts MP[ 02880 ][correction]
Montrer que, pour toutxréel positif,
Z+0∞+1arctan(tx2t)dt=Z0xt2ln−t1 dt

Enoncés

Exercice 17Mines-Ponts MP[ 02882 ][correction]
On pose, pourx >0,
f(x) =x1Z+∞1−e−t2txdt
01 +
Montrer quefest de classeC2sur]0+∞[et trouver des équivalents simples def
en 0 et en+∞.

Exercice 18Centrale MP[ 03211 ][correction]
On considère
ϕ:x7→Z0+∞e1i+txt2dt
a) Montrer la définie et la continuité deϕsurR.

b) Montrer queϕest de classeC1surR?et montrer que
ϕ0(x) =iZ+0∞1t+eittx2dt

c) Montrer que pourx >0,
+∞
ϕ0(x) =iZ0x2ue+iuu2du

et déterminer un équivalent deϕ0(x)quandx→0+.
d) La fonctionϕest-elle dérivable en0?

Exercice 19[ 03313 ][correction]
Soit
1cos(xsinθ) dθ
f:x7→πZ0π
a) Montrer quefest définie et de classeC2surR.
b) Déterminer une équation différentielle linéaire d’ordre 2 dontfest solution.
c) Montrer quefest développable en série entière surR.
d) Exploiter l’équation différentielle précédente pour former ce développement.

Exercice 20[ 03324 ][correction]
Pourx >0, on pose
f(x) =Zxdt
−x√1 +t2√x2−t2
a) Montrer quefest définie et continue.
b) Déterminer les limites defen0+et+∞.

Exercice 21[ 03621 ][correction]
a) Déterminer le domaine de définition de
f(x) =Zxcos2td
t
1t

b) Donner un équivalent defen0et en+∞.

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Exercice 22[ 03658 ][correction]
On pose
e−tdt
F(x) =Z0+∞1 +tx
a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx>0.
b) Montrer queFest de classeC∞sur[0+∞[.
c) CalculerF(n)(0)pour toutn∈N.

Exercice 23[ 03760 ][correction]
a) Déterminer l’ensemble de définition de
f(x) =Z1pt(1−td)(t1−x2t)
0

b) Donner la limite defenx= 1
.

Exercice 24Centrale MP[ 03736 ][correction]
On pose
+∞dx
f(α) =Z0xα(1 +x)
a) Etudier l’ensemble de définition def.
b) Donner un équivalent defen 0.
c) Montrer que le graphe defadmet une symétrie d’axex= 12.
d) Montrer quefest continue sur son ensemble de définition.
e) Calculer la borne inférieure def.
Enoncé fourni par le concours CENTRALE-SUPELEC (CC)-BY-NC-SA

Exercice 25CCP MP[ 02556 ][correction]
Pourx >0, on pose
1lntdt
F(x) =Z0t+x
Montrer queFest de classeC1sur]0+∞[.
CalculerF0(x)et en déduire l’expression de

Soitθ∈R. Calculer

G(x) =F(x) +F(1x)

Z1t−12+tlcnht(θ) +
0t+ 1t2

dt
1

Enoncés

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Corrections

Exercice 1 :[énoncé]
a) Posons
(x t) 1
g= 1 +x3+t3
Pour toutx∈R+, la fonctiont7→g(x t)est définie, continue surR+et
x)∼1t3donc
g( t+∞f(x)existe.
?
b)u7→1uest unC1difféomorphisme entreR+?etR+.
On peut réaliser le changement de variablet= 1uqui donne
Z+0∞1 +dtt3=Z+0∞1u+duu3

Donc

−1+
2f(0) =Z0+∞t2−dtt+ 1 =√23arctan2t√30∞4=3√π3

Corrections

puis

=
f3)0(√3
c)x7→g(x t)est continue surR+,t7→g(x t)est continue par morceaux sur
[0+∞[avec
|g(x t)|61+1t3=ϕ(t)
etϕintégrable sur[0+∞[doncfest continue.
Six6yalors∀t∈[0+∞[ g(y t)6g(x t)doncf(y)6f(x). Ainsifest
décroissante.
Rq : On peut aussi montrerfde classeC1mais cela alourdit la démonstration
d)ftend vers 0 en+∞car
06f(x)6Z+∞x3d+tt3t==xux12Z+∞du
0 01 +u3x→→+∞0

Exercice 2 :[énoncé]
a)t7→+11t3est intégrable surR+doncg(0)existe.
u7→1uest unC1difféomorphisme entreR+?etR+?.
On peut réaliser le changement de variablet= 1uqui donne
R0+∞1+dtt3=R0+∞1+u3.
udu
Donc2g(0) =R0+∞t2−dt=h√32arctan2t√−13i+0∞=43√π3puisg(0) =23√π3
t+1

b) La fonctiongest paire. Pour06x6x0, on a pour toutt>0,e−tx2>e−tx02
doncgest décroissante surR+.
c) Pourx >0,06g(x)6R0+∞e−tx2dt=x12→0doncxl→im+∞g(x) = 0.

Exercice 3 :[énoncé]
a)g(x t) =t+oscxtest définie et continue surR+?×[0 π2].
getx∂∂gsont définies et continues surR+?×[0 π2]donc (intégration sur
segment)fest de classeC1et
f0(x) =−Z0π2(t+socxt)2dt60
Ainsifest décroissante.
b) Quandx→+∞,
xπ21dt→0
06f( )6Z0x+t
Quandx→0+
π
f(x)>Z04t+cosxtdt>√22(nl[t+x)]π04=√22lnx+xπ4→+∞
c)
1Zπ21Zπ2

donc

On sait :

donc

Or

et

donc

costdt6
x+π20f(x)6x0costdt

f(x)x→∼+∞x1

1t2
∀06t6π2,1−26cost61
Z0π2td+xt−21Z0π2tt2+dtx6f(x)6Z0π2td+tx
Zπ2dtlnx+π2∼0−lnx
=
0t+x x
2
06Zπtt2+dxt6Z0π2tdt=C=o(lnx)
0

f(x)x→∼0−lnx

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Corrections

Exercice 4 :[énoncé]
a) La fonctiont7→t1x+−t1est définie et continue par morceaux sur]01].
Quandt→0+,t1x+−t1∼tx−1=t11−xavec1−x <1
donct7→t1x+−t1est intégrable sur]01].
1
b) Posonsg(x t) =t1x+−tsur]0+∞[×]01].
t7→g(x t)est continue par morceaux sur]01],
x7→g(x t)est continue sur]0+∞[.
Poura >0, pour toutx>a,|g(x t)|6t1a+−t16ta−1=ϕa(t)avecϕaintégrable
sur]01].
Par domination sur tous segment de]0+∞[, on peut affirmer quefest continue
sur]0+∞[.
c)f(x) +f(x+ 1) =R01tx−1dt=
1
.
x
d) Quandx→0+,f(x+ 1)→f(1)doncf(x+ 1) =o(1x)puisf(x)∼1x.
Quandx→+∞,06f(x)6R0+∞xonf(x)x−→−−+−∞→0.
tx−1dt=1→0d c

Exercice 5 :[énoncé]
a) Les fonctions

e−x(1+t2
g: (x t)7→1 +t2)etg∂x∂: (x t)7→ −e−x(1+t2)

sont continues surR×[01]donc, par intégration sur segment, la fonctionfest de
classeC1et
1
f0(x) =−Ze−x(1+t2)dt
0

b) On a

Pourx>0,

f(1dt
0) =Z01 +t24=π

1
06f(x)6Z0e−xdt=e−x

donclim
+∞f= 0.
c)gest de classeC1par composition et
g0(x) = 2xf0(x2) =−2xZ01e−x2(1+t2)dt

On a alors
g(x) +Z0xe−t2dt2!0=−2xZ10e−x2(1+t2)dt+ 2e−x2Z0xe−t2dt= 0

car
Z0xe−t2dt=xZ10e−x2u2du
L’évaluation en0permet de conclure.
2
d) Pourx>0,R0xe−tdt>0donc
Z0xe−t2rπ4−g(x)x−→−+−−∞√→2π
dt=

Exercice 6 :[énoncé]
a) La fonctiont7→(sint)xest définie, continue et positive sur]0 π2].
Quandt→0+,(sint)x∼txavecx >−1donct7→(sint)xest intégrable sur
]0 π2].
Ainsifest définie et positive sur]−1+∞[
b) Soita >−1.
La fonction
∂∂gx(x t) = ln(sint)(sint)x
est définie, continue enxet continue par morceaux entsur[a+∞[×]0 π2]
De plus
x t)6|ln(sint)(sint)a|=ϕ(t)
xg∂∂(
avecϕest intégrable sur]0 π2]car pourαtel que−a < α <1,

tαϕ(t)∼ta+α|ln(t)| →0

Par domination sur tout segment,fest de classeC1sur]−1+∞[et
π
f0(x) =Z2ln(sint)(sint)xdt60
0

6

Ainsi la fonctionfest décroissante.
c) En intégrant par parties
f(x =+ 2)Z0π2(sint)x(1−cos2t)dt=f(x)−(sixnt+)x1+1costπ02−x+11f(x+ 2)

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et donc

d) On a

et

f(x+ 2) =xx+1+2f(x)

ϕ(x+ 1) = (x+ 1)f(x+ 1)f(x) =xf(x−1)f(x) =

donc par réccurrence

ϕ(1) =f(0)f(1) =π2

∀n∈N? ϕ(n) =π2

e)ϕest continue et quandx→0,

Or quandx→0,

donc quandx→ −1,

ϕ(x) =ϕ(1 +x)→ϕ(1) =π2

f(x)→f(0) =π2

f(x () =x+ϕ1(x)f(+x1+1))∼x1+1

Rq : En fait on peut montrer queϕest une fonction constante.

ϕ(x)

Corrections

Exercice 7 :[énoncé]
−xt2t définie continue enxet continue par morceaux entsur
a)g: (x t)7→e1+t2es
R+×[0+∞[avec
|g(x t)|61+1t2=ϕ(t)
etϕintégrable sur[0+∞[.
Par domination, on peut affirmer quefest définie et continue surR+.
b)∂∂gxexiste et est continue enxet continue par morceaux entsurR+?×[0+∞[.
Pourx∈[a+∞[(aveca >0) on a

x∂g∂(x t)=−1t+2t2e−xt26e−at2=ψ(t)

avecψintégrable surR+.
Par domination sur tout segment, on peut affirmer quefest de classeC1sur
]0+∞[avec
f0(x) =−Z+∞t21e+−xtt22dt
0

Enfin,

f(x)−f0(x) =Z+0∞e−xt2dtu==√xt√1xZ+0∞e−u2du2=√√xπ

Exercice 8 :[énoncé]

Considéronsf: (x t)7→1e+xtt2définie sur]0+∞[×[0+∞[
Pour toutx∈]0+∞[,t7→f(x t)est continue par morceaux sur[0+∞[et
intégrable car
1
|f(x t)|61 +t2
Pourt∈[0+∞[, la fonctionx7→f(x t)est de classeC2sur]0+∞[et

∂∂fx(x y) =−t1e+−xtt2et∂∂2fx2(x t) =t21e+−xtt2

Pour toutx∈]0+∞[, les fonctionst7→∂xf∂(x t)ett7→∂∂2fx2(x t)sont continues
par morceaux.
Poura >0, sur[a+∞[×[0+∞[, on a

f∂∂x(x t)6e−atet∂∂2xf2(x t)6e−at

avecϕ:t7→e−atcontinue par morceaux et intégrable sur[0+∞[donc par
domination sur tout compact, la fonctionFest de classeC2surR+?et
Z+0∞t2−xtdt+Z+0∞1e−+xtt2dt=Z0+∞e−xtdt=x1
F00(x) +F(x) = 1e+t2

EnfinF−−→0car
+∞
+
|f(x)|6Z0∞1e+−xtt2dt6Z+0∞e−xtdt= 1x−−−−→0
x→+∞

Exercice 9 :[énoncé]
a) Posons
˜
f(x t1)e=−+xtt2
Les fonctionsf˜,x∂f∂˜et∂∂2x2f˜existent et sont continues surR+?×R.

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Sur[a+∞[, on a les dominations

˜
|f(x t)|6+11t2,x∂f∂(x t)61te+−att2et∂∂2fx2˜(x t)6t12e+−ta2t

Corrections

Les fonctions dominantes étant intégrables, on peut affirmer quefest de classeC2
et
+∞t2e−xt
f00(x) =Z01 +t2d
t
On a alors
f(x) +f00(x) =Z+0∞e−xtdt= 1x
Posons
sint

˜
g(x t) =x+t
˜
˜∂g˜
Les fonctionsg,∂xet∂∂2xg2existent et sont continues surR+?×R.
La fonctionx7→R+0∞g(x t) dtest bien définie surR+(intégrale convergente via
intégration par parties)
Sur[a+∞[, on a les dominations
∂∂gx(x t)6(a1+t)2et∂∂22xg(x t)6(a+2t)3

Les fonctions dominantes étant intégrables, on peut affirmer quegest de classeC2
et
g00(x) =Z+0∞2 sintd
(x+t)3t
Par une intégration par parties

g00(x) =−(x+nistt)2+0∞+Z0+∞(xsoc+tt)2dt=Z0+∞(xcos+tt)2dt=x1−g(x)
b) Pourx∈R+,
˜
f(x t)611+t2
doncfest définie et continue surR+.
g(x)−g(0) =−Z+∞t(xx+isntt) dt=−xZ01t(sx+intt) dt+Z1+∞t(xx+nistt) dt
0
mais
Z1sintZ1dt

xdt+ 1)−xlnx→0
0t(x+t)6x0(x+t) =xln(x

et
Z1+∞t(xxnis+tt) d6Z1+∞td2t→0
t x
doncgest continue en 0.
c) D’une part
1
|f(x)|6Z0+∞e−xtdxx→+∞
t=−−−−→0

D’autre part

|sint|
|g00(x)|6Z+0∞(2x+t)3dt6x1Z+0∞2(x|sni+t)t|2dt

et en prenantx>1

2|sint|
|g00(x)|6x1Z0+∞(1 +t)2dtx−→−+−−∞→0

donc
100(x)−−−−→0
g(x) =x−gx→+∞
Ainsif−g+→0permet via résolution de l’équation différentielle dece qui

conclure
f=g

On en déduitg(0) =f(0)i.e.

Z+∞sitntdt=π2
0

8

Exercice 10 :[énoncé]
a)
Z0xsintdt=Z0πsitntdt+Zxπsitntdt=Z0πsitntdt+−cotstxπ−Zxπcot2stdt
t
Or−cotstxπ−Rxπctos2tdtadmet−Rπ+∞cto2stdtpour limite quandx→+∞car
cette dernière intégrale est bien définie. Cela permet de conclure à la convergence
deI=R0+∞sitntdt.
b) Puisque|sint|6tpour toutt >0on a
+∞
|F(x)|6Ze−xtdt= 1x−−−−→0
0x→+∞

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Corrections

c) En application des théorèmes classiques,FestC1sur tout[a+∞[⊂]0+∞[
doncFestC1sur]0+∞[et

F0(x) =Z+e−txsin(t)dt1=−1+x2
0

d)F(x) =−arctanx+Ctesur]0+∞[et puisquel→im+F(x) = 0,
x∞
π
F(x) =π2−arctanx. Par continuité en 0,I=
2.

Exercice 11 :[énoncé]
a) On réalise le changement de variablet=u+nπ:
un(x) = (−1)nR0πe−x(u+nπ)u+nisuπndu. Icign(x u) = e−x(u+nπ)u+sniunπ.
b) Pour toutx∈R+et toutu∈[0 π],gn(x u)>0etgn+1(x u)6gn(x u)donc
un(x) = (−1)n|un(x)|avec(|un(x)|)décroissante. De plus|un(x)|6R0nπdπu=1n
(pourn∈N?) donc|un(x)→−−|0. Par application du critère spécial, la série
n∞
+∞
Pun(x)converge etk=Pn+1uk(x)6|un+1(x)|6n1+1→0ce qui donne la
n>0
convergence uniforme de la série de fonctionsPun.
n>0
c) Comme somme d’une série uniformément convergente de fonctions continues
surR+, la fonctionUest continue surR+. De plusU(x) =R0+∞e−xtsitntdtavec
cette intégrale qui est définie quandx >0et il est connu qu’elle est convergente
quandx= 0.
d) En application des théorèmes classiques,UestC1sur tout[a+∞[⊂]0+∞[
doncUestC1sur]0+∞[etU0(x) =R+0∞e−txsin(t)dt=1−+1x2.
e) En primitivantU(x) =C−arctanxsur]0+∞[. Or
|U(x)|6R0+∞e−xtdt=1xx−→−+−−∞→0doncC=π2.
Par continuité en 0,U(0) =R+0∞sitntdt=π2

Exercice 12 :[énoncé]
a) Pourx>0,I(x)est définie comme intégrale d’une fonction continue sur un
segment.
Pourx <0,I(x)est une intégrale généralisée en0+avec(sint)xt∼→0t−1x.
Cette dernière converge si, et seulement si,−x <1.
AinsiD= ]−1+∞[.
b) Posonsf: (x t)7→(sint)x= exp(xln(sint)).
Pour toutk∈N,∂x∂kkf(x t) = (ln(sint))k(sint)x.

9

∂kf
∂xkest continue surD ×]0 π2]et pour touta >−1,
∂∂xkfk(x t)6|ln(sint)|k(sint)apour toutx>a.
Par domination sur tout compact, on peut affirmer queIest de classeC∞surD.
c) On définit la fonctionIqu’on appelleraJpour éviter une confusion avec leide
Maple
J:=x->int(sin(t)ˆ , t=0..Pi/2);
x
Puis on calcule les valeurs demandées
seq(J(k), k=0..4);
d) Par intégration par partiesI(x+ 2) =xx+2+1I(x).
e) Regardons les premiers termes
seq(J(n)*J(n-1), n=1..10);
On présumeInIn−1=2nπce que l’on établit par récurrence.
f) PuisqueI(x) =xx1+2+I(x+ 2), quandx→ −1+,

I(x)∼x11+I(1) =x1+1

Pour obtenir un équivalent deI(x)quandx→+∞, commençons par étudierI(n).
La fonctionIest décroissante et positive doncI(n+ 1)6I(n)6I(n−1)puis

2
2(nπ+ 1)6I(n)62nπ

et enfin
I(n)∼r2nπ
PuisqueI(n+ 1)∼I(n)etImonotone, on aI(x)x→∼+I(bxc)et on en déduit

I(x)→∼+∞r2πx
x

Exercice 13 :[énoncé]
a) L’intégrale converge pourx >−1car(sint)x∼1
−x.
t→0t
b) Par domination sur[a+∞[pour touta >−1, on obtientfde classeC1avec
f0(x) =R0π2ln(sint)(sint)xdt60.
c) Posonsϕ(x) = (x+ 1)f(x)f(x+ 1).
Une intégration par parties classique (cf. intégrales de Wallis) donne
ϕ(x+ 1) =ϕ(x).
Montrons que cette fonction est constante.
Soita∈]−10[,ϕ(a+n) =ϕ(a).

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Corrections

En posantp=E(a), la décroissance defdonne
ϕ(a) =ϕ(a+n)6(a+n+ 1)f(p+n)f(p+n+ 1)
−−−→.
Or(a+n+ 1)f(p+n)f(p+n+ 1) =pa++nn1++1ϕ(n+p) =ap++nn+1+1ϕ(0)n−→+∞ϕ(0)
De façon semblable,ϕ(a)peut tre minorée par une suite de limiteϕ(0).
On peut donc affirmer queϕest constante.

Exercice 14 :[énoncé]
a) Pourx∈R,t7→nsiet(−x1t)est continue par morceaux sur]0+∞[,
seitn(−xt1)t→0O(1)eteistn(−xt)1t→=+∞ot12
=

doncf(x)est bien définie pour toutx∈R.
b) Posonsg(x t) =esint(−x1t).
gadmet une dérivée partielleg∂∂xavec
∂g
∂x(x t) = ett−1 cos(xt)
x7→x∂g∂(x t)est continue surR,t7→g∂x∂(x t)est continue par morceaux sur
]0+∞[.
Enfin∂x∂g(x t)6ett−1=ϕ(t)avecϕintégrable sur]0+∞[.
1
Par domination, on peut affirmer quefest de classeC, a fortiori continue et
dérivable.
c) La décomposition
+∞
−nt
et1−=Xe
1
n=1
et la majorationsin(t)6tpermettent d’appliquer le théorème de sommation
terme à terme et de conclure

+∞1
f(1) =Xn2
n=1+ 1

Exercice 15 :[énoncé]
a) Poura >−1, on noteΩa={z∈CRe(z)>a}.
t7→1t+ztest continue par morceaux sur]01],z7→1t+ztest continue surΩet pour
z∈Ωa,
tzta
1 +t61 +t=ϕ(t)

avecϕintégrable sur]01]doncfest définie et continue surΩ.
b)f(x) +f(x+ 1) =x1+1etf(x+ 1)−x−→−−−1→f(0)doncf(x)x→∼−1x+11.
c) Par intégration par parties :
(z+ 1)f(z1)+2Z1tz+1
=0(1 +t)2dt
et
1
Z01(1tz++1t)2dt6ZtRe(z)+1dt6Re(z2+)1→0
0

Exercice 16 :[énoncé]
Posonsf(x) =R+∞arctan(xt). La fonctionfest définie surR+.
0 1+t2
Par domination,fest de classeC1et
f0(x) =Z0+∞(t2+x2t)(1 +t2) dt

Après décomposition, pourx6= 1,

t t t
=−
(1 +t2)(x2+t2) (x2−1)(1 +t2) (x2−1)(x2+t2)

Donc
f0(x) =x21−121nlx12++tt220+∞=(x2ln−x1)
qui se prolonge par continuité pourx= 1.
Puisquef(0) = 0, on obtient la relation proposée.

10

Exercice 17 :[énoncé]
La fonctionfest bien définie sur]0+∞[et
f(x)πe
Z+0∞1−+txt2dt
x=−
2
Par domination sur tout compact, on obtientg:x7→xf(x)−π2=−R+0∞+1e−ttx2dt
de classeC2sur]0+∞[doncfaussi.
Quandx→+∞,
06Z+∞e1−+ttx2dt6Z0+∞e−txdt= 1x
0

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Les commentaires (1)
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adechinagonzallo

merci

mardi 15 mars 2016 - 16:14